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特征方程

特征方程 $\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})=0$ 是线性代数中研究矩阵的重要工具。它连接了矩阵的特征值与特征多项式，帮助揭示矩阵的核心性质，如线性变换的几何行为（缩放、旋转）和系统的稳定性。特征方程在判断矩阵可逆性、对角化、简化复杂运算等方面具有关键作用，是理解线性变换和矩阵结构的基础。

1. 特征方程的定义与基本性质

在上一节中，我们只讨论了如何判断一个特征值是否属于一个方阵 $~\mathbf{A}~$ 。下面我们来介绍如何求一个矩阵的特征值。我们还是从定义出发，对于矩阵方程 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，如果存在非零解 $~\mathbf{x}\neq \mathbf{0}~$ ，那么矩阵 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$ 的 解空间 （即零空间）至少要包含一个非零向量 $~\mathbf{x}~$ 。根据可逆矩阵定理，矩阵 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$ 必须 不可逆 ，那么它对应的行列式一定为 $~0~$ （根据矩阵可逆性的充要条件），即：

\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0

这个就是 特征方程 $~(\textbf{characteristic equation})~$ ，我们可以根据这个方程来求矩阵 $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 3 & -6\end{bmatrix}$ 的特征值。请观察求解过程：

2. 行列式与矩阵的特征值关系

行列式在计算矩阵的特征值中起着核心作用，下面我们来讨论行列式和矩阵的特征值之间的联系。前面我们已经学习过关于行列式的基本概念、行列式的计算方法（对矩阵按行、列展开），以及它的基本性质。为了方便后面的讨论，现把行列式的主要性质重新罗列如下：

定理 3

行列式的性质

设 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是 $~n\times n~$ 方阵。

$~a.~$ $~\mathbf{A}~$ 可逆的充要条件是 $~\det\,\mathbf{A}\neq 0~$ 。

$~b.~$ $~\det\,\mathbf{AB}=(\det\,\mathbf{A})(\det\,\mathbf{B})~$ 。

$~c.~$ $~\det\,\mathbf{A}^T=\det\,\mathbf{A}~$ 。

$~d.~$ 若 $~\mathbf{A}~$ 是三角矩阵，那么 $~\det\,\mathbf{A}~$ 是 $~\mathbf{A}~$ 主对角线元素的乘积。

$~e.~$ 对矩阵 $~\mathbf{A}~$ 进行行倍加操作不会改变行列式；进行行交换操作会改变行列式的符号；进行行倍乘操作会使行列式按相同的标量因子进行倍乘。

结合上面行列式的性质 $~a~$ 和 $~d~$ ，以及上一节讨论过的三角矩阵的特征值，我们可以得到下面的结论：

定理

可逆矩阵定理（续）

$~r.~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 可逆当且仅当 $~0~$ 不是 $~\mathbf{A}~$ 的特征值。

3. 特征多项式与特征值重数

特征方程是关于 $~\lambda~$ 的多项式，如果矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~n\times n~$ 的矩阵，那么特征方程 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 是一个 $~n~$ 次多项式，它被称为 $~\mathbf{A}~$ 的 特征多项式 $~(\textbf{characteristic polynomial})~$ 。例如下面的 $~4\times 4~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 对应的是一个 $~4~$ 次多项式。

在上面这个示例中， $~(5-\lambda)~$ 这个因子在特征多项式中出现了 $~2~$ 次，它被称为特征值 $~5~$ 的 代数重数 $~(\textbf{algebraic multiplicity})~$ 。同理， $~\lambda=3~$ 和 $~\lambda=1~$ 的代数重数都是 $~1~$ 。代数重数表示特征值在特征多项式中作为根的重数，它是特征方程求解和矩阵性质分析的重要概念。

代数重数的作用

与代数重数相对应的概念是 几何重数 $~(\textbf{geometric multiplicity})~$ ，它是特征值对应的 线性无关特征向量 的个数。代数重数其中一个主要作用是和几何重数一起来判断矩阵是否可对角化。例如前面的矩阵

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 6 & -1 \\ 0 & 3 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

特征值 $~\lambda=5~$ 的几何重数和代数重数均为 $~2~$ ，其他特征值也满足这一关系。这是因为矩阵 $~\mathbf{A}~$ 为对角矩阵。但当特征值的代数重数大于几何重数时，矩阵将无法对角化。

4. 特征多项式和相似矩阵

4.1 相似矩阵的定义

特征多项式描述了矩阵的特征值及其代数重数，这些特征值决定了矩阵在线性变换中表现出的缩放、旋转等行为。在实际应用中，我们常常引入 相似变换 这一工具，它能够将矩阵转化为更简单的形式（如对角矩阵），同时保持矩阵的特征值和特征多项式不变。下面是相似矩阵的定义：

定义

相似矩阵

设 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是两个 $~n\times n~$ 的方阵，如果存在一个可逆矩阵 $~\mathbf{P}~$ ，使得：

\mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}

则称矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 相似，记作：

\mathbf{A}\sim \mathbf{B}

4.2 相似矩阵的几何意义

相似矩阵反映了同一个线性变换在不同基下的表示形式。例如在非标准基下的旋转变换矩阵 $~\mathbf{R}_\mathcal{B}(\theta)~$ 和标准基下的旋转矩阵 $~\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)~$ 就是一对相似矩阵。在非标准基 $~\mathcal{B}~$ 做旋转时，为了方便，我们通常会先把非标准基下的向量转换到标准基下，然后在标准基下执行旋转变换 $~\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)~$ ，最后再从标准基下变换回非标准基下。请观察下面的动画过程：

上例中，非标准基 $~\mathcal{B}~$ 、基 $~\mathcal{B}~$ 到标准基 $~\mathcal{E}~$ 的变换矩阵如下：

\mathcal{B}= \left\{ \begin{bmatrix}0 \\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \right\},\quad \overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}} =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}

又知标准基下的旋转矩阵如下：

\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

那么，容易求得在非标准基 $~\mathcal{B}~$ 下的旋转矩阵为：

\begin{align*}\mathbf{R}_\mathcal{B}(\theta)&= \overset{\smash{\raisebox{-0.5ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}\, \vphantom{\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)}\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)\, \overset{\smash{\raisebox{-0.5ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}\\[2ex] &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}^{-1}\\[4ex] &=\begin{bmatrix} \cos\theta + \sin\theta & -\cos\theta \\ 2\cos\theta & -\cos\theta - \sin\theta \end{bmatrix} \end{align*}

4.3 相似矩阵的性质

相似矩阵不仅能够通过不同的矩阵形式来描述相同的线性变换，它们还拥有相同的特征多项式和特征值。有如下定理：

定理 4

相似矩阵的特征值和特征多项式

如果两个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是相似矩阵，那么它们具有相同的特征多项式，因此它们的特征值（包括重数）也完全相同。

假设条件
- 设 $\mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ ，其中 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是 $~n\times n~$ 矩阵， $~\mathbf{P}~$ 是可逆矩阵。
转换特征多项式
- 考虑矩阵 $\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I}$ ：
  $\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} - \lambda \mathbf{P}^{-1}\mathbf{P} = \mathbf{P}^{-1}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{P}$
  这说明 $\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}$ 是相似矩阵。
使用行列式性质
- 根据行列式的性质：
  $\begin{align*} \det(\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I}) &= \det\big[\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{P}\big] \\[3ex] &= \det(\mathbf{P}^{-1}) \cdot \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \cdot \det(\mathbf{P})\\[2ex] &= \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \end{align*}$
  这说明矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 的特征多项式相同。
结论
- 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 的特征多项式相同，它们的特征值（包括重数）完全一致，定理得证。

相似矩阵可以用来简化复杂矩阵的计算，最常见的用途是通过对角化将矩阵分解为更易于分析的形式。在动力系统分析中，相似矩阵用于研究系统的长期行为，例如稳定性和振荡模式。

5. 特征值与离散动力系统

我们来讨论一种离散动力系统，它用于研究系统在离散时间上的变化规律，分析系统的稳定性、周期性以及随时间推移的长期行为。给定一个动力系统，其演化由以下方程定义：

\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A} \mathbf{x}_k, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}

其中，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 为：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97 \end{bmatrix}

接下来，我们来分析该动力系统的长期行为，即 $~k\rightarrow \infty~$ 时状态 $~\mathbf{x}_k~$ 的变化趋势。下面是具体的求解步骤：

特征值通过特征方程 $\det\,(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$ 计算：

\det\begin{bmatrix} 0.95 - \lambda & 0.03 \\ 0.05 & 0.97 - \lambda \end{bmatrix} = (0.95 - \lambda)(0.97 - \lambda) - 0.03 \cdot 0.05

化简后得到：

\lambda^2-1.92\lambda+0.92=0

求解特征值：

\lambda = \frac{1.92 \pm \sqrt{(1.92)^2 - 4 \cdot 0.92}}{2} = \frac{1.92 \pm 0.08}{2}

结果为：

\lambda_1=1,\quad\lambda_2=0.92

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

初始状态向量 $~\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix} 0.6\\0.4 \end{bmatrix}~$ 可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2

求解系数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ ：

\begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

用矩阵方法求解：

\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}

解得：

c_1 = 0.125, \quad c_2 = 0.225

由于特征向量对应的特征值满足：

\mathbf{A} \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{A} \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2 = 0.92 \mathbf{v}_2

可以得到系统在第 $~k~$ 步的状态：

\mathbf{x}_k = c_1 \lambda_1^k \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \mathbf{v}_2

代入特征值和初始系数：

\mathbf{x}_k = 0.125 \cdot 1^k \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + 0.225 \cdot 0.92^k \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

当 $~k\rightarrow \infty~$ 时，特征值 $~\lambda_2=0.92 \leq 1~$ ，因此 $~(0.92)^k\rightarrow 0~$ 。系统状态趋近于：

\mathbf{x}_k \to 0.125 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.375 \\ 0.625 \end{bmatrix}

这表明，系统最终稳定在一个平衡状态，该状态由特征值 $~\lambda_1=1~$ 的特征向量决定。

系统的长期行为由特征值最大的模决定。在本例中， $~\lambda_1=1~$ 是唯一的稳定特征值，主导了系统的最终状态。初始状态在特征向量的分解中，快速衰减的分量（由 $~\lambda_2=0.92~$ 决定）对长期行为没有影响。该分析方法广泛应用于 $~\textbf{Markov}~$ 链（马尔可夫链）、人口迁移模型等动力系统中。

5.1 特征向量和特征值

5.3 对角化

浙ICP备2024102481号

特征方程

1. 特征方程的定义与基本性质

\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0

2. 行列式与矩阵的特征值关系

定理 3

行列式的性质

设 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是 $~n\times n~$ 方阵。

$~a.~$ $~\mathbf{A}~$ 可逆的充要条件是 $~\det\,\mathbf{A}\neq 0~$ 。

$~b.~$ $~\det\,\mathbf{AB}=(\det\,\mathbf{A})(\det\,\mathbf{B})~$ 。

$~c.~$ $~\det\,\mathbf{A}^T=\det\,\mathbf{A}~$ 。

$~d.~$ 若 $~\mathbf{A}~$ 是三角矩阵，那么 $~\det\,\mathbf{A}~$ 是 $~\mathbf{A}~$ 主对角线元素的乘积。

结合上面行列式的性质 $~a~$ 和 $~d~$ ，以及上一节讨论过的三角矩阵的特征值，我们可以得到下面的结论：

定理

可逆矩阵定理（续）

$~r.~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 可逆当且仅当 $~0~$ 不是 $~\mathbf{A}~$ 的特征值。

3. 特征多项式与特征值重数

代数重数的作用

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 6 & -1 \\ 0 & 3 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

4. 特征多项式和相似矩阵

4.1 相似矩阵的定义

定义

相似矩阵

设 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是两个 $~n\times n~$ 的方阵，如果存在一个可逆矩阵 $~\mathbf{P}~$ ，使得：

\mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}

则称矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 相似，记作：

\mathbf{A}\sim \mathbf{B}

4.2 相似矩阵的几何意义

上例中，非标准基 $~\mathcal{B}~$ 、基 $~\mathcal{B}~$ 到标准基 $~\mathcal{E}~$ 的变换矩阵如下：

\mathcal{B}= \left\{ \begin{bmatrix}0 \\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \right\},\quad \overset{\normalsize \mathbf{P}}{\raisebox{-1ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}} =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}

又知标准基下的旋转矩阵如下：

\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

那么，容易求得在非标准基 $~\mathcal{B}~$ 下的旋转矩阵为：

\begin{align*}\mathbf{R}_\mathcal{B}(\theta)&= \overset{\smash{\raisebox{-0.5ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{E} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{B}\)}}\, \vphantom{\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)}\mathbf{R}_\mathcal{E}(\theta)\, \overset{\smash{\raisebox{-0.5ex}{$\mathbf{P}$}}}{\raisebox{-1.5ex}{\tiny \(\mathcal{B} \kern-0.5em \leftarrow \kern-0.5em \mathcal{E}\)}}\\[2ex] &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}^{-1}\\[4ex] &=\begin{bmatrix} \cos\theta + \sin\theta & -\cos\theta \\ 2\cos\theta & -\cos\theta - \sin\theta \end{bmatrix} \end{align*}

4.3 相似矩阵的性质

相似矩阵不仅能够通过不同的矩阵形式来描述相同的线性变换，它们还拥有相同的特征多项式和特征值。有如下定理：

定理 4

相似矩阵的特征值和特征多项式

如果两个 $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是相似矩阵，那么它们具有相同的特征多项式，因此它们的特征值（包括重数）也完全相同。

假设条件
- 设 $\mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ ，其中 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 是 $~n\times n~$ 矩阵， $~\mathbf{P}~$ 是可逆矩阵。
转换特征多项式
- 考虑矩阵 $\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I}$ ：
  $\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} - \lambda \mathbf{P}^{-1}\mathbf{P} = \mathbf{P}^{-1}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{P}$
  这说明 $\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}$ 是相似矩阵。
使用行列式性质
- 根据行列式的性质：
  $\begin{align*} \det(\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I}) &= \det\big[\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{P}\big] \\[3ex] &= \det(\mathbf{P}^{-1}) \cdot \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \cdot \det(\mathbf{P})\\[2ex] &= \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \end{align*}$
  这说明矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 的特征多项式相同。
结论
- 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{B}~$ 的特征多项式相同，它们的特征值（包括重数）完全一致，定理得证。

5. 特征值与离散动力系统

\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A} \mathbf{x}_k, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}

其中，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 为：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97 \end{bmatrix}

接下来，我们来分析该动力系统的长期行为，即 $~k\rightarrow \infty~$ 时状态 $~\mathbf{x}_k~$ 的变化趋势。下面是具体的求解步骤：

特征值通过特征方程 $\det\,(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$ 计算：

\det\begin{bmatrix} 0.95 - \lambda & 0.03 \\ 0.05 & 0.97 - \lambda \end{bmatrix} = (0.95 - \lambda)(0.97 - \lambda) - 0.03 \cdot 0.05

化简后得到：

\lambda^2-1.92\lambda+0.92=0

求解特征值：

\lambda = \frac{1.92 \pm \sqrt{(1.92)^2 - 4 \cdot 0.92}}{2} = \frac{1.92 \pm 0.08}{2}

结果为：

\lambda_1=1,\quad\lambda_2=0.92

对应的特征向量分别为：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

初始状态向量 $~\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix} 0.6\\0.4 \end{bmatrix}~$ 可以表示为特征向量的线性组合：

\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2

求解系数 $~c_1~$ 和 $~c_2~$ ：

\begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

用矩阵方法求解：

\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}

解得：

c_1 = 0.125, \quad c_2 = 0.225

由于特征向量对应的特征值满足：

\mathbf{A} \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{A} \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2 = 0.92 \mathbf{v}_2

可以得到系统在第 $~k~$ 步的状态：

\mathbf{x}_k = c_1 \lambda_1^k \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \mathbf{v}_2

代入特征值和初始系数：

\mathbf{x}_k = 0.125 \cdot 1^k \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + 0.225 \cdot 0.92^k \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

当 $~k\rightarrow \infty~$ 时，特征值 $~\lambda_2=0.92 \leq 1~$ ，因此 $~(0.92)^k\rightarrow 0~$ 。系统状态趋近于：

\mathbf{x}_k \to 0.125 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.375 \\ 0.625 \end{bmatrix}

这表明，系统最终稳定在一个平衡状态，该状态由特征值 $~\lambda_1=1~$ 的特征向量决定。

5.1 特征向量和特征值

5.3 对角化

特征方程

1. 特征方程的定义与基本性质

2. 行列式与矩阵的特征值关系

3. 特征多项式与特征值重数

4. 特征多项式和相似矩阵

4.1 相似矩阵的定义

4.2 相似矩阵的几何意义

4.3 相似矩阵的性质

证【定理 4 ~4~ 4 的证明过程】

5. 特征值与离散动力系统

1求解特征值和特征向量

2初始状态的分解

3系统状态的演化公式

4长期行为分析

特征方程

1. 特征方程的定义与基本性质

2. 行列式与矩阵的特征值关系

3. 特征多项式与特征值重数

4. 特征多项式和相似矩阵

4.1 相似矩阵的定义

4.2 相似矩阵的几何意义

4.3 相似矩阵的性质

证【定理 4 ~4~ 4 的证明过程】

5. 特征值与离散动力系统

1求解特征值和特征向量

2初始状态的分解

3系统状态的演化公式

4长期行为分析