复特征值

1. 复特征值及其几何特性

在线性代数中，矩阵的特征值不仅只有实数，也可以是复数。如果一个矩阵的特征值是复数，通常可以写成：

这里 $~a~$ 是特征值的实部 $~(\textbf{Real Part})~$ ，$~b~$ 是虚部 $~(\textbf{Imaginary Part})~$ 。为了更方便地讨论复数的几何性质（旋转、缩放），复数还可以用极坐标来表示为：

其中，$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是复数的模长，$\theta = \tan^{-1} (b/a)$ 是复数的幅角。复数 $~z = r (\cos \theta + i \sin \theta)~$ 的极坐标可由下图表示：

复数相乘的本质上对应着模长的乘积（伸缩）和幅角的相加（旋转），图中的复数 $~z~$ 每次做幂运算后，模长是原来的 $\sqrt{2}$ 倍，幅角会增加 $~45^\circ~$ 。

2. 复数的矩阵化表示

复数相乘的几何作用，本质上是二维复平面中的线性变换。它将伸缩（由模长 $~r~$ 控制）和旋转（由幅角 $~\theta~$ 控制）复合在一起，等价于相应的矩阵变换。我们对通过复数 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 和另一个复数 $w=x+yi$ 相乘来推导对应的矩阵形式：

由上可得，复数的极坐标形式 $z = r(\cos \theta + i \sin\theta)$ 对应矩阵：

再由复数的实部 $~a = r\cdot \cos\theta~$ ，虚部 $~b= r\cdot \sin\theta~$ 可得矩阵的另一种形式：

这个是复数的矩阵化形式（为了方便讨论，下文所有提及到的矩阵 $~\mathbf{C}~$ 都表示使用了这种结构）。很显然，这个矩阵 $~\mathbf{C}~$ 的结构是刻意设计出来的，进一步计算可知矩阵 $\mathbf{C}$ 的特征值是 $\lambda = a \pm bi$ 。在二维平面内，矩阵 $~\mathbf{C}~$ 作用于任何向量 $~\mathbf{x}~$ 都会表现出伸缩 $~(r=1~时不伸缩)~$ 和旋转的效果。请观察下面两个示例：

3. 复数对应矩阵的相似矩阵

矩阵 $~\mathbf{C}~$ 对二维向量 $~\mathbf{x}~$ 施加旋转变换，那么其相似矩阵 $~\mathbf{A}~$ 在几何上也会保持相同的旋转性质。我们以下面的矩阵 $~\mathbf{C}~$ 为例：

此例中矩阵 $~\mathbf{C}~$ 的模长 $r=\sqrt{0.8 ^ 2 + 0.6 ^ 2}=1,\,\theta =\tan^{-1}(0.6/0.8) \approx 36.87^\circ$ ，所以它作用于二维向量 $~\mathbf{v}~$ 仅表现出了旋转效果。我们可以找到一组非标准基 $~\mathcal{B}~$ ：

从而得到基变换矩阵 $~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}~$ 和它的逆矩阵 $~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}~$ ：

用基变换矩阵 $~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}~$ 乘以向量 $[\mathbf{v}_i]_\mathcal{E}$ 得到向量 $\mathbf{u}_i$ ，在标准基 $~\mathcal{E}~$ 下观察，向量 $~[\mathbf{u}_i]_\mathcal{E}~$ 会在原向量 $~[\mathbf{v}]_\mathcal{E}~$ 的基础上顺着基向量 $~{\mathcal{b}_1,\mathcal{b}_2}~$ 的方向进行“扭曲”；如果在新基 $~\mathbf{B}~$ 下观察，$~[\mathbf{u}_i]_\mathcal{B}~$ 的位置会和原向量 $~[\mathbf{v}_i]_\mathcal{E}~$ 的位置保持一致。下面的动画演示了这个过程：

我们可以计算 $~\mathbf{C}~$ 的相似矩阵 $~\mathbf{A}~$ ：

根据本章的定理 4可知：相似矩阵的特征值是相同的。那么，此例中 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{C}~$ 的特征值都是 $~0.8 \pm 0.6i~$ 。接下来我们来讨论复特征值的共轭性质。

4. 实矩阵的复特征值共轭性质

对于实系数矩阵，其复特征值必定以共轭成对出现，这些特征值被称为共轭特征值。这种成对出现的性质可归结为 ：如果矩阵的一个特征值是复数 $\lambda = a + bi\,(~\text{其中}~a,b\in \mathbb{R})$ ，那么 $\overline{\lambda} = a - bi$也必然是特征值。

4.1 计算复特征值

为了进一步讨论复特征值的共轭特性，我们根据定义来计算矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征值以及特征向量：

由特征多项式 $\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) = 0$ 得：

化简得：

求解得特征值为：$~\lambda = 0.8 \pm 0.6i~$ （和 $~\mathbf{C}~$ 的特征值相同）。

4.2 计算特征向量

接着先求解特征值 $\lambda_1=0.8 - 0.6i$ 对应的特征向量，也即矩阵方程 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = 0$ 的解，构造矩阵：

矩阵对应的方程组为：

矩阵 $~(1)~$ 的行列式为 $~0~$ ，意味着矩阵的行、列向量是线性相关的。那么方程组 $~(2)~$ 中的两个方程是等价的，我们选择第 $~2~$ 个方程来求解，得到：

为了消除小数，我们设 $~x_2=5~$ 代入 $~(3)~$ 得：$x_1=(-0.4-0.8i)(5)=-2-4i$

因此，复特征值 $~\lambda_1=0.8-0.6i~$ 对应的特征向量为：

为了方便讨论，取 $~t=1~$，向量 $~\mathbf{v}_1~$ 的实部可以表示为：$\operatorname{Re} \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}-2 & 5\end{bmatrix}^T$ ，向量的虚部可以表示为：$\operatorname{Im} \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}-4 & 0\end{bmatrix}^T$ 。用同样的方法求解另一个特征值 $~\lambda_2=0.8+0.6i~$ 对应的特征向量，得：

那么，$\operatorname{Re} \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-2 & 5\end{bmatrix}^T,\,\operatorname{Im} \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}4 & 0\end{bmatrix}^T$ 。可以看到，特征向量 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 也是共轭关系。

5. 有复特征值的实矩阵的相似表示

在前面讨论矩阵 $~\mathbf{C}~$ 的相似矩阵 $~\mathbf{A}~$ 时，我们给出的一组非标准基 $~\mathcal{B}~$ 正是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量（ $~t=0.25~$ 时）。这一结果对任意一个有复特征值的二阶实数矩阵都成立，有如下定理：

在定理中，复特征值 $~\lambda~$ 可以选择 $~\lambda = a + bi~$ 或 $~\lambda = a - bi~$ 中的任意一个，因为它们是共轭成对的，选择哪一个都不会影响最终的结论（ $~\mathbf{A}~$ 会有所不同，但都是 $~\mathbf{C}~$ 的相似矩阵）。

此定理和本章中的定理 8都是告诉我们如何寻找合适的基通过相似变换来简化矩阵表示，只不过它们分别针对不同类型的特征值，定理 $~8~$ 对应实特征值，定理 $~9~$ 对应的是复特征值。

6. 高维空间中的复数特征值与不变平面

在高维空间中，含有复数特征值的矩阵依然延续了 $~\mathbb{R^2}~$ 中的几何特性。具体来说，复数特征值对应的矩阵变换通常会在某个不变平面上表现为旋转（可能伴随缩放），这一不变平面由与复数特征向量相关的几何性质所确定。而在垂直于该平面的方向上，矩阵的作用由其他特征值（通常是实数）决定，表现为扩展或压缩。例如下面的矩阵：

它的特征值为 $~\lambda_{1,2} = 0.8\pm 0.6i,\,\lambda_3 = 1.07~$ 。那么，在 $~x_1,x_2~$ 平面上的任何一个向量 $~\mathbf{w}_0~$ 仅会被 $~\mathbf{A}~$ 逆时针旋转 $36.87^\circ$ ，其它平面上的向量 $~\mathbf{x}_0~$ 的坐标会被拉伸 $~1.07~$ 倍。