2.6 列昂惕夫投入-产出模型

列昂惕夫投入-产出模型

列昂惕夫投入产出模型分析了经济活动中不同部门间的相互依赖关系。通过构建消耗矩阵，该模型描述了各部门的中间需求与最终需求，计算生产水平以满足需求。

1. 列昂惕夫投入产出模型的介绍

在经济活动中，为了确保资源的有效利用，人们总是希望每个行业的生产量能够刚好满足社会的需求。这种平衡不仅体现在最终消费品上，也体现在各行业间的中间产品供给上。以生产一辆汽车为例，汽车制造不仅需要满足消费者的需求，还依赖来自钢铁、橡胶、电子、化工、玻璃等众多行业的投入。这些行业的产出同样依赖其他行业的投入：钢铁生产依赖采矿业提供原材料，橡胶生产依赖农业提供天然橡胶，电子行业的产出则依赖半导体行业的元件支持等等。

我们用产出向量

~\mathbf{x}~

代表每个行业的总产量，它既包括直接面向最终消费者的产品——最终需求

~\mathbf{d}~

，也包括用于满足其他行业生产需求的中间产品——中间需求。而中间需求则是行业间的相互依赖，如钢铁、橡胶等行业为汽车行业提供的生产投入。我们有如下结论：总产出

~\mathbf{x}~

等于中间需求与最终需求

~\mathbf{d}~

之和，即：

\left\{ \text{总产出} \ \mathbf{x} \right\} = \left\{ \text{中间需求} \right\} + \left\{ \text{最终需求} \ \mathbf{d} \right\} \tag{1}

这些复杂的行业间的相互依赖关系可以通过列昂惕夫（

~\mathbf{Leontief}~

）投入产出模型来进行描述和分析。该模型的基本假设是：对于每个行业，都存在一个单位消费向量（

~\mathbf{unit~consumption~vector}~

），它列出了每个行业每单位产出所需的投入。这个向量中的每个元素表示该行业从其他行业购买的中间产品的数量。下面是与汽车制造相关的部分行业间的单位消费量的弦图：

在实际应用中，列昂惕夫投入产出模型通常涉及数百甚至上千个行业和部门。例如，现代国家级经济分析中，模型可能包含

~600~

到

~1000~

个行业分类，尤其在大型经济体或复杂的全球供应链分析中。

2. 列昂惕夫模型的方程

假设某经济体系由三个行业组成——制造业、农业、服务业，单位消耗量 $~\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3$ ，请看下面的表格：

中间需求	制造业 $~\mathbf{c}_1~$	农业 $~\mathbf{c}_2~$	服务业 $~\mathbf{c}_2~$
制造业	0.50	0.40	0.20
农业	0.20	0.30	0.10
服务业	0.10	0.10	0.30

以生产

~x_1~

单位的制造业为例，它需要的中间需求

~x_1\mathbf{c}_1~

表示：制造业投入

~\textcolor{#2196f3}{0.4}x_1~

，农业投入

~\textcolor{#2196f3}{0.15}x_1~

，服务业投入

~\textcolor{#2196f3}{0.1}x_1~

。类似的产出

~x_2~

单位的农业需要的中间需求为

~x_2\mathbf{c}_2

，产出

~x_3~

单位的服务业需要中间需求为

~x_3\mathbf{c}_3~

，三部门的中间需求可以表示为：

\left\{ \text{中间需求} \right\}=x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3 \tag{2}

其中

~\mathbf{C}~

是消耗矩阵（

\mathbf{consumption~matrix}

）

\begin{bmatrix}\mathbf{c}_1&\mathbf{c}_2&\mathbf{c}_3\end{bmatrix}~

，对应上面表格即：

\mathbf{C}=\begin{bmatrix} \textcolor{#2196f3}{0.50} & \textcolor{#ff8200}{0.40} & \textcolor{#d32f2f}{0.20} \\ \textcolor{#2196f3}{0.20} & \textcolor{#ff8200}{0.30} & \textcolor{#d32f2f}{0.10} \\ \textcolor{#2196f3}{0.10} & \textcolor{#ff8200}{0.10} & \textcolor{#d32f2f}{0.30} \end{bmatrix} \tag{3}

基于方程

~(1)~

和

~(2)~

有下面方程：

定义

列昂惕夫投入-产出模型

\mathbf{x}=\mathbf{Cx}+\mathbf{d} \tag{4}

其中

~\mathbf{x}~

表示总产出，

~\mathbf{Cx}~

表示中间需求，

~\mathbf{d}~

表示最终需求。

上面方程

~(4)~

可以进一步化简：

\begin{align*} \mathbf{Ix} - \mathbf{Cx} &= \mathbf{d} \\[2ex] \Rightarrow (\mathbf{I} - \mathbf{C})\mathbf{x} &= \mathbf{d} \tag{5} \end{align*}

在实际应用中，通常已知的是最终需求

~\mathbf{d}~

，因为它代表消费者对各行业产品的直接需求，这可以通过市场调查或政府统计得出。同时，消耗矩阵

~\mathbf{C}~

可以通过分析不同行业的生产数据、采购合同等信息来确定。假设某经济体的消耗矩阵

~\mathbf{C}~

已知，如

~(3)~

所示，且最终需求为制造业

~50~

单位、农业

~30~

单位、服务业

~20~

单位，那么我们可以根据公式

~(5)~

计算出满足该需求所需的总生产量

~\mathbf{x}~

：

结果表示，制造业需要生产大约 $~226~$ 单位，农业需要生产 $~119~$ 单位，服务业需要生产 $~78~$ 单位。

3. 矩阵求逆的新方法

对于公式 $~(5)~$ ，我们可以根据本章的定理 5，推导出 $~\mathbf{x}=(\mathbf{I-C})^{-1}\mathbf{d}~$ 。有如下定理：

定理 11

计算生产量定理

设

~\mathbf{C}~

是某个经济体的消耗矩阵，设

~\mathbf{d}~

是最终需求。如果

~\mathbf{C}~

和

~\mathbf{d}~

的元素均为非负，并且

~\mathbf{C}~

的每一列的和都小于

~1~

，那么

~\mathbf{I-C}^{-1}~

存在，且生产向量

\mathbf{x}=(\mathbf{I-C})^{-1}\mathbf{d} \tag{6}

具有非负元素，并且是方程

\mathbf{x}=\mathbf{Cx}+\mathbf{d}

的唯一解。

在大多数实际应用中，

~\mathbf{I-C}~

都是可逆的，计算得到的

~\mathbf{x}~

也是经济上合理的（也即

~\mathbf{x}~

中的元素非负）。在消耗矩阵

~\mathbf{C}~

中，要保证经济上可行（收益高过成本），

~\mathbf{C}~

的每一列的和必定小于

~\mathbf{1}~

，这是矩阵

~\mathbf{I-C}~

可逆的一个充分条件。

在列昂惕夫模型提出的早期（20世纪中期），计算机进行大规模的矩阵运算还比较吃力，求解

~(\mathbf{I-C})^{-1}~

主要依赖几何级数展开法来近似求解。计算公式如下：

\textcolor{red}{(\mathbf{I-C})^{-1}= \mathbf{I} + \mathbf{C} + \mathbf{C}^2 + \mathbf{C}^3 + \cdots} \tag{7}

上面公式来源于列昂惕夫模型中的生产需求层次递归公式：

\mathbf{x} = \mathbf{d} + \mathbf{Cd} + \mathbf{C}^2\mathbf{d} + \mathbf{C}^3\mathbf{d} + \cdots \tag{8}

这个递归过程可以这样解释：

~\mathbf{d}~

表示最终需求，基于此会产生第一轮中间需求

~\mathbf{Cd}~

，再基于第一轮产生第二轮中间需求

~\mathbf{C}(\mathbf{Cd})~

，然后是第三轮

~\mathbf{C}^3\mathbf{d}~

，这样可以无限循环下去。这个过程如下表所示：

	满足的需求	为满足此需求需要的投入
最终需求	$~\mathbf{d}~$	$~\mathbf{Cd}~$
中间需求
第一轮	$~\mathbf{Cd}~$	$~\mathbf{C}(\mathbf{Cd})=\mathbf{C}^2\mathbf{d}~$
第二轮	$~\mathbf{C}^2\mathbf{d}~$	$~\mathbf{C}(\mathbf{C}^{2}\mathbf{d})=\mathbf{C}^3\mathbf{d}~$
第三轮	$~\mathbf{C}^3\mathbf{d}~$	$~\mathbf{C}(\mathbf{C}^{3}\mathbf{d})=\mathbf{C}^4\mathbf{d}~$
$~\vdots~$	$~\vdots~$	$~\vdots~$

由于在实际应用中，消耗矩阵 $~\mathbf{C}~$ 每列的和小于 $~1~$ （ $~\mathbf{C}~$ 本身每个元素也都小于 $~1~$ ），矩阵 $~\mathbf{C}~$ 的幂很快就会趋于 $~0~$ ，通常只需要计算前几项就能得到很好地近似结果（收敛速度很快）。

4. 矩阵 $~\mathbf{(I-C)}^{-1}$ 的经济意义

在列昂惕夫模型中，矩阵

~(\mathbf{I-C})^{-1}~

的意义在于它描述了在经济体中各个产业之间的相互依赖关系，尤其是在满足最终需求时，每个产业需要增加的生产量。

预测生产变化： $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ 的每一个元素可以用来预测当最终需求 $~\mathbf{d}~$ 发生变化时，各产业的生产量 $~\mathbf{x}~$ 会如何变化。特别地，矩阵 $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ 第 $~j~$ 列的元素表示当第 $~j~$ 个产业的最终需求增加 $~1~$ 单位时，各个产业需要增加的生产量。
总需求的计算：列昂惕夫模型中的最终方程 $\mathbf{x} = \mathbf{(I - C)}^{-1} \mathbf{d}$ 表明，通过 $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ ，可以计算出为了满足某个最终需求向量 $~\mathbf{d}~$ ，整个经济系统中的各个产业需要生产的总量 $~\mathbf{x}~$ 。这个总量包括直接满足最终需求的生产（如直接制造商品），以及为生产这些商品所需的中间产品的生产（如原材料、零部件等）。
中间需求的反馈循环： $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ 反映了中间产品需求的反馈机制。产业之间互相依赖，生产某个产品需要其他产业的中间品，而这些中间品的生产又依赖于其他产品的生产。 $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ 精确地反映了这种循环反馈的累积效应。

总结来说，矩阵 $~(\mathbf{I-C})^{-1}~$ 是列昂惕夫模型中的核心工具，它用来量化产业之间的依赖关系，预测需求变化对整个经济系统的影响，并计算出为了满足给定的最终需求，各个产业需要的总生产量。

2.5 矩阵分解

2.7 在计算机图形学中的应用

列昂惕夫投入-产出模型

1. 列昂惕夫投入产出模型的介绍

2. 列昂惕夫模型的方程

3. 矩阵求逆的新方法

4. 矩阵 (I−C)−1~\mathbf{(I-C)}^{-1} (I−C)−1的经济意义

4. 矩阵 $~\mathbf{(I-C)}^{-1}$ 的经济意义