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可逆矩阵的特征

这一节的内容将串联起第一章的大部分重要概念，它深入揭示了矩阵各种属性之间的相互关系，对于理解线性方程组的求解以及矩阵变换的性质非常重要。

1. 可逆矩阵定理

下面的可逆矩阵定理可以将前面的多个重要概念（如线性无关、主元位置、线性变换、矩阵等价）联系在一起，该定理通过等价的条件揭示了矩阵可逆性与其相关特征（如解的唯一性、矩阵的行列式、列向量的线性无关性等）之间的内在联系。

定理 8

可逆矩阵定理

设 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~n\times n~$ 的方阵。则以下陈述是等价的。对于给定的 $~\mathbf{A}~$ ，这些陈述要么全为真，要么全为假。

$\mathbf{A}~$ 是可逆矩阵。
$\mathbf{A}~$ 行等价于 $~n\times n~$ 单位矩阵。
$\mathbf{A}~$ 有 $~n~$ 个主元位置。
方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ 只有平凡解（解是零向量 $~\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ ）。
$\mathbf{A}~$ 的列构成一个线性无关集。
线性变换 $~\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 是一对一的。
对于 $~\mathbb{R}^n~$ 中的每一个 $~\mathbf{b}~$ ，方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 至少有一个解（唯一解）。
$\mathbf{A}~$ 的列张（生）成 $~\mathbb{R}^n~$ 。
线性变换 $~\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 将 $~\mathbb{R}^n~$ 映射到 $~\mathbb{R}^n~$ 。
存在一个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{C}~$ ，使得 $~\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{I}~$ 。
存在一个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{D}~$ ，使得 $~\mathbf{A}\mathbf{D}=\mathbf{I}~$ 。
$\mathbf{A}^{\top}~$ 是可逆矩阵。

如果你不能立刻理解上面所有的等价条件，可以先把 $~\mathbf{A}~$ 看做 $~3\times 3~$ 的单位矩阵 $~\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}~$ 代入上面的任一等价条件中进行验证。为了方便理解和记忆，我们可以把这些等价条件划分为以下三种类型：几何特性、方程组解的结构、矩阵的性质。

上面所有这些等价条件，两两之间都可以被证明。下面我们随机从三类条件中挑出两对儿来证明：

已知条件：
- $~\mathbf{A},\mathbf{D}~$ 是 $~n\times n~$ 的方阵。
- 已知 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ，其中 $~\mathbf{I}_n~$ 是 $~n\times n~$ 的单位矩阵。
- $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 。
构造解：
- 令 $~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~$ ，其中 $~\mathbf{Db}~$ 是一个向量。
代入方程：
- 将构造的解 $~\mathbf{x}=\textcolor{red}{\mathbf{Db}}~$ 代入方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ ，得 $~\mathbf{A}(\textcolor{red}{\mathbf{Db}})=\mathbf{b}~$ 。
利用 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ：
- 根据已知条件 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ，有 $~\mathbf{A}(\mathbf{Db})=(\mathbf{AD})\mathbf{b}=\mathbf{I}_n\mathbf{b}=\mathbf{b}~$ 。
证明唯一性：
- 假设 $~\mathbf{x}_1~$ 和 $~\mathbf{x}_2~$ 都是方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ 的解。
- 则 $~\mathbf{A}(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2)=\mathbf{Ax}_1-\mathbf{Ax}_2=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}~$ 。
- 由 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{0}~$ 仅有平凡解（即 $~\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ ），可以得到 $~\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2=\mathbf{0}~$ ，因此 $~\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2~$ 。
结论：
- 当 $~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~$ 时，方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ 对于任意的 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 有唯一解。

参考 1.4 节定理 4。

2. 可逆矩阵线性变换

矩阵乘法可以看做是线性变换的组合，如果矩阵是可逆的，那么相应的线性变换也是可逆的。

具体定义如下：若存在变换（函数、映射） $~S:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n~$ 使得：

S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (1)

T(S(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (2)

线性变换 $~T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n~$ 被称为可逆的。下面的定理说明，如果这样的逆变换 $~S~$ 存在，它是唯一的，并且它也必须是一个线性变换。这个逆变换称为 $~T~$ 的逆，并且记作 $~T^{-1}~$ 。

定理 9

线性变换可逆性定理

设 $~T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n~$ 为线性变换，且 $~\mathbf{A}~$ 是 $~T~$ 的标准矩阵。则 $~T~$ 可逆当且仅当 $~\mathbf{A}~$ 是可逆矩阵。这时，由 $~S(\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}~$ 定义的线性变换 $~S~$ 是满足方程 $~(1)~$ 和 $~(2)~$ 的唯一变换（函数、映射）。

假设 $~T~$ 可逆，存在逆变换 $~S~$ ，使得：
$S(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ $T(S(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$
由于 $~T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}~$ ，对任意 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ ，方程 $~T(S(\mathbf{b}))=\mathbf{b}~$ 成立，说明 $~\mathbf{b}~$ 属于 $~T~$ 的值域，即 $~T~$ 是满射。
$~T~$ 是满射，说明矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列向量张成整个 $~\mathbb{R}^n~$ ，即 $~\mathbf{A}~$ 可逆。

假设 $~\mathbf{A}~$ 可逆，定义线性变换 $~S(\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}~$ 。
验证 $~S~$ 满足：
$S(T(\mathbf{x}))=S(\mathbf{A}\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{Ax})=\mathbf{x}$ $T(S(\mathbf{x}))=\mathbf{A}(S(\mathbf{x}))=\mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x})=\mathbf{x}$
因此， $~S~$ 是 $~T~$ 的逆变换， $~T~$ 可逆。

假设存在两个逆变换 $~S_1~$ 和 $~S_2~$ ，满足 $~S_1(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ 和 $~S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ 。
对任意 $~\mathbf{x}~$ ，有 $~S_1(T(\mathbf{x}))=S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ ，因此 $~S_1=S_2~$ 对所有 $~\mathbf{x}~$ 成立，说明逆变换 $~S~$ 唯一。

2.2 矩阵的逆

2.4 分块矩阵

浙ICP备2024102481号

可逆矩阵的特征

1. 可逆矩阵定理

定理 8

可逆矩阵定理

设 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~n\times n~$ 的方阵。则以下陈述是等价的。对于给定的 $~\mathbf{A}~$ ，这些陈述要么全为真，要么全为假。

$\mathbf{A}~$ 是可逆矩阵。
$\mathbf{A}~$ 行等价于 $~n\times n~$ 单位矩阵。
$\mathbf{A}~$ 有 $~n~$ 个主元位置。
方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ 只有平凡解（解是零向量 $~\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ ）。
$\mathbf{A}~$ 的列构成一个线性无关集。
线性变换 $~\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 是一对一的。
对于 $~\mathbb{R}^n~$ 中的每一个 $~\mathbf{b}~$ ，方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 至少有一个解（唯一解）。
$\mathbf{A}~$ 的列张（生）成 $~\mathbb{R}^n~$ 。
线性变换 $~\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 将 $~\mathbb{R}^n~$ 映射到 $~\mathbb{R}^n~$ 。
存在一个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{C}~$ ，使得 $~\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{I}~$ 。
存在一个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{D}~$ ，使得 $~\mathbf{A}\mathbf{D}=\mathbf{I}~$ 。
$\mathbf{A}^{\top}~$ 是可逆矩阵。

上面所有这些等价条件，两两之间都可以被证明。下面我们随机从三类条件中挑出两对儿来证明：

已知条件：
- $~\mathbf{A},\mathbf{D}~$ 是 $~n\times n~$ 的方阵。
- 已知 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ，其中 $~\mathbf{I}_n~$ 是 $~n\times n~$ 的单位矩阵。
- $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 。
构造解：
- 令 $~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~$ ，其中 $~\mathbf{Db}~$ 是一个向量。
代入方程：
- 将构造的解 $~\mathbf{x}=\textcolor{red}{\mathbf{Db}}~$ 代入方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ ，得 $~\mathbf{A}(\textcolor{red}{\mathbf{Db}})=\mathbf{b}~$ 。
利用 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ：
- 根据已知条件 $~\mathbf{AD}=\mathbf{I}_n~$ ，有 $~\mathbf{A}(\mathbf{Db})=(\mathbf{AD})\mathbf{b}=\mathbf{I}_n\mathbf{b}=\mathbf{b}~$ 。
证明唯一性：
- 假设 $~\mathbf{x}_1~$ 和 $~\mathbf{x}_2~$ 都是方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ 的解。
- 则 $~\mathbf{A}(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2)=\mathbf{Ax}_1-\mathbf{Ax}_2=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}~$ 。
- 由 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{0}~$ 仅有平凡解（即 $~\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ ），可以得到 $~\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2=\mathbf{0}~$ ，因此 $~\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2~$ 。
结论：
- 当 $~\mathbf{x}=\mathbf{Db}~$ 时，方程 $~\mathbf{Ax}=\mathbf{b}~$ 对于任意的 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 有唯一解。

参考 1.4 节定理 4。

2. 可逆矩阵线性变换

矩阵乘法可以看做是线性变换的组合，如果矩阵是可逆的，那么相应的线性变换也是可逆的。

具体定义如下：若存在变换（函数、映射） $~S:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n~$ 使得：

S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (1)

T(S(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\quad (2)

定理 9

线性变换可逆性定理

假设 $~T~$ 可逆，存在逆变换 $~S~$ ，使得：
$S(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ $T(S(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$
由于 $~T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}~$ ，对任意 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ ，方程 $~T(S(\mathbf{b}))=\mathbf{b}~$ 成立，说明 $~\mathbf{b}~$ 属于 $~T~$ 的值域，即 $~T~$ 是满射。
$~T~$ 是满射，说明矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列向量张成整个 $~\mathbb{R}^n~$ ，即 $~\mathbf{A}~$ 可逆。

假设 $~\mathbf{A}~$ 可逆，定义线性变换 $~S(\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}~$ 。
验证 $~S~$ 满足：
$S(T(\mathbf{x}))=S(\mathbf{A}\mathbf{x})=\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{Ax})=\mathbf{x}$ $T(S(\mathbf{x}))=\mathbf{A}(S(\mathbf{x}))=\mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x})=\mathbf{x}$
因此， $~S~$ 是 $~T~$ 的逆变换， $~T~$ 可逆。

假设存在两个逆变换 $~S_1~$ 和 $~S_2~$ ，满足 $~S_1(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ 和 $~S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ 。
对任意 $~\mathbf{x}~$ ，有 $~S_1(T(\mathbf{x}))=S_2(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}~$ ，因此 $~S_1=S_2~$ 对所有 $~\mathbf{x}~$ 成立，说明逆变换 $~S~$ 唯一。

2.2 矩阵的逆

2.4 分块矩阵

可逆矩阵的特征

1. 可逆矩阵定理

1证明 k⇒g ~k\Rightarrow g~ k⇒g

2证明 g⇒h ~g\Rightarrow h~ g⇒h

2. 可逆矩阵线性变换

1证明： T ~T~ T 可逆 ⇒A ~\Rightarrow \mathbf{A}~ ⇒A 可逆

2证明： A ~\mathbf{A}~ A 可逆 ⇒T ~\Rightarrow T~ ⇒T 可逆

3证明变换 S ~S~ S 的唯一性

可逆矩阵的特征

1. 可逆矩阵定理

1证明 k⇒g ~k\Rightarrow g~ k⇒g

2证明 g⇒h ~g\Rightarrow h~ g⇒h

2. 可逆矩阵线性变换

1证明： T ~T~ T 可逆 ⇒A ~\Rightarrow \mathbf{A}~ ⇒A 可逆

2证明： A ~\mathbf{A}~ A 可逆 ⇒T ~\Rightarrow T~ ⇒T 可逆

3证明变换 S ~S~ S 的唯一性