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复特征值

1. 复特征值及其几何特性

在线性代数中，矩阵的特征值不仅只有实数，也可以是复数。如果一个矩阵的特征值是复数，通常可以写成：
λ=a+bi (a,b∈R,i2=−1)\lambda = a + bi~(a,b \in \mathbb{R}, i^2 = -1)
这里 a ~a~是特征值的实部 (Real Part) ~(\textbf{Real Part})~， b ~b~是虚部 (Imaginary Part) ~(\textbf{Imaginary Part})~。为了更方便地讨论复数的几何性质（旋转、缩放），复数还可以用极坐标来表示为：
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)或z=reiθz = r (\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{或} \quad z = re^{i\theta}
其中，r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}是复数的模长，θ=tan⁡−1(b/a)\theta = \tan^{-1} (b/a)是复数的幅角。复数 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ~z = r (\cos \theta + i \sin \theta)~的极坐标可由下图表示：

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复数相乘的本质上对应着模长的乘积（伸缩）和幅角的相加（旋转），图中的复数 z ~z~每次做幂运算后，模长是原来的2\sqrt{2}倍，幅角会增加 45∘ ~45^\circ~。

2. 复数的矩阵化表示

复数相乘的几何作用，本质上是二维复平面中的线性变换。 它将伸缩（由模长 r ~r~控制）和旋转（由幅角 θ ~\theta~控制）复合在一起，等价于相应的矩阵变换。我们对通过复数z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)和另一个复数w=x+yiw=x+yi相乘来推导对应的矩阵形式：

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由上可得，复数的极坐标形式z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos \theta + i \sin\theta)对应矩阵：
C=[r00r][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\mathbf{C} = \begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & r\end {bmatrix}\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}
再由复数的实部 a=r⋅cos⁡θ ~a = r\cdot \cos\theta~，虚部 b=r⋅sin⁡θ ~b= r\cdot \sin\theta~可得矩阵的另一种形式：
C=[a−bba]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}
这个是复数的矩阵化形式（为了方便讨论，下文所有提及到的矩阵 C ~\mathbf{C}~都表示使用了这种结构）。很显然，这个矩阵 C ~\mathbf{C}~的结构是刻意设计出来的，进一步计算可知矩阵C\mathbf{C}的特征值是λ=a±bi\lambda = a \pm bi。在二维平面内，矩阵 C ~\mathbf{C}~作用于任何向量 x ~\mathbf{x}~都会表现出伸缩 (r=1 时不伸缩) ~(r=1~时不伸缩)~和旋转的效果。请观察下面两个示例：

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3. 复数对应矩阵的相似矩阵

矩阵 C ~\mathbf{C}~对二维向量 x ~\mathbf{x}~施加旋转变换，那么其相似矩阵 A ~\mathbf{A}~在几何上也会保持相同的旋转性质。我们以下面的矩阵 C ~\mathbf{C}~为例：
C=[0.8−0.60.60.8]\mathbf{C} = \begin{bmatrix}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{bmatrix}
此例中矩阵 C ~\mathbf{C}~的模长r=0.82+0.62=1, θ=tan⁡−1(0.6/0.8)≈36.87∘r=\sqrt{0.8 ^ 2 + 0.6 ^ 2}=1,\,\theta =\tan^{-1}(0.6/0.8) \approx 36.87^\circ，所以它作用于二维向量 v ~\mathbf{v}~仅表现出了旋转效果。我们可以找到一组非标准基 B ~\mathcal{B}~：
B={[−0.51.25],[−10]}\mathcal{B} = \left\{\begin{bmatrix} -0.5 \\ 1.25\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0\end{bmatrix}\right\}
从而得到基变换矩阵 B←EP ~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}~和它的逆矩阵 E←BP ~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}~：
B←EP=[−0.5−11.250],E←BP=[00.8−1−0.4]\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}= \begin{bmatrix}-0.5 & -1 \\ 1.25 & 0\end{bmatrix}, \quad \overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}= \begin{bmatrix}0 & 0.8 \\ -1 & -0.4\end{bmatrix}
用基变换矩阵 B←EP ~\overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}~乘以向量[vi]E[\mathbf{v}_i]_\mathcal{E}得到向量ui\mathbf{u}_i，在标准基 E ~\mathcal{E}~下观察，向量 [ui]E ~[\mathbf{u}_i]_\mathcal{E}~会在原向量 [v]E ~[\mathbf{v}]_\mathcal{E}~的基础上顺着基向量 b1,b2 ~{\mathcal{b}_1,\mathcal{b}_2}~的方向进行“扭曲”；如果在新基 B ~\mathbf{B}~下观察， [ui]B ~[\mathbf{u}_i]_\mathcal{B}~的位置会和原向量 [vi]E ~[\mathbf{v}_i]_\mathcal{E}~的位置保持一致。下面的动画演示了这个过程：

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我们可以计算 C ~\mathbf{C}~的相似矩阵 A ~\mathbf{A}~：
A=B←EPC C E←BP=[−0.5−11.250][0.8−0.60.60.8][00.8−1−0.4]=[0.5−0.60.751.1]\begin{align*}\mathbf{A} &= \overset{\smash{\raisebox{-0.45ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}} \vphantom{\mathbf{C}}\,\mathbf{C}\, \overset{\smash{\raisebox{-0.45ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}\\[3ex] &= \begin{bmatrix}-0.5 & -1 \\ 1.25 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0.8 \\ -1 & -0.4\end{bmatrix}\\[3ex] &= \begin{bmatrix} 0.5 & -0.6 \\ 0.75 & 1.1 \end{bmatrix} \end{align*}
根据本章的定理 4可知：相似矩阵的特征值是相同的。那么，此例中 A ~\mathbf{A}~和 C ~\mathbf{C}~的特征值都是 0.8±0.6i ~0.8 \pm 0.6i~。接下来我们来讨论复特征值的共轭性质。

4. 实矩阵的复特征值共轭性质

对于实系数矩阵，其复特征值必定以共轭成对出现，这些特征值被称为共轭特征值。这种成对出现的性质可归结为 ：如果矩阵的一个特征值是复数λ=a+bi ( 其中 a,b∈R)\lambda = a + bi\,(~\text{其中}~a,b\in \mathbb{R})，那么λ‾=a−bi\overline{\lambda} = a - bi也必然是特征值。

4.1 计算复特征值

为了进一步讨论复特征值的共轭特性，我们根据定义来计算矩阵 A ~\mathbf{A}~的特征值以及特征向量：
A=[0.5−0.60.751.1]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.6 \\ 0.75 & 1.1 \end{bmatrix}
由特征多项式det⁡(A−λI)=0\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) = 0得：
∣0.5−λ−0.60.751.1−λ∣=(0.5−λ)(1.1−λ)−(−0.6)(0.75)=0\begin{vmatrix} 0.5 - \lambda & -0.6 \\ 0.75 & 1.1 - \lambda \end{vmatrix}=(0.5 - \lambda)(1.1 - \lambda) - (-0.6)(0.75) = 0
化简得：
λ2−1.6λ+1=0\lambda^2 - 1.6\lambda + 1=0
求解得特征值为： λ=0.8±0.6i ~\lambda = 0.8 \pm 0.6i~（和 C ~\mathbf{C}~的特征值相同）。

4.2 计算特征向量

接着先求解特征值λ1=0.8−0.6i\lambda_1=0.8 - 0.6i对应的特征向量，也即矩阵方程(A−λI)x=0(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = 0的解，构造矩阵：
A−(0.8−0.6i)I=[0.5−0.60.751.1]−[0.8−0.6i000.8−0.6i]=[−0.3+0.6i−0.60.750.3+0.6i](1)\begin{align*}\mathbf{A} - (0.8 - 0.6i)\mathbf{I} &= \begin{bmatrix} 0.5 & -0.6 \\ 0.75 & 1.1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.8 - 0.6i & 0 \\ 0 & 0.8 - 0.6i \end{bmatrix}\\[3ex] &= \begin{bmatrix} -0.3 + 0.6i & -0.6 \\ 0.75 & 0.3 + 0.6i \end{bmatrix}\end{align*}\tag{1}
矩阵对应的方程组为：
{(−0.3+0.6i)x1−0.6x2=00.75x1+(0.3+0.6i)x2=0(2)\left\{\begin{aligned} (-0.3 + 0.6i)x_1 - 0.6x_2 &= 0 \\[1ex] 0.75x_1 + (0.3 + 0.6i)x_2 &= 0 \end{aligned}\right.\tag{2}
矩阵 (1) ~(1)~的行列式为 0 ~0~，意味着矩阵的行、列向量是线性相关的。那么方程组 (2) ~(2)~中的两个方程是等价的，我们选择第 2 ~2~个方程来求解，得到：
x1=(−0.4−0.8i)x2(3)x_1=(-0.4-0.8i)x_2\tag{3}
为了消除小数，我们设 x2=5 ~x_2=5~代入 (3) ~(3)~得：x1=(−0.4−0.8i)(5)=−2−4ix_1=(-0.4-0.8i)(5)=-2-4i因此，复特征值 λ1=0.8−0.6i ~\lambda_1=0.8-0.6i~对应的特征向量为：
v1=t[−25]−t⋅i[40],t∈R\mathbf{v}_1 = t \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} - t \cdot i \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
为了方便讨论，取 t=1 ~t=1~，向量 v1 ~\mathbf{v}_1~的实部可以表示为：Re⁡v1=[−25]T\operatorname{Re} \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}-2 & 5\end{bmatrix}^T，向量的虚部可以表示为：Im⁡v1=[−40]T\operatorname{Im} \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}-4 & 0\end{bmatrix}^T。 用同样的方法求解另一个特征值 λ2=0.8+0.6i ~\lambda_2=0.8+0.6i~对应的特征向量，得：
v2=t[−25]+t⋅i[40],t∈R\mathbf{v}_2 = t \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} + t \cdot i \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
那么，Re⁡v2=[−25]T, Im⁡v2=[40]T\operatorname{Re} \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-2 & 5\end{bmatrix}^T,\,\operatorname{Im} \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}4 & 0\end{bmatrix}^T。可以看到，特征向量v1\mathbf{v}_1和v2\mathbf{v}_2也是共轭关系。

5. 有复特征值的实矩阵的相似表示

在前面讨论矩阵 C ~\mathbf{C}~的相似矩阵 A ~\mathbf{A}~时，我们给出的一组非标准基 B ~\mathcal{B}~正是矩阵 A ~\mathbf{A}~的特征向量（ t=0.25 ~t=0.25~时）。这一结果对任意一个有复特征值的二阶实数矩阵都成立，有如下定理：

在定理中，复特征值 λ ~\lambda~可以选择 λ=a+bi ~\lambda = a + bi~ 或 λ=a−bi ~\lambda = a - bi~中的任意一个，因为它们是共轭成对的，选择哪一个都不会影响最终的结论（ A ~\mathbf{A}~会有所不同，但都是 C ~\mathbf{C}~的相似矩阵）。

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此定理和本章中的定理 8都是告诉我们如何寻找合适的基通过相似变换来简化矩阵表示，只不过它们分别针对不同类型的特征值，定理 8 ~8~对应实特征值，定理 9 ~9~对应的是复特征值。

6. 高维空间中的复数特征值与不变平面

在高维空间中，含有复数特征值的矩阵依然延续了 R2 ~\mathbb{R^2}~中的几何特性。具体来说，复数特征值对应的矩阵变换通常会在某个不变平面上表现为旋转（可能伴随缩放），这一不变平面由与复数特征向量相关的几何性质所确定。而在垂直于该平面的方向上，矩阵的作用由其他特征值（通常是实数）决定，表现为扩展或压缩。例如下面的矩阵：
A=[0.8−0.600.60.80001.07]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.8 & -0.6 & 0 \\ 0.6 & 0.8 & 0 \\ 0 & 0 & 1.07 \end{bmatrix}
它的特征值为 λ1,2=0.8±0.6i, λ3=1.07~\lambda_{1,2} = 0.8\pm 0.6i,\,\lambda_3 = 1.07。那么，在 x1,x2 ~x_1,x_2~平面上的任何一个向量 w0 ~\mathbf{w}_0~仅会被 A ~\mathbf{A}~逆时针旋转36.87∘36.87^\circ，其它平面上的向量 x0 ~\mathbf{x}_0~的坐标会被拉伸 1.07 ~1.07~倍。

5.4 特征向量与线性变换

5.6 离散动力系统

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