在微分方程中的应用 微分方程解决的是连续动力系统中的问题，即描述随时间连续变化的系统行为。
1. 微分方程组的矩阵表示 在自然界和工程中，普遍存在多个变量随时间
连续变化 的问题。这类问题通常被称为
连续动力系统 （
Continuous Dynamical System \textbf{Continuous Dynamical\\ System} Continuous Dynamical System ），其变量之间可通过一组常系数线性微分方程相互关联。公式如下：
x 1 ′ ( t ) = a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n x 2 ′ ( t ) = a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n ⋮ x n ′ ( t ) = a n 1 x 1 + ⋯ + a n n x n \begin{aligned} x_1'(t) & = a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\[1ex] x_2'(t) & = a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n \\[1ex] & \vdots \\[1ex] x_n'(t) & = a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n \end{aligned} x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) x n ′ ( t ) = a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n = a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n ⋮ = a n 1 x 1 + ⋯ + a nn x n 其中，
x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 是时间
t ~t~ t 的
可微函数 ，
a i j a_{ij} a ij 是常数。方程组可写成矩阵微分方程的形式：
x ′ ( t ) = A x ( t ) (1) \mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) \tag{1} x ′ ( t ) = Ax ( t ) ( 1 ) 其中，
x ( t ) = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ] , x ′ ( t ) = [ x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋮ x n ′ ( t ) ] , A = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ] \mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} x ( t ) = x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) , x ′ ( t ) = x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋮ x n ′ ( t ) , A = a 11 ⋮ a n 1 ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n ⋮ a nn 微分方程
( 1 ) ~(1)~ ( 1 ) 的解
x ( t ) ~\mathbf{x}(t)~ x ( t ) 是一个
向量值函数 ，它是一个
n − 维 ~n-\text{维} n − 维 向量，这个解满足方程在每个时刻
t ~t~ t 都成立。这些解构成了一个解空间，而且是一个线性空间。这是因为，线性微分方程中的微分运算和矩阵乘法都是线性运算。而在线性空间中，微分方程的解满足叠加性，也即：如果
u ( t ) ~\mathbf{u}(t)~ u ( t ) 和
v ( t ) ~\mathbf{v}(t)~ v ( t ) 是方程的解，那么它们的任何线性组合
c u + d v ~c\mathbf{u} + d\mathbf{v}~ c u + d v 也是解。具体的数学表达式为：
( c u + d v ) ′ = c u ′ + d v ′ = c A u + d A v = A ( c u + d v ) (\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v})' = \mathbf{c}\mathbf{u}' + \mathbf{d}\mathbf{v}' = \mathbf{c}\mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{A}(\mathbf{c}\mathbf{u} + \mathbf{d}\mathbf{v}) ( cu + dv ) ′ = c u ′ + d v ′ = cAu + dAv = A ( cu + dv ) 解的叠加性允许我们通过已知解的线性组合构造新的解，这使得线性系统的求解过程变得更加简便。
2. 线性微分方程的解法 下面来讨论线性微分方程系统的解法，并介绍特征值和特征向量在求解微分方程中的应用。
2.1 基本解集与初值问题 对于线性微分方程x ( t ) = A x ( t ) \mathbf{x}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t) x ( t ) = Ax ( t ) 。如果矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 是
n × n ~n\times n~ n × n 矩阵，那么这个方程总会有
n ~n~ n 个线性无关的解，方程的每个解都是这些基础解的唯一线性组合。在实际应用中，系统的初始状态通常是已知的，初始条件可以通过给定在
t = t 0 ~t=t_0~ t = t 0 时刻的状态
x ( t 0 ) = x 0 \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 x ( t 0 ) = x 0 来确定。因此，线性微分方程的
初值问题 Initial Value Problem, IVP \textbf{Initial Value Problem, IVP} Initial Value Problem, IVP ）形式可以表达为：
x ′ ( t ) = A x ( t ) , x ( t 0 ) = x 0 \mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 x ′ ( t ) = Ax ( t ) , x ( t 0 ) = x 0 下面我们分情况来求解线性微分方程的初值问题。
2.2 对角矩阵的特殊情况 当矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 是对角矩阵时，系统变得解耦。这意味着每个方程的导数仅依赖于对应的函数，而不需要考虑不同函数之间的相互关系。可以通过分别求解每个方程来求解。考虑如下线性微分方程系统：
x ′ ( t ) = A x ( t ) \mathbf{x}'(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t) x ′ ( t ) = Ax ( t ) 其中，矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 是对角矩阵：
A = [ 3 0 0 − 5 ] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} A = [ 3 0 0 − 5 ] 并且，系统有两个方程：
x 1 ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) x 2 ′ ( t ) = − 5 x 2 ( t ) \begin{aligned} x_1'(t) & = 3x_1(t) \\[1ex] x_2'(t) & = -5x_2(t) \end{aligned} x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) = − 5 x 2 ( t ) 这个系统是解耦的，也就是说，两个方程的解可以独立地求解。下面是对两个方程进行求解的详细过程：
对于方程：
x ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) \mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t) x ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) 通过分离变量法来求解得：
d x 1 ( t ) x 1 ( t ) = 3 d t \frac{dx_1(t)}{x_1(t)} = 3\,dt x 1 ( t ) d x 1 ( t ) = 3 d t 对两边同时积分：
ln ∣ x 1 ( t ) ∣ = 3 t + C 1 \ln|x_1(t)| = 3t + C_1 ln ∣ x 1 ( t ) ∣ = 3 t + C 1 其中，
C 1 ~C_1~ C 1 是积分常数，由初值
x 1 ( 0 ) ~\mathbf{x}_1(0)~ x 1 ( 0 ) 决定。通过取指数化简得：
x 1 ( t ) = C 1 ′ e 3 t x_1(t) = C_1'e^{3t} x 1 ( t ) = C 1 ′ e 3 t 其中，
C 1 ′ = e C 1 C_1'=e^{C_1} C 1 ′ = e C 1 也是一个常数。
对于方程：
x ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) \mathbf{x}'(t) = 3\mathbf{x}_1(t) x ′ ( t ) = 3 x 1 ( t ) 通过分离变量法来求解得：
d x 2 ( t ) x 2 ( t ) = − 5 d t \frac{dx_2(t)}{x_2(t)} = -5dt x 2 ( t ) d x 2 ( t ) = − 5 d t 对两边同时积分：
ln ∣ x 2 ( t ) ∣ = − 5 t + C 2 \ln|x_2(t)| = -5t + C_2 ln ∣ x 2 ( t ) ∣ = − 5 t + C 2 其中，
C 2 ~C_2~ C 2 是积分常数，由初值
x 2 ( 0 ) ~\mathbf{x}_2(0)~ x 2 ( 0 ) 决定。通过取指数化简得：
x 2 ( t ) = C 2 ′ e − 5 t x_2(t) = C_2'e^{-5t} x 2 ( t ) = C 2 ′ e − 5 t 其中，
C 2 ′ = e C 2 C_2'=e^{C_2} C 2 ′ = e C 2 也是一个常数。
2.3 推广到一般矩阵的情况 当矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 不是对角矩阵时，系统就不再是解耦的，这意味着我们不能对每个方程独立地处理。这时，我们可以尝试对
A ~\mathbf{A}~ A 做对角化处理。假设
A ~\mathbf{A}~ A 可对角化，那么它可以写成如下形式：
A = P D P − 1 \mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} A = PD P − 1 其中：
D ~\mathbf{D}~ D 是一个对角矩阵，包含了矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征值；
P ~\mathbf{P}~ P 是由矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征向量组成的矩阵。再通过
变换 x ( t ) = P y ( t ) \mathbf{x}(t) = \mathbf{P}\mathbf{y}(t) x ( t ) = Py ( t ) ，我们将微分方程从原始的
x ′ ( t ) = A x ( t ) \mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) x ′ ( t ) = Ax ( t ) 转换为新的系统
y ′ ( t ) = D y ( t ) \mathbf{y}'(t) = D\mathbf{y}(t) y ′ ( t ) = D y ( t ) 。此时，
D ~\mathbf{D}~ D 是对角矩阵，系统就变成了解耦的形式：
y 1 ′ ( t ) = λ 1 y 1 ( t ) y 2 ′ ( t ) = λ 2 y 2 ( t ) \begin{aligned}y_1'(t) &= \lambda_1 y_1(t)\\[1ex] y_2'(t) &= \lambda_2 y_2(t) \end{aligned} y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) = λ 1 y 1 ( t ) = λ 2 y 2 ( t ) 在这种情况下，线性微分方程转化为对角矩阵的形式，从而使得方程系统再次变得解耦。对新的解耦系统进行求解。每个方程的解是指数形式：
y i ( t ) = c i e λ i t y_i(t) = c_i e^{\lambda_i t} y i ( t ) = c i e λ i t 最后，通过
x t = P y ( t ) \mathbf{x}_t=\mathbf{P}\mathbf{y}(t) x t = Py ( t ) 将解从
y ( t ) ~\mathbf{y}(t)~ y ( t ) 转换回
x ( t ) ~\mathbf{x}(t)~ x ( t ) ，从而得到最终解：
x ( t ) = P y ( t ) = P [ c 1 e λ 1 t c 2 e λ 2 t ⋮ ] (2) \mathbf{x}(t) = \mathbf{P} \mathbf{y}(t) = \mathbf{P} \begin{bmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ c_2 e^{\lambda_2 t} \\ \vdots \end{bmatrix}\tag{2} x ( t ) = Py ( t ) = P c 1 e λ 1 t c 2 e λ 2 t ⋮ ( 2 ) 其中
P = [ v 1 v 2 … v n ] \mathbf{P}=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots \mathbf{v}_n\end{bmatrix} P = [ v 1 v 2 … v n ] 是由
A ~\mathbf{A}~ A 的特征向量组成的矩阵，
λ i ~\lambda_i~ λ i 是矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征向量。把矩阵
P ~\mathbf{P}~ P 替换为特征向量
v i ~\mathbf{v}_i~ v i 代入
( 1 ) ~(1)~ ( 1 ) 可得到一般方程
x ′ ( t ) = A x ( t ) \mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) x ′ ( t ) = Ax ( t ) 解的一般形式：
x ( t ) = v e λ t (3) \colorbox{#F0F8FF}{$\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} \tag{3}$} x ( t ) = v e λ t ( 3 ) 式
( 3 ) ~(3)~ ( 3 ) 通过特征值和特征向量构建出了线性微分方程的解，这些解通常称为
特征函数 （
eigenfunctions \textbf{eigenfunctions} eigenfunctions ）。
3. 电路电压微分方程 微分方程用于预测电路的动态行为，如电压和电流的变化，对电路设计和优化至关重要。在电子工程领域，通常用微分方程描述电路中电压随时间变化。例如，现有下面的微分方程：
[ x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ] = [ − ( 1 / R 1 + 1 / R 2 ) / C 1 1 / ( R 1 C 1 ) 1 / ( R 2 C 2 ) − 1 / ( R 2 C 2 ) ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] \begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\left(1/R_1 + 1/R_2\right) / C_1 & 1/(R_1 C_1) \\ 1/(R_2 C_2) & -1/(R_2 C_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} [ x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ] = [ − ( 1/ R 1 + 1/ R 2 ) / C 1 1/ ( R 2 C 2 ) 1/ ( R 1 C 1 ) − 1/ ( R 2 C 2 ) ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] 其中，
x 1 ( t ) ~x_1(t)~ x 1 ( t ) 和
x 2 ( t ) ~x_2(t)~ x 2 ( t ) 分别是电路中两个电容器两端的电压，
t ~t~ t 是时间。电阻
R 1 = 1 ~R_1=1~ R 1 = 1 欧姆，
R 2 = 2 ~R_2=2~ R 2 = 2 欧姆，电容
C 1 = 1 ~C_1=1~ C 1 = 1 法拉，
C 2 = 0.5 ~C_2=0.5~ C 2 = 0.5 法拉。假设初始时电容器
C 1 ~C_1~ C 1 上的电压为
5 ~5~ 5 伏，电容器
C 2 ~C_2~ C 2 上的电压为
4 ~4~ 4 伏。下面我们来求微分微分方程的解，即：求电压
x 1 ( t ) ~\mathbf{x}_1(t)~ x 1 ( t ) 和
x 2 ( t ) ~\mathbf{x}_2(t)~ x 2 ( t ) 随时间变化的公式：
把已知条件代入，将微分方程表示为矩阵
A ~\mathbf{A}~ A ，以及把初始电压表示为向量
x 0 ~\mathbf{x}_0~ x 0 ：
A = [ − 1.5 0.5 1 − 1 ] , x 0 = [ 5 4 ] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix} A = [ − 1.5 1 0.5 − 1 ] , x 0 = [ 5 4 ] 求解矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征值和特征向量。特征值
λ 1 ~\lambda_1~ λ 1 和
λ 2 ~\lambda_2~ λ 2 通过求解特征方程
det ( A − λ I ) = 0 \det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0 det ( A − λ I ) = 0 得到：
λ 1 = − 0.5 , λ 2 = − 2 \lambda_1 = -0.5,\quad \lambda_2 = -2 λ 1 = − 0.5 , λ 2 = − 2 对应的特征向量分别为：
v 1 = [ 1 2 ] , v 2 = [ − 1 1 ] \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix} v 1 = [ 1 2 ] , v 2 = [ − 1 1 ] 方程的解可以表示为特征向量的线性组合：
x ( t ) = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t \mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} x ( t ) = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t 使用初始条件
x 0 = [ 5 4 ] T \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}5 & 4\end{bmatrix}^T x 0 = [ 5 4 ] T ，确定常数
C 1 ~C_1~ C 1 和
C 2 ~C_2~ C 2 ：
c 1 [ 1 2 ] + c 2 [ − 1 1 ] = [ 5 4 ] c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} c 1 [ 1 2 ] + c 2 [ − 1 1 ] = [ 5 4 ] 解得：
c 1 = 3 , c 2 = − 2 c_1=3,\quad c_2=-2 c 1 = 3 , c 2 = − 2 代入常数
c 1 ~c_1~ c 1 和
c 2 ~c_2~ c 2 后，得到电压随时间变化的公式：
x ( t ) = 3 [ 1 2 ] e − 0.5 t − 2 [ − 1 1 ] e − 2 t \mathbf{x}(t) = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} e^{-0.5t} - 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t} x ( t ) = 3 [ 1 2 ] e − 0.5 t − 2 [ − 1 1 ] e − 2 t 即：
[ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] = [ 3 e − 0.5 t + 2 e − 2 t 6 e − 0.5 t − 2 e − 2 t ] (3) \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3e^{-0.5t} + 2e^{-2t} \\ 6e^{-0.5t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix} \tag{3} [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] = [ 3 e − 0.5 t + 2 e − 2 t 6 e − 0.5 t − 2 e − 2 t ] ( 3 ) 由于特征值是负的，解 x 1 ( t ) ~x_1(t)~ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ~x_2(t)~ x 2 ( t ) x 2 ( t ) ~x_2(t)~ x 2 ( t ) λ 2 = − 2 ~\lambda_2=-2~ λ 2 = − 2 吸引点 ），且电压随时间逐渐稳定。轨迹表示如下：
根据此例中的公式 ( 3 ) ~(3)~ ( 3 ) 排斥点 。
4. 分析粒子的运动轨迹分析 物理学中分析粒子在一个力场中的运动时，可以用微分方程来描述粒子的位置。
x ′ ( t ) = A x , x ( 0 ) = x 0 \mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x},\quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 x ′ ( t ) = Ax , x ( 0 ) = x 0 给定矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 和初始调教
x 0 ~\mathbf{x}_0~ x 0 ：
A = [ 4 − 5 − 2 1 ] , x 0 = [ 2.9 2.6 ] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix} A = [ 4 − 2 − 5 1 ] , x 0 = [ 2.9 2.6 ] 下面我们来求解这个初值问题，并绘制粒子的轨迹。
求解矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征值和特征向量。特征值
λ 1 ~\lambda_1~ λ 1 和
λ 2 ~\lambda_2~ λ 2 通过求解特征方程
det ( A − λ I ) = 0 \det\,(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0 det ( A − λ I ) = 0 得到：
λ 1 = 6 , λ 2 = − 1 \lambda_1 = 6,\quad \lambda_2 = -1 λ 1 = 6 , λ 2 = − 1 对应的特征向量分别为：
v 1 = [ − 5 2 ] , v 2 = [ 1 1 ] \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -5 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} v 1 = [ − 5 2 ] , v 2 = [ 1 1 ] 方程的解可以表示为特征向量的线性组合：
x ( t ) = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t \mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} x ( t ) = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t 使用初始条件
x 0 = [ 2.9 2.6 ] T \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}2.9 & 2.6\end{bmatrix}^T x 0 = [ 2.9 2.6 ] T ，确定常数
C 1 ~C_1~ C 1 和
C 2 ~C_2~ C 2 ：
c 1 [ − 5 2 ] + c 2 [ 1 1 ] = [ 2.9 2.6 ] c_1 \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.9 \\ 2.6 \end{bmatrix} c 1 [ − 5 2 ] + c 2 [ 1 1 ] = [ 2.9 2.6 ] 解得：
c 1 = − 3 / 70 , c 2 = 188 / 70 c_1=-3/70,\quad c_2=188 / 70 c 1 = − 3/70 , c 2 = 188/70 代入常数
c 1 ~c_1~ c 1 和
c 2 ~c_2~ c 2 后，得到粒子的位置函数：
x ( t ) = − 3 70 [ − 5 2 ] e 6 t + 188 70 [ 1 1 ] e − t \mathbf{x}(t) = -\frac{3}{70} \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} e^{6t} + \frac{188}{70} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-t} x ( t ) = − 70 3 [ − 5 2 ] e 6 t + 70 188 [ 1 1 ] e − t 由于矩阵 A ~\mathbf{A}~ A v 1 ~\mathbf{v}_1~ v 1 v 2 ~\mathbf{v}_2~ v 2
5. 复特征值在线性微分方程中的应用 接下来我们来讨论当系统的矩阵具有复特征值时，如何通过复特征值和特征向量来构造系统的解。
在
复特征值 一节我们讨论过，实数矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 具有一对复特征值
λ ~\lambda~ λ 和
λ ˉ \bar{\lambda} λ ˉ ，并且对应的特征向量
v ~\mathbf{v}~ v 和
v ˉ \bar{\mathbf{v}} v ˉ 也是复共轭对。复特征值和复特征向量通常出现在具有旋转或周期性的系统中，例如电气工程中的交流电路分析。
对于微分方程
x ′ ( t ) = A x ( t ) ~\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)~ x ′ ( t ) = Ax ( t ) ，如果
A ~\mathbf{A}~ A 的特征值是复数，那么系统的解可以通过复数指数函数来表示。具体来说，如果我们有特征值
λ = a + b i ~\lambda = a + bi~ λ = a + bi ，则解的形式为：
x 1 ( t ) = v e λ t 和 x 2 ( t ) = v ‾ e λ ˉ t x_1(t) = v e^{\lambda t} \quad \small{和} \quad x_2(t) = \overline{v} e^{\bar{\lambda}t} x 1 ( t ) = v e λ t 和 x 2 ( t ) = v e λ ˉ t 这里，
e λ t = e ( a + b i ) t = e a t e i b t e^{\lambda t} = e^{(a+bi)t} = e^{at} e^{ibt} e λ t = e ( a + bi ) t = e a t e ib t ，结合欧拉公式
e i b t = cos ( b t ) + i sin ( b t ) e^{ibt} = \cos(bt) + i \sin(bt) e ib t = cos ( b t ) + i sin ( b t ) ，可以得到复数指数的实部和虚部分别为：
x 1 ( t ) = v e λ t = v e a t ( cos ( b t ) + i sin ( b t ) ) x_1(t) = v e^{\lambda t} = v e^{at} \left( \cos(bt) + i \sin(bt) \right) x 1 ( t ) = v e λ t = v e a t ( cos ( b t ) + i sin ( b t ) ) 这个解是复数的，通常我们将实部和虚部分开讨论。将共轭复数相加消除掉虚部、相减消除掉实部，可得：
Re ( v e λ t ) = 1 2 [ x 1 ( t ) + x 1 ( t ) ‾ ] , Im ( v e λ t ) = 1 2 i [ x 1 ( t ) − x 1 ( t ) ‾ ] (4) \colorbox{#f0f8ff}{$\text{Re}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2} \left[ x_1(t) + \overline{x_1(t)} \right], \quad \text{Im}(ve^{\lambda t}) = \frac{1}{2i} \left[ x_1(t) - \overline{x_1(t)} \right]$}\tag{4} Re ( v e λ t ) = 2 1 [ x 1 ( t ) + x 1 ( t ) ] , Im ( v e λ t ) = 2 i 1 [ x 1 ( t ) − x 1 ( t ) ] ( 4 ) 这些实部和虚部的解会形成一个基于复解的线性组合的解。
对于实际应用，通常我们更关心的是实数解，特别是在许多物理和工程问题中，复数解需要转化为实数解才能进行物理意义的解释。通过对复数解
x 1 ( t ) ~x_1(t)~ x 1 ( t ) 和
x 2 ( t ) ~x_2(t)~ x 2 ( t ) 的实部和虚部进行线性组合，我们可以得到两组线性独立的实数解
y 1 ( t ) ~y_1(t)~ y 1 ( t ) 和
y 2 ( t ) ~y_2(t)~ y 2 ( t ) 。通过解析，根据欧拉公式以及式
( 4 ) ~(4)~ ( 4 ) 可得到两个实数解：
y 1 ( t ) = Re ( x 1 ( t ) ) = [ Re ( v ) cos ( b t ) − Im ( v ) sin ( b t ) ] e a t y 2 ( t ) = Im ( x 1 ( t ) ) = [ Re ( v ) sin ( b t ) + Im ( v ) cos ( b t ) ] e a t (5) \colorbox{#F0F8FF}{ $\begin{aligned} \mathbf{y}_1(t) & = \text{Re}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \cos(bt) - \text{Im}(\mathbf{v}) \sin(bt) \right] e^{at} \\[2ex] \mathbf{y}_2(t) & = \text{Im}(\mathbf{x}_1(t)) = \left[ \text{Re}(\mathbf{v}) \sin(bt) + \text{Im}(\mathbf{v}) \cos(bt) \right] e^{at} \end{aligned}$} \tag{5} y 1 ( t ) y 2 ( t ) = Re ( x 1 ( t )) = [ Re ( v ) cos ( b t ) − Im ( v ) sin ( b t ) ] e a t = Im ( x 1 ( t )) = [ Re ( v ) sin ( b t ) + Im ( v ) cos ( b t ) ] e a t ( 5 ) 这两个实数解是线性独立的，适用于描述物理系统中的震荡、旋转等现象。这里的
b ~b~ b 是复特征值的虚部，决定了系统的震荡频率，
a ~a~ a 是实部，决定了系统的衰减或增长速率。
再来看一个具体示例，通过复特征值描述电路中的动态行为：电感
L ~L~ L 和电容
C ~C~ C 组成的电路中电流和电压随时间的变化。给定一个电路，表示为如下微分方程：
[ i L v C ] = [ − R 2 / L − 1 / L 1 / C − 1 ( R 1 C ) ] [ i L v C ] \begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R_2/L & -1/L \\ 1/C & -1(R_1C) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix} [ i L v C ] = [ − R 2 / L 1/ C − 1/ L − 1 ( R 1 C ) ] [ i L v C ] 其中，
i L ~i_L~ i L 是电流通过电感
L ~L~ L ，
v C ~v_C~ v C 是电容
C ~C~ C 上的电压。给定电阻
R 1 = 5 ~R_1=5~ R 1 = 5 欧姆，
R 2 = 0.8 ~R_2=0.8~ R 2 = 0.8 欧姆，
C = 0.1 ~C=0.1~ C = 0.1 法拉，电感
L = 0.4 ~L=0.4~ L = 0.4 亨利。通过电感的初始电流为
3 ~3~ 3 安倍，
C ~C~ C 的初始电压为
3 ~3~ 3 伏。下面是求解过程：
把已知条件代入，得矩阵
A ~\mathbf{A}~ A ，以及
x 0 ~x_0~ x 0 ：
A = [ − 2 − 2.5 10 − 2 ] , x 0 = [ 3 3 ] \mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2 & -2.5 \\ 10 & -2\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3 \\ 3\end{bmatrix} A = [ − 2 10 − 2.5 − 2 ] , x 0 = [ 3 3 ] 通过计算矩阵
A ~\mathbf{A}~ A 的特征值和特征向量，得到复特征值
λ = − 2 + 5 i ~\lambda=-2+5i~ λ = − 2 + 5 i 和相应的特征向量：
v 1 = [ i 2 ] \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}i \\ 2\end{bmatrix} v 1 = [ i 2 ] 复特征值对应的解为复数解
x 1 ( t ) = v e λ t x_1(t) = v e^{\lambda t} x 1 ( t ) = v e λ t ，其中
v v v 是特征向量，
e λ t e^{\lambda t} e λ t 是复指数函数。将
λ = − 2 + 5 i \lambda = -2 + 5i λ = − 2 + 5 i 代入，得到复数解：
x 1 ( t ) = [ i 2 ] e ( − 2 + 5 i ) t x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{(-2 + 5i)t} x 1 ( t ) = [ i 2 ] e ( − 2 + 5 i ) t 根据复数解的形式，使用欧拉公式
e i θ = cos ( θ ) + i sin ( θ ) ~{e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)}~ e i θ = cos ( θ ) + i sin ( θ ) ，将
e ( − 2 + 5 i ) t {e^{(-2 + 5i)t}} e ( − 2 + 5 i ) t 展开：
e ( − 2 + 5 i ) t = e − 2 t ( cos ( 5 t ) + i sin ( 5 t ) ) ~{e^{(-2 + 5i)t} = e^{-2t}(\cos(5t) + i \sin(5t))}~ e ( − 2 + 5 i ) t = e − 2 t ( cos ( 5 t ) + i sin ( 5 t )) 因此，
x 1 ( t ) ~{x_1(t)}~ x 1 ( t ) 的表达式为：
x 1 ( t ) = [ i 2 ] e − 2 t ( cos ( 5 t ) + i sin ( 5 t ) ) ~{x_1(t) = \begin{bmatrix} i \\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t} (\cos(5t) + i \sin(5t))}~ x 1 ( t ) = [ i 2 ] e − 2 t ( cos ( 5 t ) + i sin ( 5 t )) 将复数解分解为实部和虚部，得到两个独立的实数解。首先，我们可以将
x 1 ( t ) x_1(t) x 1 ( t ) 和其共轭解
x 2 ( t ) = [ − i 2 ] T e ( − 2 − 5 i ) t x_2(t) = \begin{bmatrix} -i & 2 \end{bmatrix}^T e^{(-2 - 5i)t} x 2 ( t ) = [ − i 2 ] T e ( − 2 − 5 i ) t 结合，得到实部和虚部解。通过计算，得到：
实部解
y 1 ( t ) y_1(t) y 1 ( t ) ：
y 1 ( t ) = e − 2 t [ Re ( v ) cos ( 5 t ) − Im ( v ) sin ( 5 t ) ] y_1(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \cos(5t) - \text{Im}(v) \sin(5t) \right] y 1 ( t ) = e − 2 t [ Re ( v ) cos ( 5 t ) − Im ( v ) sin ( 5 t ) ] 虚部解y 2 ( t ) y_2(t) y 2 ( t )
y 2 ( t ) = e − 2 t [ Re ( v ) sin ( 5 t ) + Im ( v ) cos ( 5 t ) ] y_2(t) = e^{-2t} \left[ \text{Re}(v) \sin(5t) + \text{Im}(v) \cos(5t) \right] y 2 ( t ) = e − 2 t [ Re ( v ) sin ( 5 t ) + Im ( v ) cos ( 5 t ) ] 由于
y 1 ( t ) ~y_1(t)~ y 1 ( t ) 和
y 2 ( t ) ~y_2(t)~ y 2 ( t ) 是线性独立的，它们构成了方程
x ′ ( t ) = A x ~\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}~ x ′ ( t ) = Ax 解空间的基底。因此，通解可以表示为
x ( t ) = c 1 y 1 ( t ) + c 2 y 2 ( t ) ~\mathbf{x}(t)=c_1y_1(t) + c_2y_2(t)~ x ( t ) = c 1 y 1 ( t ) + c 2 y 2 ( t ) ，其中
c 1 ~c_1~ c 1 和
c 2 ~c_2~ c 2 是常数。再根据初始条件
x 0 = [ 3 3 ] T ~\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}^T~ x 0 = [ 3 3 ] T 可以求
c 1 ~c_1~ c 1 和
c 2 ~c_2~ c 2 ：
c 1 [ 0 2 ] + c 2 [ 1 0 ] = [ 3 3 ] c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} c 1 [ 0 2 ] + c 2 [ 1 0 ] = [ 3 3 ] 经过计算，得到
c 1 = 1.5 ~c_1=1.5~ c 1 = 1.5 和
c 2 = 3 ~c_2=3~ c 2 = 3 ，所以通解为：
x ( t ) = 1.5 [ − sin ( 5 t ) 2 cos ( 5 t ) ] e − 2 t + 3 [ cos ( 5 t ) 2 sin ( 5 t ) ] e − 2 t \mathbf{x}(t) = 1.5 \begin{bmatrix} -\sin(5t) \\ 2\cos(5t) \end{bmatrix} e^{-2t} + 3 \begin{bmatrix} \cos(5t) \\ 2\sin(5t) \end{bmatrix} e^{-2t} x ( t ) = 1.5 [ − sin ( 5 t ) 2 cos ( 5 t ) ] e − 2 t + 3 [ cos ( 5 t ) 2 sin ( 5 t ) ] e − 2 t 下面是根据最终解绘制的轨迹图（以 6 ~6~ 6
