二次型

1. 二次型的定义

设 $~\mathbb{R^n}~$ 为 $~n~$ 维实向量空间，二次型是定义在 $~\mathbb{R^n}~$ 上的函数 $~Q(x)~$ ，其形式为：

其中， $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{bmatrix}^T$ 是列向量， $\mathbf{A}$ 为 $~n\times n~$ 实对称矩阵，称为关于二次型的矩阵 （ $\textbf{matrix of the quadratic form}$ ） 。例如，对于二维变量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}^T$ ，二次型的矩阵形式为：

展开后得到二次函数：

由于 $~\mathbf{A}~$ 对称（ $a_{12} = a_{21}$ ），最终形式为：

下面两个示例分别演示了对角矩阵和对称矩阵的二次型计算，通过矩阵乘法将二次型 $~Q(x)= \mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ 展开为具体的多项式形式的过程：

通过对比可以发现，对角矩阵的二次型仅包含平方项，而非对角矩阵的二次型则包含交叉项，其系数由矩阵的非对角元素决定。下面的示例展示了如何将一个给定的二次多项式表示为矩阵形式 $~\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ ：

通过将平方项的系数置于矩阵的对角线，并将交叉项的系数平分到对称位置，可以构造出对称矩阵 $~\mathbf{A}~$ ，从而将二次型转化为矩阵形式。

2. 二次型中的变量替换

在实际应用中，为了进一步简化复杂的二次关系，通常的做法是对二次型进行标准化处理，通过变量替换将其转化为仅含平方项的标准形式。我们接下来讨论如何通过正交对角化和变量替换实现这一过程。

2.1 交叉项的问题与标准形式

二次型中的交叉项会增加计算复杂度，并使得几何性质（如椭圆、双曲线的形状和方向）难以直观理解。为了简化分析和计算，可以通过变量替换消除交叉项，将其转化为标准形式：

其中， $\mathbf{D}~$ 为对角矩阵，对角元素 $~\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n~$ 为二次型矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值， $~\mathbf{y}~$ 为新的变量。

2.2 变量替换的核心思想

变量替换的核心思想是通过一个可逆矩阵 $~\mathbf{P}~$ 将原始变量 $~\mathbf{x}~$ 替换为新变量 $~\mathbf{y}~$ ，即：

通过这种替换，二次型 $~Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ 可以转化为：

新的二次型矩阵变为 $~\mathbf{D} = \mathbf{P}^T \mathbf{A} \mathbf{P}$ 。可见，变量替换的过程本质上就是对矩阵 $~\mathbf{A}~$ 正交对角化 的过程。

2.3 变量替换的示例

给定二次型：

通过变量替换将其转化为标准形式，消除交叉项。

验证标准形式的值和原二次型结果等价可由下图说明：

3. 主轴定理及其几何意义

根据 $~(1)~$ 式，我们可以把变量变换过程可以推广到任意的对称矩阵，这一结论由下面的主轴定理给出。"主轴" （ $\textbf{Principal Axes}$ ）的概念让我们可以将二次型的几何图形（如椭圆、双曲线）对齐到标准位置，从而更好地理解二次型的性质。

3.1 主轴定理

在主轴定理中，正交矩阵 $~\mathbf{P}~$ 的列向量被称为二次型 $~\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ 的主轴，这些主轴实际上是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量，它们构成了 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个标准正交基。

3.2 几何意义

主轴变换的几何意义在于通过坐标系的旋转，将复杂的二次型图形转化为标准形式。二次型 $~\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} = c~$ （ $~c~\text{为常数}$ ）对应的几何图形可能是椭圆、双曲线、直线等，具体形态取决于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和常数 $~c~$ 的符号。例如，当 $\mathbf{A}~$ 为非对角矩阵时，图形处于非主轴位置，且二次型有交叉项。通过对 $~\mathbf{A}~$ 进行标准化处理，实际上是将图形旋转到由 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量定义的主轴位置。这一过程可以通过下面的动画展示：

3.3 动画中的两个示例

4. 二次型的分类与性质

二次型可以根据其矩阵的特征值符号进行分类，不同类型的二次型对应不同的几何图形。通过研究二次型的定号性（正定、负定、不定等），我们可以更好地理解其几何性质和代数性质。

4.1 几何表示与分类示例

对于二维空间中的二次型 $~Q(x)=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ ，其几何图形可以通过 $~z=Q(x)~$ 来表示，其中 $~z~$ 是二次型在点 $~(x_1,x_2)~$ 处的值。此时， $~(x_1,x_2,z)~$ 表示的是三维空间中的图形。下面的三维场景展示了四种不同类型的二次型及其对应的几何图形：

$(1)\quad z=3x_1^2+7x_2^2$ ：这是一个正定 （ $\textbf{Positive Definite}$ ） 二次型，对于所有非零向量 $~\mathbf{x}~$ ， $Q(\mathbf{x})>0$ 。它对应的图形是一个开口向上的椭圆抛物面。

$(2)\quad z=3x_1^2$ ：这是一个半正定 （ $\textbf{Positive Semidefinite}$ ） 二次型，对于所有向量 $~\mathbf{x}~$ ， $Q(\mathbf{x}) \geq 0$ 。它对应的图形是一个开口向上的抛物柱面。

$(3)\quad z=3x_1^2-7x_2^2$ ：这是一个不定 （ $\textbf{Indefinite}$ ） 二次型，存在某些向量 $~\mathbf{x}~$ 使得 $Q(\mathbf{x}) > 0$ ，另一些向量 $~\mathbf{x}~$ 使得 $Q(\mathbf{x})<0$ 。它对应的图形是一个双曲抛物面（形状像马鞍，又叫马鞍面）。

$(4)\quad z=-3x_1^2-7x_2^2$ ：它是一个负定 （ $\textbf{Negative Definite}$ ） 二次型，对应图形是一个开口向下的椭圆抛物面。

通过对二次型的定号性（如正定、负定、不定等）进行分类，我们可以更好地理解其几何性质、代数性质以及在实际问题中的应用。例如，在优化问题中，正定二次型对应于严格凸函数，具有唯一的最小值；负定二次型对应于严格凹函数，具有唯一的最大值；而不定二次型则可能具有鞍点。

4.2 二次型与特征值

二次型矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值的符号直接决定了二次型的定号性，进而决定了其几何图形的形状和方向。通过研究特征值，我们可以快速判断二次型的性质，有以下定理：

4.3 通过特征值判定二次型类型

根据定理 $~5~$ ，我们可以通过分析矩阵的特征值来判断一个二次型属于哪一种类型。例如，判断二次型 $~Q(x) = 3x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 4x_2x_3~$ 是否为正定的。尽管这个二次型的所有系数都是正的，看起来像是正定的，但其矩阵：

的特征值为 $~\lambda_1 = 5,\lambda_2 = 2,\lambda_3 = -1~$ 。因此， $Q(x)~$ 是一个不定二次型。它所对应的几何图形为单叶双曲面：

4.4 矩阵的定号性

对二次型的分类可以应用于其对应的对称矩阵上。具体来说，如果某个对称矩阵 $~\mathbf{A}~$ 对应的二次型 $~\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}~$ 是正定的（等价于 $~\mathbf{A}~$ 的特征值均为正），那么我们称矩阵 $~\mathbf{A}~$ 为正定矩阵 （ $\textbf{positive definite matrix}$ ） 。类似地，如果二次型是负定的（特征值全负），则 $~\mathbf{A}~$ 为负定矩阵 （ $\textbf{negative definite matrix}$ ） ，以此类推。