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商业、科学与工程中的线性模型

1. 线性模型的基本概念

线性模型是描述变量之间线性关系的数学模型，其核心是将问题转化为线性方程组，通过矩阵方法求解。线性模型具有简单、易于理解和计算的特点，广泛应用于各个领域。

1.1 线性模型定义

线性关系是指两个或多个变量之间的关系可以用一条直线或一个平面来表示。如果变量 与变量 之间存在线性关系，可以表示为：
y=a1x1+a2x2+⋯+anxn+by = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n + b
其中，a1,a2,⋯ ,an a_1,a_2,\cdots,a_n~是系数，b b~是常数项。x1,x2,⋯ ,xn x_1,x_2,\cdots,x_n~是自变量，y y~是因变量。这种关系在几何上可以表示为一条直线（在一维情况下）或一个平面（在二维以上情况下）。

1.2 线性模型的数学表示

线性模型通常表示为线性方程组的形式。一个包含 m ~m~个方程和 n ~n~个变量的线性方程组可以表示为：
{α11x1+α12x2+⋯+α1nxn=b1α21x1+α22x2+⋯+α2nxn=b2⋮αm1x1+αm2x2+⋯+αmnxn=bm\begin{cases} \alpha_{11}x_1 + \alpha_{12}x_2 + \cdots + \alpha_{1n}x_n = b_1 \\ \alpha_{21}x_1 + \alpha_{22}x_2 + \cdots + \alpha_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \alpha_{m1}x_1 + \alpha_{m2}x_2 + \cdots + \alpha_{mn}x_n = b_m \end{cases}
其中，αii\alpha_{ii} 是系数，bib_i 是常数项，xix_i 是变量。这种方程组可以用矩阵形式表示为：
Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}
其中，A \mathbf{A}~是一个 m×n ~m\times n~的系数矩阵，x \mathbf{x}~是一个 n×1 ~n\times 1~的变量向量，b \mathbf{b}~是一个 m×1 ~m\times 1~的常数向量。

2. 营养学中的线性模型

例 1 ~1~：使用非脱脂牛奶、大豆粉和乳清三种食材，找到一种组合（以 100 ~100~克为单位），使其每日提供的蛋白质、碳水化合物和脂肪量完全符合剑桥饮食的要求。

营养素每100g食材供应量(g)每日供应量(g)
脱脂牛奶大豆粉乳清
蛋白质36511333
碳水化合物52347445
脂肪071.13
解：

  1. 定义变量：设 x1 ~x_1~为非脱脂牛奶的单位数（每单位 100g ~100g~）；x2 x_2~为大豆粉的单位数； x3 ~x_3~为乳清的单位数。

  2. 建立向量方程：每种食材的营养贡献为向量，目标营养向量为 b=[33453]T ~\mathbf{b}=\begin{bmatrix}33 & 45 & 3 \end{bmatrix}^T~，则：
    x1[36520]+x2[51347]+x3[13741.1]=[33453]x_1\begin{bmatrix}36 \\ 52 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}51 \\ 34 \\ 7\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}13 \\ 74 \\ 1.1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}33 \\ 45 \\ 3\end{bmatrix}
    转化为线性方程组：
    {36x1+51x2+13x3=33( 蛋白质 )52x1+34x2+74x3=45( 碳水化合物 )0x1+7x2+1.1x3=3( 脂肪 )\begin{cases} \begin{aligned} 36x_1 + 51x_2 + 13x_3 &= 33 && \small{(~蛋白质~)} \\[2ex] 52x_1 + 34x_2 + 74x_3 &= 45 && \small{(~碳水化合物~)} \\[2ex] 0x_1 + 7x_2 + 1.1x_3 &= 3 && \small{(~脂肪~)} \end{aligned} \end{cases}
  3. 构建增广矩阵并行简化：
    [3651133352347445071.13]∼[1000.2770100.3920010.233]\begin{bmatrix} 36 & 51 & 13 & 33 \\ 52 & 34 & 74 & 45 \\ 0 & 7 & 1.1 & 3 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0.277 \\ 0 & 1 & 0 & 0.392 \\ 0 & 0 & 1 & 0.233 \end{bmatrix}
  4. 结果：
    x1=0.277 单位( ≈27.7g  非脱脂牛奶 )x2=0.392 单位( ≈39.2g  大豆粉 )x3=0.233 单位( ≈23.3g  乳清 )\begin{align*} x_1 & =0.277~\small{单位}\quad (~\approx 27.7 g~\small{~非脱脂牛奶~}) \\[2ex] x_2 & =0.392~\small{单位}\quad (~\approx 39.2 g~\small{~大豆粉~}) \\[2ex] x_3 & =0.233~\small{单位}\quad (~\approx 23.3 g~\small{~乳清~}) \end{align*}
通过线性模型求解，非脱脂牛奶（ 27.7g ~27.7g~）、大豆粉（ 39.2g ~39.2g~）和乳清（ 23.3g ~23.3g~）的精确配比可满足每日 33g ~33g~蛋白质、 45g ~45g~碳水化合物和 3g ~3g~脂肪的营养需求。

3. 工程中的线性模型：电路网络分析

在电气工程中，电路网络分析是设计、优化和故障诊断的基础。当电路包含多个回路和分支时，手动计算各支路电流和电压降变得复杂。基尔霍夫电压定律 (KVL) ~\text{(KVL)}~和欧姆定律为建立线性模型提供了理论框架。通过将电路问题转化为线性方程组，并利用矩阵方法求解，可高效解决复杂电路问题。

例 2 ~2~：一个电路包含三个闭合回路，各回路电流分别为 I1,I2,I3 ~I_1,I_2,I_3~，电路参数如上图所示。请确定各回路电流 I1,I2,I3 ~I_1,I_2,I_3~。

解：

  • 回路 1 ~1~：

    • 总电阻电压降：4I1+3I1+4I1=11I14I_1 + 3I_1 + 4I_1 = 11I_1。

    • 分支 AB ~AB~：的电流 I2 ~I_2~与 I1 ~I_1~方向相反，引入负号： −3I2 ~-3I_2~。

    • 电压源： +30V ~+30V~。
      11I1−3I2=30(1)11I_1 - 3I_2 = 30\tag{1}

  • 回路 2 ~2~：

    • 回路 1 ~1~的电流 I1 ~I_1~在 AB ~AB~分支产生反向电压降：−3I1 -3I_1~。

    • 回路 2 ~2~自身电阻总电压降：3I2+3I2=6I2 3I_2 + 3I_2 = 6I_2~。

    • 回路 3 ~3~的电流 I3 ~I_3~在 CD ~CD~分支产生反向电压降：−I3 -I_3~。

    • 电压源： +5V ~+5V~。
      −3I1+6I2−I3=5(2)- 3I_1 + 6I_2 - I_3 = 5\tag{2}

  • 回路 3 ~3~：

    • 回路 2 ~2~的电流 I2 ~I_2~在 CD ~CD~分支产生反向电压降：−I2 -I_2~。

    • 回路 3 ~3~自身电阻总电压降：2I3+I3=3I3 2I_3 + I_3 = 3I_3~

    • 电压源：−20V−5V=−25V -20V - 5V = -25V~。
      −I2+3I3=−25(3)-I_2 + 3I_3 = -25\tag{3}

将方程组 (1)(2)(3) ~(1)(2)(3)~写成矩阵形式 RI=V ~\mathbf{R}\mathbf{I} = \mathbf{V}~：
[11−30−36−10−13][I1I2I3]=[305−25]\begin{bmatrix} 11 & -3 & 0 \\ -3 & 6 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_1 \\ \mathbf{I}_2 \\ \mathbf{I}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 \\ 5 \\ -25 \end{bmatrix}
对增广矩阵进行行化简：
[11−3030−36−150−13−25]∼[10030101001−8]\begin{bmatrix} 11 & -3 & 0 & 30 \\ -3 & 6 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 & -25 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{bmatrix}
解得：
I1=3A,I2=1A,I3=−8AI_1 = 3A,\quad I_2 = 1A,\quad I_3 = -8A

I3=−8AI_3 = -8A表示实际电流方向与假设方向相反。另外，分支 AB ~AB~上的电流为 I1−I2=2A ~I_1 - I_2 = 2A~（方向同 I1 ~I_1~）；分支 CD ~CD~上的电流为 I2−I3=1−(−8)=9A ~I_2 - I_3 = 1 - (-8) = 9A~（方向同 I2 ~I_2~）。

4. 动态系统建模：线性差分方程

在数学与应用科学领域，差分方程作为一种强大的工具，用于描绘动态系统在离散时间间隔下的状态演变。它以简洁的形式捕捉系统状态随时间步进的变化规律，为预测和分析复杂系统提供了有效途径。

4.1 差分方程

差分方程是描述离散时间动态系统状态演化的数学模型，其标准形式为：

  1. 线性性：状态变化量始终为当前状态的线性组合，满足叠加原理。这一特性使得方程可通过矩阵特征值分析、模态分解等方法实现解析求解。

  2. 递推性：给定初始状态 x0 ~\mathbf{x}_0~，通过迭代计算 xk+1=Axk ~\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_k~可递推获得全部离散时刻的状态序列 {xk} ~\{\mathbf{x}_k\}~，从而完整刻画系统的长期演化规律。

差分方程的应用范围极为广泛。在生态学中，它被用来模拟生物种群数量的年度变化，帮助生态学家理解物种间的相互作用和生态系统稳定性。在经济学领域，差分方程可用于构建经济指标的动态模型，如国民收入、通货膨胀率等随时间的演变，为经济政策制定提供理论支持。此外，在工程学、计算机科学、社会学等多个学科，差分方程都发挥着重要作用，成为分析和解决离散时间动态问题的通用框架。

4.2 人口迁移示例

例 3 ~3~：计算由城市和郊区组成的一个地区在 2021 ~2021~年和 2022 ~2022~年的人口数量。 2020 ~2020~年的初始人口为城市 600,000 ~600,000~人，郊区 400,000 ~400,000~人。迁移模式为每年城市人口的 5% ~5\%~迁移到郊区（ 95% ~95\%~留在城市），郊区人口的 3% ~3\%~迁移到城市（ 97% ~97\%~留在郊区）。

解：
  1. 初始人口向量：
    x0=[600,000400,000]\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 600,000 \\ 400,000 \end{bmatrix}
  2. 迁移矩阵：
    M=[M11M12M21M22]=[0.950.030.050.97]\mathbf{M} = \begin{bmatrix}M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97\end{bmatrix}

    • M11=0.95M_{11} = 0.95表示城市人口的 95% ~95\%~仍留在城市。

    • M12=0.03M_{12} = 0.03表示郊区人口的 3% ~3\%~迁移到城市。

    • M21=0.05M_{21} = 0.05表示城市人口的 5% ~5\%~迁移到郊区。

    • M22=0.97M_{22} = 0.97表示郊区人口的 97% ~97\%~仍留在郊区。

  3. 计算 2021 ~2021~年人口(x1)(\mathbf{x}_1)：
    x1=Mx0=[0.950.030.050.97][600,000400,000]=[582,000418,000]\mathbf{x}_1 = \mathbf{M}\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97\end{bmatrix} \begin{bmatrix}600,000 \\ 400,000\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}582,000 \\ 418,000\end{bmatrix}
  4. 计算 2022 ~2022~年人口(x2)(\mathbf{x}_2)：
    x2=Mx1=[0.950.030.050.97][582,000418,000]=[565,440434,560]\mathbf{x}_2 = \mathbf{M}\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97\end{bmatrix} \begin{bmatrix}582,000 \\ 418,000\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}565,440 \\ 434,560\end{bmatrix}

1.8 线性变换的矩阵

2.1 矩阵运算

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