Logo

可逆矩阵的特征

1. 可逆矩阵定理

下面的可逆矩阵定理可以将前面的多个重要概念（如线性无关、主元位置、线性变换、矩阵等价）联系在一起，该定理通过等价的条件揭示了矩阵可逆性与其相关特征（如解的唯一性、矩阵的行列式、列向量的线性无关性等）之间的内在联系。

如果你不能立刻理解上面所有的等价条件，可以先把 A ~\mathbf{A}~看做 3×3 ~3\times 3~的单位矩阵 [100010001] ~\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}~代入上面的任一等价条件中进行验证。为了方便理解和记忆，我们可以把这些等价条件划分为以下三种类型：几何特性、方程组解的结构、矩阵的性质。

上面所有这些等价条件，两两之间都可以被证明。下面我们随机从三类条件中挑出两对儿来证明：

  1. 已知条件：

    •  A,C ~\mathbf{A},\mathbf{C}~是 n×n ~n\times n~的方阵

    • 已知 AD=In ~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~，其中 In ~\mathbf{I}_n~是 n×n ~n\times n~的单位矩阵

    •  b∈Rn ~\mathbf{b}\in \mathbb{R}^n~

  2. 构造解：

    • 令 x=Db ~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~，其中 Db ~\mathbf{Db}~是一个向量

  3. 代入方程：

    • 将构造的解 x=Db ~\mathbf{x}=\textcolor{red}{\mathbf{Db}}~代入方程 Ax=b ~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~得： A(Db)=b ~\mathbf{A}(\textcolor{red}{\mathbf{Db}})=\mathbf{b}~

  4. 利用 AD=In ~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~：

    • 根据已知条件 AD=In ~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~，有 A(Db)=(AD)b=Inb=b ~\mathbf{A}(\mathbf{Db})=(\mathbf{AD})\mathbf{b}=\mathbf{I}_n\mathbf{b}=\mathbf{b}~

  5. 证明唯一性：

    • 假设 x1 ~\mathbf{x}_1~和 x2 ~\mathbf{x}_2~都是方程 Ax=b ~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~的解

    • 则 A(x1−x2)=Ax1−Ax2=b−b=0 ~\mathbf{A}(\mathbf{x_1-x_2})=\mathbf{Ax_1}-\mathbf{Ax_2}=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}~

    • 由 Ax=0 ~\mathbf{Ax}=\mathbf{0}~仅有平凡解（即 x=0 ~\mathbf{x}=\mathbf{0}~），可以得到 x1−x2=0 ~\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2=\mathbf{0}~，因此 x1=x2 ~\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2~

  6. 结论：

    • 当 x=Db ~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~时，方程 Ax=b ~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~对于任意的 b∈Rn ~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~有唯一解

参考 1.4 ~1.4~节定理 4

2. 可逆矩阵线性变换

矩阵乘法可以看做是线性变换的组合，如果矩阵是可逆的，那么相应的线性变换也是可逆的。

具体定义如下：若存在变换（函数、映射） S:Rn→Rn ~S:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n~使得：
S(T(x))=x,∀x∈Rn(1)S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (1)
T(S(x))=x,∀x∈Rn(2)T(S(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (2)
线性变换 T:Rn→Rn ~T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n~被称为可逆的。下面的定理说明，如果这样是逆变换 S ~S~存在，它是唯一的，并且它也必须是一个线性变换。这个逆变换称为 T ~T~的逆，并且记作 T−1 ~{T}^{-1}~。

  1. 假设 T ~T~可逆，存在逆变换 S ~S~，使得：
    S(T(x))=x,∀x∈RnS(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n
    T(S(x))=x,∀x∈RnT(S(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n

  2. 由于 T(x)=Ax ~T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}~，对任意 b∈Rn ~\mathbf{b}\in \mathbb{R}^n~，方程 T(S(b))=b ~T(S(\mathbf{b}))=\mathbf{b}~成立，说明 b ~\mathbf{b}~属于 T ~T~的值域，即 T ~T~是满射。

  3.  T ~T~是满射，说明矩阵 A ~\mathbf{A}~的列向量张成整个 Rn ~\mathbb{R^n}~，即 A ~\mathbf{A}~可逆。

  1. 假设 A ~\mathbf{A}~可逆，定义线性变换 S(x)=A−1x ~S(\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}~

  2. 验证 S ~S~满足：
    S(T(x))=S(A(x))=A−1(Ax)=xS(T(\mathbf{x}))=S(A(\mathbf{x}))=\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{Ax})=\mathbf{x}
    T(S(x))=A(S(x))=A(A−1x)=xT(S(\mathbf{x}))=A(S(\mathbf{x}))=\mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x})=\mathbf{x}
    因此， S ~S~是 T ~T~的逆变换， T ~T~可逆。

  1. 假设存在两个逆变化 S1 ~S_1~和 S2 ~S_2~，满足： S1(T(x))=x ~S_1(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~和 S2(T(x))=x ~S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~

  2. 对任意 x ~\mathbf{x}~，有 S1(T(x))=S2(T(x))=x ~S_1(T(\mathbf{x}))=S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~，因此 S1=S2 ~S_1=S_2~对所有 x ~\mathbf{x}~成立，说明逆变换 S ~S~唯一。

2.2 矩阵的逆

2.4 分块矩阵

bei an浙ICP备2024102481号