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在微分方程中的应用

微分方程解决的是连续动力系统中的问题，即描述随时间连续变化的系统行为。

1. 微分方程组的矩阵表示

在自然界和工程中，普遍存在多个变量随时间连续变化的问题。这类问题通常被称为连续动力系统（ $\textbf{Continuous Dynamical\\ System}$ ），其变量之间可通过一组常系数线性微分方程相互关联。公式如下：

\begin{aligned} x_1'(t) & = a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\[1ex] x_2'(t) & = a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n \\[1ex] & \vdots \\[1ex] x_n'(t) & = a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n \end{aligned}

其中， $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是时间 $~t~$ 的可微函数， $a_{ij}$ 是常数。方程组可写成矩阵微分方程的形式：

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) \tag{1}

其中，

\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}

微分方程 $~(1)~$ 的解 $~\mathbf{x}(t)~$ 是一个向量值函数，它是一个 $~n-\text{维}$ 向量，这个解满足方程在每个时刻 $~t~$ 都成立。这些解构成了一个解空间，而且是一个线性空间。这是因为，线性微分方程中的微分运算和矩阵乘法都是线性运算。而在线性空间中，微分方程的解满足叠加性，也即：如果 $~\mathbf{u}(t)~$ 和 $~\mathbf{v}(t)~$ 是方程的解，那么它们的任何线性组合 $~c\mathbf{u} + d\mathbf{v}~$ 也是解。具体的数学表达式为：

(\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v})' = \mathbf{c}\mathbf{u}' + \mathbf{d}\mathbf{v}' = \mathbf{c}\mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{A}(\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v})

解的叠加性允许我们通过已知解的线性组合构造新的解，这使得线性系统的求解过程变得更加简便。

2. 线性微分方程的解法

下面来讨论线性微分方程系统的解法，并介绍特征值和特征向量在求解微分方程中的应用。

2.1 基本解集与初值问题

对于线性微分方程 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ ，总是存在一个基本解集。如果矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是 $~n\times n~$ 矩阵，那么这个方程总会有 $~n~$ 个线性无关的解，方程的每个解都是这些基础解的唯一线性组合。在实际应用中，系统的初始状态通常是已知的，初始条件可以通过给定在 $~t=t_0~$ 时刻的状态 $\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0$ 来确定。因此，线性微分方程的初值问题 $\textbf{Initial Value Problem, IVP}$ ）形式可以表达为：

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0

下面我们分情况来求解线性微分方程的初值问题。

2.2 对角矩阵的特殊情况

当矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是对角矩阵时，系统变得解耦。这意味着每个方程的导数仅依赖于对应的函数，而不需要考虑不同函数之间的相互关系。可以通过分别求解每个方程来求解。考虑如下线性微分方程系统：

\mathbf{x}'(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)

其中，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是对角矩阵：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}

并且，系统有两个方程：

\begin{aligned} x_1'(t) & = 3x_1(t) \\[1ex] x_2'(t) & = -5x_2(t) \end{aligned}

这个系统是解耦的，也就是说，两个方程的解可以独立地求解。下面是对两个方程进行求解的详细过程：

对于方程：

\mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t)

通过分离变量法来求解得：

\frac{dx_1(t)}{x_1(t)} = 3\,dt

对两边同时积分：

\ln|x_1(t)| = 3t + C_1

其中， $~C_1~$ 是积分常数，由初值 $~\mathbf{x}_1(0)~$ 决定。通过取指数化简得：

x_1(t) = C_1'e^{3t}

其中， $C_1'=e^{C_1}$ 也是一个常数。

对于方程：

\mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t)

通过分离变量法来求解得：

\frac{dx_2(t)}{x_2(t)} = -5dt

对两边同时积分：

\ln|x_2(t)| = -5t + C_2

其中， $~C_2~$ 是积分常数，由初值 $~\mathbf{x}_2(0)~$ 决定。通过取指数化简得：

x_2(t) = C_2'e^{-5t}

其中， $C_2'=e^{C_2}$ 也是一个常数。

2.3 推广到一般矩阵的情况

当矩阵 $~\mathbf{A}~$ 不是对角矩阵时，系统就不再是解耦的，这意味着我们不能对每个方程独立地处理。这时，我们可以尝试对 $~\mathbf{A}~$ 做对角化处理。假设 $~\mathbf{A}~$ 可对角化，那么它可以写成如下形式：

\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}

其中： $~\mathbf{D}~$ 是一个对角矩阵，包含了矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值； $~\mathbf{P}~$ 是由矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量组成的矩阵。再通过变换 $\mathbf{x}(t) = \mathbf{P}\mathbf{y}(t)$ ，我们将微分方程从原始的 $\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ 转换为新的系统 $\mathbf{y}'(t) = D\mathbf{y}(t)$ 。此时， $~\mathbf{D}~$ 是对角矩阵，系统就变成了解耦的形式：

\begin{aligned} y_1'(t) &= \lambda_1 y_1(t)\\[1ex] y_2'(t) &= \lambda_2 y_2(t) \end{aligned}

在这种情况下，线性微分方程转化为对角矩阵的形式，从而使得方程系统再次变得解耦。对新的解耦系统进行求解。每个方程的解是指数形式：

y_i(t) = c_i e^{\lambda_i t}

最后，通过 $\mathbf{x}_t=\mathbf{P}\mathbf{y}(t)$ 将解从 $~\mathbf{y}(t)~$ 转换回 $~\mathbf{x}(t)~$ ，从而得到最终解：

\mathbf{x}(t) = \mathbf{P} \mathbf{y}(t) = \mathbf{P} \begin{bmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ c_2 e^{\lambda_2 t} \\ \vdots \end{bmatrix}\tag{2}

其中 $\mathbf{P}=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots \mathbf{v}_n\end{bmatrix}$ 是由 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量组成的矩阵， $~\lambda_i~$ 是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量。把矩阵 $~\mathbf{P}~$ 替换为特征向量 $~\mathbf{v}_i~$ 代入 $~(1)~$ 可得到一般方程 $\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ 解的一般形式：

\colorbox{#F0F8FF}{$\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} \tag{3}$}

式 $~(3)~$ 通过特征值和特征向量构建出了线性微分方程的解，这些解通常称为特征函数（ $\textbf{eigenfunctions}$ ）。

3. 电路电压微分方程

微分方程用于预测电路的动态行为，如电压和电流的变化，对电路设计和优化至关重要。在电子工程领域，通常用微分方程描述电路中电压随时间变化。例如，现有下面的微分方程：

\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\left(1/R_1 + 1/R_2\right) / C_1 & 1/(R_1 C_1) \\ 1/(R_2 C_2) & -1/(R_2 C_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}

其中， $~x_1(t)~$ 和 $~x_2(t)~$ 分别是电路中两个电容器两端的电压， $~t~$ 是时间。电阻 $~R_1=1~$ 欧姆， $~R_2=2~$ 欧姆，电容 $~C_1=1~$ 法拉， $~C_2=0.5~$ 法拉。假设初始时电容器 $~C_1~$ 上的电压为 $~5~$ 伏，电容器 $~C_2~$ 上的电压为 $~4~$ 伏。下面我们来求微分微分方程的解，即：求电压 $~\mathbf{x}_1(t)~$ 和 $~\mathbf{x}_2(t)~$ 随时间变化的公式：

把已知条件代入，将微分方程表示为矩阵 $~\mathbf{A}~$ ，以及把初始电压表示为向量 $~\mathbf{x}_0~$ ：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix}

求解矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量。特征值 $~\lambda_1~$ 和 $~\lambda_2~$ 通过求解特征方程 $\det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$ 得到：

\lambda_1 = -0.5,\quad \lambda_2 = -2

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}

方程的解可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}

使用初始条件 $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 & 4\end{bmatrix}^T$ ，确定常数 $~C_1~$ 和 $~C_2~$ ：

c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}

解得：

c_1=3,\quad c_2=-2

代入常数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ 后，得到电压随时间变化的公式：

\mathbf{x}(t) = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} e^{-0.5t} - 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t}

即：

\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3e^{-0.5t} + 2e^{-2t} \\ 6e^{-0.5t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix} \tag{3}

由于特征值是负的，解 $~x_1(t)~$ 和 $~x_2(t)~$ 都会随着时间的推移逐渐衰减到零。 $~x_2(t)~$ 的衰减速度更快，因为其对应的特征值 $~\lambda_2=-2~$ 为负。轨迹最终趋向原点（吸引点），且电压随时间逐渐稳定。轨迹表示如下：

根据此例中的公式 $~(3)~$ 可知，当特征值为正数时，轨迹形状保持不变，但轨迹会逐渐背离原点。此时，原点为动力系统的排斥点。

4. 分析粒子的运动轨迹分析

物理学中分析粒子在一个力场中的运动时，可以用微分方程来描述粒子的位置。

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x},\quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0

给定矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和初始调教 $~\mathbf{x}_0~$ ：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix}

下面我们来求解这个初值问题，并绘制粒子的轨迹。

求解矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量。特征值 $~\lambda_1~$ 和 $~\lambda_2~$ 通过求解特征方程 $\det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$ 得到：

\lambda_1 = 6,\quad \lambda_2 = -1

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -5 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}

方程的解可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}

使用初始条件 $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}2.9 & 2.6\end{bmatrix}^T$ ，确定常数 $~C_1~$ 和 $~C_2~$ ：

c_1 \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix}

解得：

c_1=-3/70,\quad c_2=188 / 70

代入常数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ 后，得到粒子的位置函数：

\mathbf{x}(t) = -\frac{3}{70} \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} e^{6t} + \frac{188}{70} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-t}

由于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值分别为正和负，这说明原点是一个"鞍点"，系统中有的轨迹向原点靠近（对应负特征值），有的则从原点远离（对应正特征值）。在图中，特征向量 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 分别指向最大排斥方向和最大吸引方向。

5. 复特征值在线性微分方程中的应用

接下来我们来讨论当系统的矩阵具有复特征值时，如何通过复特征值和特征向量来构造系统的解。

在复特征值一节我们讨论过，实数矩阵 $~\mathbf{A}~$ 具有一对复特征值 $~\lambda~$ 和 $\bar{\lambda}$ ，并且对应的特征向量 $~\mathbf{v}~$ 和 $\bar{\mathbf{v}}$ 也是复共轭对。复特征值和复特征向量通常出现在具有旋转或周期性的系统中，例如电气工程中的交流电路分析。

对于微分方程 $~\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)~$ ，如果 $~\mathbf{A}~$ 的特征值是复数，那么系统的解可以通过复数指数函数来表示。具体来说，如果我们有特征值 $~\lambda = a + bi~$ ，则解的形式为：

x_1(t) = v e^{\lambda t} \quad \small{和} \quad x_2(t) = \overline{v} e^{\bar{\lambda}t}

这里， $e^{\lambda t} = e^{(a+bi)t} = e^{at} e^{ibt}$ ，结合欧拉公式 $e^{ibt} = \cos(bt) + i \sin(bt)$ ，可以得到复数指数的实部和虚部分别为：

x_1(t) = v e^{\lambda t} = v e^{at} \left( \cos(bt) + i \sin(bt) \right)

这个解是复数的，通常我们将实部和虚部分开讨论。将共轭复数相加消除掉虚部、相减消除掉实部，可得：

\colorbox{#f0f8ff}{$\text{Re}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2} \left[ x_1(t) + \overline{x_1(t)} \right], \quad \text{Im}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2i} \left[ x_1(t) - \overline{x_1(t)} \right]$}\tag{4}

这些实部和虚部的解会形成一个基于复解的线性组合的解。

对于实际应用，通常我们更关心的是实数解，特别是在许多物理和工程问题中，复数解需要转化为实数解才能进行物理意义的解释。通过对复数解 $~x_1(t)~$ 和 $~x_2(t)~$ 的实部和虚部进行线性组合，我们可以得到两组线性独立的实数解 $~y_1(t)~$ 和 $~y_2(t)~$ 。通过解析，根据欧拉公式以及式 $~(4)~$ 可得到两个实数解：

\colorbox{#F0F8FF}{ $\begin{aligned} \mathbf{y}_1(t) & = \text{Re}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \cos(bt) - \text{Im}(\mathbf{v}) \sin(bt) \right] e^{at} \\[2ex] \mathbf{y}_2(t) & = \text{Im}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \sin(bt) + \text{Im}(\mathbf{v}) \cos(bt) \right] e^{at} \end{aligned}$} \tag{5}

这两个实数解是线性独立的，适用于描述物理系统中的震荡、旋转等现象。这里的 $~b~$ 是复特征值的虚部，决定了系统的震荡频率， $~a~$ 是实部，决定了系统的衰减或增长速率。

再来看一个具体示例，通过复特征值描述电路中的动态行为：电感 $~L~$ 和电容 $~C~$ 组成的电路中电流和电压随时间的变化。给定一个电路，表示为如下微分方程：

\begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R_2/L & -1/L \\ 1/C & -1(R_1C) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix}

其中， $~i_L~$ 是电流通过电感 $~L~$ ， $~v_C~$ 是电容 $~C~$ 上的电压。给定电阻 $~R_1=5~$ 欧姆， $~R_2=0.8~$ 欧姆， $~C=0.1~$ 法拉，电感 $~L=0.4~$ 亨利。通过电感的初始电流为 $~3~$ 安倍， $~C~$ 的初始电压为 $~3~$ 伏。下面是求解过程：

把已知条件代入，得矩阵 $~\mathbf{A}~$ ，以及 $~x_0~$ ：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2 & -2.5 \\ 10 & -2\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3 \\ 3\end{bmatrix}

通过计算矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量，得到复特征值 $~\lambda=-2+5i~$ 和相应的特征向量：

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}i \\ 2\end{bmatrix}

复特征值对应的解为复数解 $x_1(t) = v e^{\lambda t}$ ，其中 $v$ 是特征向量， $e^{\lambda t}$ 是复指数函数。将 $\lambda = -2 + 5i$ 代入，得到复数解：

x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{(-2 + 5i)t}

根据复数解的形式，使用欧拉公式 $~{e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)}~$ ，将 ${e^{(-2 + 5i)t}}$ 展开：

~{e^{(-2 + 5i)t} = e^{-2t}(\cos(5t) + i \sin(5t))}~

因此， $~{x_1(t)}~$ 的表达式为：

~{x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t} (\cos(5t) + i \sin(5t))}~

将复数解分解为实部和虚部，得到两个独立的实数解。首先，我们可以将 $x_1(t)$ 和其共轭解 $x_2(t) = \begin{bmatrix} -i & 2 \end{bmatrix}^T e^{(-2 - 5i)t}$ 结合，得到实部和虚部解。通过计算，得到：

实部解 $y_1(t)$ ：

y_1(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \cos(5t) - \text{Im}(v) \sin(5t) \right]

虚部解 $y_2(t)$ ：

y_2(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \sin(5t) + \text{Im}(v) \cos(5t) \right]

由于 $~y_1(t)~$ 和 $~y_2(t)~$ 是线性独立的，它们构成了方程 $~\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 解空间的基底。因此，通解可以表示为 $~\mathbf{x}(t)=c_1y_1(t) + c_2y_2(t)~$ ，其中 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ 是常数。再根据初始条件 $~\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}^T~$ 可以求 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ ：

c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}

经过计算，得到 $~c_1=1.5~$ 和 $~c_2=3~$ ，所以通解为：

\mathbf{x}(t) = 1.5 \begin{bmatrix} -\sin(5t) \\ 2\cos(5t) \end{bmatrix} e^{-2t} + 3 \begin{bmatrix} \cos(5t) \\ 2\sin(5t) \end{bmatrix} e^{-2t}

下面是根据最终解绘制的轨迹图（以 $~6~$ 起始点绘制）：

5.6 离散动力系统

5.8 特征值的迭代估计

浙ICP备2024102481号

在微分方程中的应用

微分方程解决的是连续动力系统中的问题，即描述随时间连续变化的系统行为。

1. 微分方程组的矩阵表示

\begin{aligned} x_1'(t) & = a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\[1ex] x_2'(t) & = a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n \\[1ex] & \vdots \\[1ex] x_n'(t) & = a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n \end{aligned}

其中， $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是时间 $~t~$ 的可微函数， $a_{ij}$ 是常数。方程组可写成矩阵微分方程的形式：

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) \tag{1}

其中，

\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}

(\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v})' = \mathbf{c}\mathbf{u}' + \mathbf{d}\mathbf{v}' = \mathbf{c}\mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{A}(\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v})

解的叠加性允许我们通过已知解的线性组合构造新的解，这使得线性系统的求解过程变得更加简便。

2. 线性微分方程的解法

下面来讨论线性微分方程系统的解法，并介绍特征值和特征向量在求解微分方程中的应用。

2.1 基本解集与初值问题

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0

下面我们分情况来求解线性微分方程的初值问题。

2.2 对角矩阵的特殊情况

\mathbf{x}'(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)

其中，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是对角矩阵：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}

并且，系统有两个方程：

\begin{aligned} x_1'(t) & = 3x_1(t) \\[1ex] x_2'(t) & = -5x_2(t) \end{aligned}

这个系统是解耦的，也就是说，两个方程的解可以独立地求解。下面是对两个方程进行求解的详细过程：

对于方程：

\mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t)

通过分离变量法来求解得：

\frac{dx_1(t)}{x_1(t)} = 3\,dt

对两边同时积分：

\ln|x_1(t)| = 3t + C_1

其中， $~C_1~$ 是积分常数，由初值 $~\mathbf{x}_1(0)~$ 决定。通过取指数化简得：

x_1(t) = C_1'e^{3t}

其中， $C_1'=e^{C_1}$ 也是一个常数。

对于方程：

\mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t)

通过分离变量法来求解得：

\frac{dx_2(t)}{x_2(t)} = -5dt

对两边同时积分：

\ln|x_2(t)| = -5t + C_2

其中， $~C_2~$ 是积分常数，由初值 $~\mathbf{x}_2(0)~$ 决定。通过取指数化简得：

x_2(t) = C_2'e^{-5t}

其中， $C_2'=e^{C_2}$ 也是一个常数。

2.3 推广到一般矩阵的情况

\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}

\begin{aligned} y_1'(t) &= \lambda_1 y_1(t)\\[1ex] y_2'(t) &= \lambda_2 y_2(t) \end{aligned}

在这种情况下，线性微分方程转化为对角矩阵的形式，从而使得方程系统再次变得解耦。对新的解耦系统进行求解。每个方程的解是指数形式：

y_i(t) = c_i e^{\lambda_i t}

最后，通过 $\mathbf{x}_t=\mathbf{P}\mathbf{y}(t)$ 将解从 $~\mathbf{y}(t)~$ 转换回 $~\mathbf{x}(t)~$ ，从而得到最终解：

\mathbf{x}(t) = \mathbf{P} \mathbf{y}(t) = \mathbf{P} \begin{bmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ c_2 e^{\lambda_2 t} \\ \vdots \end{bmatrix}\tag{2}

\colorbox{#F0F8FF}{$\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} \tag{3}$}

式 $~(3)~$ 通过特征值和特征向量构建出了线性微分方程的解，这些解通常称为特征函数（ $\textbf{eigenfunctions}$ ）。

3. 电路电压微分方程

\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\left(1/R_1 + 1/R_2\right) / C_1 & 1/(R_1 C_1) \\ 1/(R_2 C_2) & -1/(R_2 C_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}

把已知条件代入，将微分方程表示为矩阵 $~\mathbf{A}~$ ，以及把初始电压表示为向量 $~\mathbf{x}_0~$ ：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix}

求解矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量。特征值 $~\lambda_1~$ 和 $~\lambda_2~$ 通过求解特征方程 $\det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$ 得到：

\lambda_1 = -0.5,\quad \lambda_2 = -2

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}

方程的解可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}

使用初始条件 $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 & 4\end{bmatrix}^T$ ，确定常数 $~C_1~$ 和 $~C_2~$ ：

c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}

解得：

c_1=3,\quad c_2=-2

代入常数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ 后，得到电压随时间变化的公式：

\mathbf{x}(t) = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} e^{-0.5t} - 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t}

即：

\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3e^{-0.5t} + 2e^{-2t} \\ 6e^{-0.5t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix} \tag{3}

根据此例中的公式 $~(3)~$ 可知，当特征值为正数时，轨迹形状保持不变，但轨迹会逐渐背离原点。此时，原点为动力系统的排斥点。

4. 分析粒子的运动轨迹分析

物理学中分析粒子在一个力场中的运动时，可以用微分方程来描述粒子的位置。

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x},\quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0

给定矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和初始调教 $~\mathbf{x}_0~$ ：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix}

下面我们来求解这个初值问题，并绘制粒子的轨迹。

求解矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量。特征值 $~\lambda_1~$ 和 $~\lambda_2~$ 通过求解特征方程 $\det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$ 得到：

\lambda_1 = 6,\quad \lambda_2 = -1

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -5 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}

方程的解可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}

使用初始条件 $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}2.9 & 2.6\end{bmatrix}^T$ ，确定常数 $~C_1~$ 和 $~C_2~$ ：

c_1 \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix}

解得：

c_1=-3/70,\quad c_2=188 / 70

代入常数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ 后，得到粒子的位置函数：

\mathbf{x}(t) = -\frac{3}{70} \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} e^{6t} + \frac{188}{70} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-t}

5. 复特征值在线性微分方程中的应用

接下来我们来讨论当系统的矩阵具有复特征值时，如何通过复特征值和特征向量来构造系统的解。

x_1(t) = v e^{\lambda t} \quad \small{和} \quad x_2(t) = \overline{v} e^{\bar{\lambda}t}

这里， $e^{\lambda t} = e^{(a+bi)t} = e^{at} e^{ibt}$ ，结合欧拉公式 $e^{ibt} = \cos(bt) + i \sin(bt)$ ，可以得到复数指数的实部和虚部分别为：

x_1(t) = v e^{\lambda t} = v e^{at} \left( \cos(bt) + i \sin(bt) \right)

这个解是复数的，通常我们将实部和虚部分开讨论。将共轭复数相加消除掉虚部、相减消除掉实部，可得：

\colorbox{#f0f8ff}{$\text{Re}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2} \left[ x_1(t) + \overline{x_1(t)} \right], \quad \text{Im}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2i} \left[ x_1(t) - \overline{x_1(t)} \right]$}\tag{4}

这些实部和虚部的解会形成一个基于复解的线性组合的解。

\colorbox{#F0F8FF}{ $\begin{aligned} \mathbf{y}_1(t) & = \text{Re}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \cos(bt) - \text{Im}(\mathbf{v}) \sin(bt) \right] e^{at} \\[2ex] \mathbf{y}_2(t) & = \text{Im}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \sin(bt) + \text{Im}(\mathbf{v}) \cos(bt) \right] e^{at} \end{aligned}$} \tag{5}

\begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R_2/L & -1/L \\ 1/C & -1(R_1C) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix}

把已知条件代入，得矩阵 $~\mathbf{A}~$ ，以及 $~x_0~$ ：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2 & -2.5 \\ 10 & -2\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3 \\ 3\end{bmatrix}

通过计算矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值和特征向量，得到复特征值 $~\lambda=-2+5i~$ 和相应的特征向量：

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}i \\ 2\end{bmatrix}

复特征值对应的解为复数解 $x_1(t) = v e^{\lambda t}$ ，其中 $v$ 是特征向量， $e^{\lambda t}$ 是复指数函数。将 $\lambda = -2 + 5i$ 代入，得到复数解：

x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{(-2 + 5i)t}

根据复数解的形式，使用欧拉公式 $~{e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)}~$ ，将 ${e^{(-2 + 5i)t}}$ 展开：

~{e^{(-2 + 5i)t} = e^{-2t}(\cos(5t) + i \sin(5t))}~

因此， $~{x_1(t)}~$ 的表达式为：

~{x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t} (\cos(5t) + i \sin(5t))}~

实部解 $y_1(t)$ ：

y_1(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \cos(5t) - \text{Im}(v) \sin(5t) \right]

虚部解 $y_2(t)$ ：

y_2(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \sin(5t) + \text{Im}(v) \cos(5t) \right]

c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}

经过计算，得到 $~c_1=1.5~$ 和 $~c_2=3~$ ，所以通解为：

\mathbf{x}(t) = 1.5 \begin{bmatrix} -\sin(5t) \\ 2\cos(5t) \end{bmatrix} e^{-2t} + 3 \begin{bmatrix} \cos(5t) \\ 2\sin(5t) \end{bmatrix} e^{-2t}

下面是根据最终解绘制的轨迹图（以 $~6~$ 起始点绘制）：

5.6 离散动力系统

5.8 特征值的迭代估计

在微分方程中的应用

1. 微分方程组的矩阵表示

2. 线性微分方程的解法

2.1 基本解集与初值问题

2.2 对角矩阵的特殊情况

1解第一个方程

2解第二个方程

2.3 推广到一般矩阵的情况

3. 电路电压微分方程

1构建矩阵模型

2求解特征值和特征向量

3构建通解并确定常数

4得到最终解

4. 分析粒子的运动轨迹分析

1特征值和特征向量计算

2构建通解并确定常数

3得到粒子的位置函数

5. 复特征值在线性微分方程中的应用

1复特征值与复特征向量的概念

2线性微分方程的解法

3从复数解到实数解的转化

1构建矩阵模型

2求特征值和特征向量

3解的形式以及分解实部和虚部

4计算最终解

在微分方程中的应用

1. 微分方程组的矩阵表示

2. 线性微分方程的解法

2.1 基本解集与初值问题

2.2 对角矩阵的特殊情况

1解第一个方程

2解第二个方程

2.3 推广到一般矩阵的情况

3. 电路电压微分方程

1构建矩阵模型

2求解特征值和特征向量

3构建通解并确定常数

4得到最终解

4. 分析粒子的运动轨迹分析

1特征值和特征向量计算

2构建通解并确定常数

3得到粒子的位置函数

5. 复特征值在线性微分方程中的应用

1复特征值与复特征向量的概念

2线性微分方程的解法

3从复数解到实数解的转化

1构建矩阵模型

2求特征值和特征向量

3解的形式以及分解实部和虚部

4计算最终解