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行列式的性质

1. 行列式与行变换

根据上一节的定理 2可知，若能将矩阵 A ~\mathbf{A}~化简为三角形（或阶梯形）矩阵，就可以极大地简化行列式的求解过程。在化简过程中常常涉及行变换操作，而在这些操作中，行列式 det⁡A ~\det \mathbf{A}~的值会根据特定规则发生变化。具体而言，可以参考以下定理 3 的描述：

定理 3 ~3~中的矩阵 B ~\mathbf{B}~可以看做是由初等矩阵左乘矩阵 A ~\mathbf{A}~得到。因此，定理 3 ~3~有如下等价描述：

定理 3 ~3~的证明这里暂时不进行详细展开，待下一节讲解行列式的几何意义时再结合这些定理进行解释。我们先使用定理 3 ~3~来看两个具体示例：

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2. 阶梯形矩阵求解行列式

通过仅使用行交换和行倍加操作，我们可以将矩阵化简为梯形矩阵。若通过这些操作将矩阵 A ~\mathbf{A}~简为梯形矩阵 U ~\mathbf{U}~，则行列式 det⁡A ~\det \mathbf{A}~可通过以下公式计算：
det(A)=(−1)r⋅det(U) \text{det}(\mathbf{A}) = (-1)\textcolor{#f22222}{^r} \cdot \text{det}(\mathbf{U})
其中 r ~\textcolor{#f22222}{r}~是行交换的次数，梯形矩阵 U ~\mathbf{U}~是上三角矩阵，因此 det⁡A ~\det \mathbf{A}~为对角线元素的乘积。若矩阵 A ~\mathbf{A}~可逆，则对角线上所有元素非零；否则，若任意对角线元素为零，行列式 det⁡A ~\det \mathbf{A}~为零，矩阵 A ~\mathbf{A}~不可逆。
Echelon Form for Determinants
综上可得：
det⁡A={(−1)r( U 中主元乘积)当 A 可逆0当 A 不可逆(1)\det \mathbf{A} = \begin{cases} (-1)^r \left(~\mathbf{U}~\text{中主元乘积} \right) & \text{当}~\mathbf{A}~\text{可逆} \\ 0 & \text{当}~\mathbf{A}~\text{不可逆} \end{cases} \tag{1}
通过行倍加和行交换操作可能会得到不同的阶梯形矩阵 U1 ~\mathbf{U}_1~和 U2 ~\mathbf{U}_2~，其主元值可能不同，但主元的乘积除符号外是相同的（或者说它们的绝对值是相同的）。要理解这一现象，就要理解行列式的几何意义：行列式反映了矩阵对空间体积的缩放效应。尽管行倍加和行交换操作会改变主元的位置和数值，实际上这些操作并不改变矩阵整体对体积的缩放效果。行倍加不会改变体积，而行交换仅影响体积变化的方向（符号）。因此，主元的乘积——即行列式的绝对值——保持不变，只有符号会因行交换而变化。下一节将详细解释行列式的几何意义。

3. 行列式与线性相关

由（1）可得下面的定理 4，这个定理将矩阵的行列式与矩阵是否可逆联系起来。

再根据可逆矩阵定理，我们可以得到一个有用的推论，当矩阵 A ~\mathbf{A}~的列向量（或行向量）线性相关时，det⁡A=0 \det \mathbf{A}=0~。 将行列式与线性相关性联系起来，可以能帮助我们快速判断矩阵的可逆性，并简化行列式的计算过程（快速判断行列式是否为 0 ~0~）。请看下面这个示例：

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计算机在处理稀疏矩阵时，会利用零元素减少计算量，并结合高斯消元等行变换进一步简化矩阵结构。请观察下面的示例：

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4. 矩阵与其转置矩阵的行列式等价性

对矩阵 A ~\mathbf{A}~的行变换(Row Operations)(\mathbf{Row~Operations})操作等价于对其转置矩阵 AT ~\mathbf{A}^T~的相应列变换(Column Operations)(\mathbf{Column~Operations})操作。这意味着，无论是通过行变换将矩阵 A ~\mathbf{A}~化简为阶梯形或三角形矩阵，还是对转置矩阵 AT ~\mathbf{A}^T~进行列变换，最终得到的行列式都是相同的。为了更好地理解这一点，我们以 3×3 ~3\times 3~的矩阵 A ~\mathbf{A}~为例，观察它们的列变换以及行变换过程：

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上面示例中 det⁡A=det⁡AT=2×3×(−2)×5=−60 ~\det \mathbf{A}=\det \mathbf{A}^T=2\times 3\times (-2) \times 5 = -60~。推广到任意阶数的矩阵，有如下定理：

  1. 基础情况
    • 对于 n=1 ~n=1~，定理显然成立。此时矩阵就是一个数，其转置矩阵也是同一个数。
  2. 假设定理对于 k×k ~k\times k~矩阵成立，即
    det⁡AT=det⁡(A) for any k×k matrix\det \mathbf{A}^T = \det(\mathbf{A}) \quad \text{ for any } k \times k \text{ matrix}

  3. 考虑 n=k+1 ~n=k+1~的情形：

    对于 A ~\mathbf{A}~行列式按第一行展开：
    det⁡(A)=a11det⁡(A11)−a12det⁡(A12)+a13det⁡(A13)−⋯+(−1)1+k+1a1,k+1det⁡(A1,k+1)\det(A) = a_{11} \det(A_{11}) - a_{12} \det(A_{12}) + a_{13} \det(A_{13}) - \cdots + (-1)^{1+k+1} a_{1,k+1} \det(A_{1,k+1})
    对于 AT ~\mathbf{A}^T~行列式按第一列展开：
    det⁡(AT)=a11det⁡(A11)−a21det⁡(A21)+a31det⁡(A31)−⋯+(−1)k+1+1ak+1,1det⁡(Ak+1,1)\det(A^T) = a_{11} \det(A_{11}) - a_{21} \det(A_{21}) + a_{31} \det(A_{31}) - \cdots + (-1)^{k+1+1} a_{k+1,1} \det(A_{k+1,1})
     k+1 ~k+1~阶行列式划掉一行、划掉一列就是 k ~k~阶行列式，我们已经假设 k ~k~阶行列式相等，也就是对于 n=k ~n=k~时， det⁡A1j=det⁡Aj1 ~\det \mathbf{A}_{1j}=\det \mathbf{A}_{j1}~。上面两种展开方式中 det⁡A1j ~\det \mathbf{A}_{1j}~和 det⁡Aj1 ~\det \mathbf{A}_{j1}~的系数和正负号都是相同的，所以 n=k+1 ~n=k+1~时 det⁡A=det⁡AT ~\det \mathbf{A}=\det \mathbf{A}^T~成立。
  4. 结论：

    由数学归纳法原理，既然定理对 n=1 ~n=1~成立，且对于 k×k ~k\times k~矩阵成立时可以推导出 (k+1)×（k+1) ~(k+1)\times （k+1)~时也成立，那么定理对于所有 n≥1 ~n\geq 1~的矩阵都成立。

5. 行列式与矩阵乘积

下面定理揭示了矩阵乘法与行列式之间的关系：两个矩阵相乘后的行列式等于各自行列式的乘积。定理如下：

在处理复杂的矩阵运算时，这一性质可以简化了行列式的计算过程。我们可以通过单独计算每个矩阵的行列式再相乘，避免直接计算乘积矩阵的行列式，请观察下面示例：

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定理 6 的证明思路：当 A ~\mathbf{A}~或 B ~\mathbf{B}~中的任意一个矩阵不可逆时，根据定理 4 可知： det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=0 ~\det (\mathbf{AB})=\det (\mathbf{A})\det (\mathbf{B})=0~。若 A,B ~\mathbf{A},\mathbf{B}~都不可逆，那么矩阵乘积 AB ~\mathbf{AB}~可以转化为 Ep…E2E1B ~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1\mathbf{B}~，其中矩阵 A ~\mathbf{A}~可由初等矩阵相乘而得 Ep…E2E1 ~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1~。对 B ~\mathbf{B}~左乘初等矩阵 Ep…E2E1 ~\mathbf{E}_p\dots \mathbf{E}_2\mathbf{E}_1~，就相当于每次对 B ~\mathbf{B}~施加一次初等变换。再反复应用定理 3 计算 det⁡(AB) ~\det(\mathbf{AB})~，过程如下：
det⁡(AB)=det⁡(Ep⋯E1B)=det⁡(Ep)det⁡(Ep−1⋯E1B)=det⁡(Ep)det⁡(Ep−1)det⁡(Ep−2⋯E1B)=⋯=det⁡(Ep)⋯det⁡(E1)det⁡(B)=det⁡(Ep⋯E1)det⁡(B)=det⁡(A)det⁡(B)\begin{align*}\det(\mathbf{A}\mathbf{B}) &= \det(\mathbf{E}_p \cdots \mathbf{E}_1 \mathbf{B}) \\[2ex] &= \det(\textcolor{#2196f3}{\mathbf{E}_p}) \det(\mathbf{E}_{p-1} \cdots \mathbf{E}_1 \mathbf{B})\\[2ex] &= \det(\textcolor{#2196f3}{\mathbf{E}_p})\det(\textcolor{#2196f3}{\mathbf{E}_{p-1}}) \det(\mathbf{E}_{p-2} \cdots \mathbf{E}_1 \mathbf{B}) \\[2ex] &= \cdots \\[2ex] &= \det(\textcolor{#2196f3}{\mathbf{E}_p}) \textcolor{#2196f3}{\cdots} \det(\textcolor{#2196f3}{\mathbf{E}_1}) \det(\mathbf{B})\\[2ex] &= \det(\mathbf{E}_p \cdots \mathbf{E}_1) \det(\mathbf{B}) \\[2ex] &= \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\end{align*}

6. 行列式函数的线性性质

行列式不仅是一个标量值，它还揭示了矩阵列向量之间的几何关系，特别是在描述线性变换对体积的影响时尤为重要。行列式的值可以反映线性变换对整个空间的体积缩放或方向变化，具体取决于列向量的排列。当矩阵中的某一列向量发生变化而其他列保持不变时，行列式对该列向量的变化呈现出两个重要的线性性质：齐次性 (Homogeneity) ~(\mathbf{Homogeneity})~和可加性 (Additivity) ~(\mathbf{Additivity})~。接下来我们用 T(x) ~T(\mathbf{x})~表示将向量 x ~\mathbf{x}~替换为矩阵的某一列后，对该矩阵计算行列式的值。下面分别举例来说明 T(x) ~T(\mathbf{x})~的线性性质：

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齐次性：如果将矩阵中某列向量乘以一个标量 c ~c~，则行列式也会相应地乘以该标量，即 T(cx)=cT(x) ~T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x})~。这表明，行列式函数是一个齐次函数，体现了线性变换对向量的缩放比例。

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可加性：如果把矩阵中某一列向量分解为两个向量的和，那么将这两个向量分别代入该列后，对应矩阵的行列式求和后就是原矩阵行列式的值，即 T(u+v)=T(u)+T(v) ~T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})~。这说明行列式函数对于该列向量具有可加性。

3.1 行列式简介

3.3 克拉默法则、体积和线性变换

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