行列式的性质

1. 行列式与行变换

根据上一节的定理 2可知，若能将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化简为三角形（或阶梯形）矩阵，就可以极大地简化行列式的求解过程。在化简过程中常常涉及行变换操作，而在这些操作中，行列式 $~\det \mathbf{A}~$ 的值会根据特定规则发生变化。具体而言，可以参考以下定理 3 的描述：

定理 $~3~$ 中的矩阵 $~\mathbf{B}~$ 可以看做是由初等矩阵左乘矩阵 $~\mathbf{A}~$ 得到。因此，定理 $~3~$ 有如下等价描述：

定理 $~3~$ 的证明这里暂时不进行详细展开，待下一节讲解行列式的几何意义时再结合这些定理进行解释。我们先使用定理 $~3~$ 来看两个具体示例：

2. 阶梯形矩阵求解行列式

通过仅使用行交换和行倍加操作，我们可以将矩阵化简为梯形矩阵。若通过这些操作将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 简为梯形矩阵 $~\mathbf{U}~$，则行列式 $~\det \mathbf{A}~$ 可通过以下公式计算：

其中 $~\textcolor{#f22222}{r}~$ 是行交换的次数，梯形矩阵 $~\mathbf{U}~$ 是上三角矩阵，因此 $~\det \mathbf{A}~$ 为对角线元素的乘积。若矩阵 $~\mathbf{A}~$ 可逆，则对角线上所有元素非零；否则，若任意对角线元素为零，行列式 $~\det \mathbf{A}~$ 为零，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 不可逆。

综上可得：

通过行倍加和行交换操作可能会得到不同的阶梯形矩阵 $~\mathbf{U}_1~$ 和 $~\mathbf{U}_2~$，其主元值可能不同，但主元的乘积除符号外是相同的（或者说它们的绝对值是相同的）。要理解这一现象，就要理解行列式的几何意义：行列式反映了矩阵对空间体积的缩放效应。尽管行倍加和行交换操作会改变主元的位置和数值，实际上这些操作并不改变矩阵整体对体积的缩放效果。行倍加不会改变体积，而行交换仅影响体积变化的方向（符号）。因此，主元的乘积——即行列式的绝对值——保持不变，只有符号会因行交换而变化。下一节将详细解释行列式的几何意义。

3. 行列式与线性相关

由（1）可得下面的定理 4，这个定理将矩阵的行列式与矩阵是否可逆联系起来。

再根据可逆矩阵定理，我们可以得到一个有用的推论，当矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列向量（或行向量）线性相关时，$\det \mathbf{A}=0~$。将行列式与线性相关性联系起来，可以能帮助我们快速判断矩阵的可逆性，并简化行列式的计算过程（快速判断行列式是否为 $~0~$）。请看下面这个示例：

计算机在处理稀疏矩阵时，会利用零元素减少计算量，并结合高斯消元等行变换进一步简化矩阵结构。请观察下面的示例：

4. 矩阵与其转置矩阵的行列式等价性

对矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的行变换 $(\mathbf{Row~Operations})$ 操作等价于对其转置矩阵 $~\mathbf{A}^T~$ 的相应列变换 $(\mathbf{Column~Operations})$ 操作。这意味着，无论是通过行变换将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化简为阶梯形或三角形矩阵，还是对转置矩阵 $~\mathbf{A}^T~$ 进行列变换，最终得到的行列式都是相同的。为了更好地理解这一点，我们以 $~3\times 3~$ 的矩阵 $~\mathbf{A}~$ 为例，观察它们的列变换以及行变换过程：

上面示例中 $~\det \mathbf{A}=\det \mathbf{A}^T=2\times 3\times (-2) \times 5 = -60~$。推广到任意阶数的矩阵，有如下定理：

5. 行列式与矩阵乘积

下面定理揭示了矩阵乘法与行列式之间的关系：两个矩阵相乘后的行列式等于各自行列式的乘积。定理如下：

在处理复杂的矩阵运算时，这一性质可以简化了行列式的计算过程。我们可以通过单独计算每个矩阵的行列式再相乘，避免直接计算乘积矩阵的行列式，请观察下面示例：

定理 6 的证明思路：当 $~\mathbf{A}~$ 或 $~\mathbf{B}~$ 中的任意一个矩阵不可逆时，根据定理 4可知：$~\det (\mathbf{AB})=\det (\mathbf{A})\det (\mathbf{B})=0~$。若 $~\mathbf{A},\mathbf{B}~$ 都不可逆，那么矩阵乘积 $~\mathbf{AB}~$ 可以转化为 $~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1\mathbf{B}~$，其中矩阵 $~\mathbf{A}~$ 可由初等矩阵相乘而得 $~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1~$。对 $~\mathbf{B}~$ 左乘初等矩阵 $~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1~$，就相当于每次对 $~\mathbf{B}~$ 施加一次初等变换。再反复应用定理 3计算 $~\det(\mathbf{AB})~$，过程如下：

6. 行列式函数的线性性质

行列式不仅是一个标量值，它还揭示了矩阵列向量之间的几何关系，特别是在描述线性变换对体积的影响时尤为重要。行列式的值可以反映线性变换对整个空间的体积缩放或方向变化，具体取决于列向量的排列。当矩阵中的某一列向量发生变化而其他列保持不变时，行列式对该列向量的变化呈现出两个重要的线性性质：齐次性 $~(\mathbf{Homogeneity})~$ 和可加性 $~(\mathbf{Additivity})~$。接下来我们用 $~T(\mathbf{x})~$ 表示将向量 $~\mathbf{x}~$ 替换为矩阵的某一列后，对该矩阵计算行列式的值。下面分别举例来说明 $~T(\mathbf{x})~$ 的线性性质：

齐次性：如果将矩阵中某列向量乘以一个标量 $~c~$，则行列式也会相应地乘以该标量，即 $~T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x})~$。这表明，行列式函数是一个齐次函数，体现了线性变换对向量的缩放比例。

可加性：如果把矩阵中某一列向量分解为两个向量的和，那么将这两个向量分别代入该列后，对应矩阵的行列式求和后就是原矩阵行列式的值，即 $~T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})~$。这说明行列式函数对于该列向量具有可加性。