行列式简介

行列式定义了矩阵的可逆性，可以衡量线性变换对几何体面积或体积的影响，是线性代数中的关键工具。它不仅用于判断线性方程组是否有唯一解，还在特征值问题、几何变换、物理和工程计算中有广泛应用。

1. 计算 $3\times 3$ 矩阵的行列式

我们在 $2.2$ 节矩阵的逆中讲解二阶矩阵的可逆性判定时介绍过二阶行列式。二阶矩阵 $~\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\textcolor{#2196f3}{a} & \textcolor{#ff8200}{b} \\ \textcolor{#ff8200}{c} & \textcolor{#2196f3}{d}\end{bmatrix}~$ 的行列式可以表示为： $~\det\mathbf{A}=\textcolor{#2196f3}{ad}-\textcolor{#ff8200}{bc}~$ 。下面我们来推导如何求解 $3\times 3$ 矩阵 $~\mathbf{A}_{3\times 3}=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}~$ 的行列式，为了确保我们能够顺利地进行初等行变换，我们令 $~a_{11}\neq 0~$ ，请观察下面的推导过程：

经过上面的推导，可得三阶矩阵 $~\mathbf{A}_{3\times 3}~$ 行列式为：

\textcolor{#f22222}{\Delta} = \textcolor{#2196f3}{a_{11}a_{22}a_{33}} + \textcolor{#2196f3}{a_{12}a_{23}a_{31}} + \textcolor{#2196f3}{a_{13}a_{21}a_{32}} -\textcolor{#ff8200}{a_{11}a_{23}a_{32}} - \textcolor{#ff8200}{a_{12}a_{21}a_{33}} - \textcolor{#ff8200}{a_{13}a_{22}a_{31}} \tag{1}

对这个行列式进一步推导，可得：

\begin{align*}\textcolor{#f22222}{\Delta} &= a_{11}(\textcolor{#2196f3}{a_{22}a_{33}}-\textcolor{#ff8200}{a_{23}a_{32}})- a_{12}(\textcolor{#2196f3}{a_{21}a_{33}}-\textcolor{#ff8200}{a_{23}a_{31}})+ a_{13}(\textcolor{#2196f3}{a_{21}a_{32}}-\textcolor{#ff8200}{a_{22}a_{31}})\\ &= a_{11} \det\begin{bmatrix} \textcolor{#2196f3}{a_{22}} & \textcolor{#ff8200}{a_{23}} \\ \textcolor{#ff8200}{a_{32}} & \textcolor{#2196f3}{a_{33}} \end{bmatrix} - \textcolor{#ff8200}{a_{12}} \det\begin{bmatrix} \textcolor{#2196f3}{a_{21}} & \textcolor{#ff8200}{a_{23}} \\ \textcolor{#ff8200}{a_{31}} & \textcolor{#2196f3}{a_{33}} \end{bmatrix} + \textcolor{#ff8200}{a_{13}} \det\begin{bmatrix} \textcolor{#2196f3}{a_{21}} & \textcolor{#ff8200}{a_{22}} \\ \textcolor{#ff8200}{a_{31}} & \textcolor{#2196f3}{a_{32}} \end{bmatrix}\\ &= a_{11} \cdot \det\mathbf{A}_{11} - a_{12}\cdot \det\mathbf{A}_{12} + a_{13}\cdot \mathbf{A}_{13} \end{align*}

其中， $~\mathbf{A}_{11}~$ ， $\mathbf{A}_{12}~$ 和 $~\mathbf{A}_{13}~$ 是由 $~\mathbf{A}~$ 删去第一行和对应的列而得到的，请观察下面的过程：

2. $n$ 阶矩阵的行列式递归定义

由上面的推导可知，三阶矩阵的行列式可以通过二阶矩阵的行列式递推得到。这个递推关系可推广到一般情况，即 $n$ 阶矩阵的行列式可以由 $n-1$ 阶矩阵的行列式递推得到。以下是行列式的一种递归定义：

定义

行列式定义

对于 $~n \geq 2~$ ， $~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}~$ 的行列式是形如 $~\pm a_{1j}det(\mathbf{A}_{1j})~$ $~n~$ 项的和，其中正负号交替，元素 $~a_{11},a_{12},\dots, a_{1n}~$ 是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 第一行的元素。用符号表示为：

\begin{align*}\det\mathbf{A} &= a_{11} \det\mathbf{A}_{11} - a_{12} \det\mathbf{A}_{12} + \dots + (-1)^{1+n} a_{1n} \det\mathbf{A}_{1n} \tag{2} \\ &=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(\mathbf{A}_{1j}) \end{align*}

其中， $~\mathbf{A}_{1j}~$ 表示 $~n~$ 阶矩阵删除第 $~1~$ 行、第 $~j~$ 列后得到的 $~n-1~$ 阶矩阵。

根据定义，我们通过递归展开法计算三阶矩阵的行列式：

方阵 $~\mathbf{A}~$ 的行列式通常用一对竖线来表示，例如二阶矩阵的行列式可表示为： $~ \det \mathbf{A} = \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc~$ 。

3. 行列式的代数余子式展开

在前面的描述中，我们令 $~\mathbf{A}_{ij}~$ 表示删除矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的子矩阵， $~\det \mathbf{A}_{ij}~$ 则表示该子矩阵的行列式。矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的第 $(i,j)$ 元素的代数余子式 $(\mathbf{cofactor})$ ，记作 $~C_{ij}~$ ，定义如下：

C_{ij} = (-1)^{i+j} \det \mathbf{A}_{ij}

那么对于 $(2)$ ，我们可以用代数余子式来表示：

\det \mathbf{A} = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n} \tag{3}

公式 $(3)$ 称为按 $~\mathbf{A}~$ 的第一行的代数余子式展开式 $(\mathbf{cofactor~expansion~across~the~first~row})$ 。

对于式子 $(1)$ ，我们可以从中提取不同的因子得到其它形式的结果，例如提取矩阵中第二行的元素可得：

\begin{align*}\textcolor{#f22222}{\Delta} &= a_{21}(\textcolor{#2196f3}{a_{12}a_{33}}-\textcolor{#ff8200}{a_{13}a_{32}})- a_{22}(\textcolor{#2196f3}{a_{11}a_{33}}-\textcolor{#ff8200}{a_{13}a_{31}})+ a_{23}(\textcolor{#2196f3}{a_{11}a_{32}}-\textcolor{#ff8200}{a_{12}a_{31}})\\ &= a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} \end{align*}

这样，我们就可以按照矩阵的第二行来展开计算。根据这个代数性质，我们可以推断从三阶矩阵的任意一行或一列来展开计算行列式，得到的结果是一致的。这个结论不仅适用于三阶矩阵，还可以推广到任意阶数的矩阵，有如下定理（也称为拉普拉斯定理）：

定理 1

行列式的代数余子式展开定理

$~n\times n~$ 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的行列式可按任意行或列的代数余子式展开计算。按第 $~i~$ 行的代数余子式展开公式为：

\det\mathbf{A} = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}

按第 $~j~$ 列的代数余子式展开公式为：

\det\mathbf{A} = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \dots + a_{nj}C_{nj}

矩阵元素 $(i,j)$ 的代数余子式的正负号只取决于它在矩阵中的位置，请观察下面的示例：

4. 任意行、列展开计算行列式

根据定理 1，我们可以选择矩阵的任意行或列来展开计算行列式。如果选中的行或列中含有大量零元素，那么在展开计算时就可以跳过这些零元素，从而简化计算，请观察下面的示例：

为了减少行列式的计算量，我们可以总是优先选择零元素最多的行或列进行展开。最理想的情况是矩阵呈现为三角矩阵形式（包括上三角矩阵和下三角矩阵），在这种情况下，行列式的值等于对角线元素的乘积，不需要进行复杂的余子式展开。有如下定理：

定理 2

三角矩阵的行列式

如果矩阵 $~\mathbf{A}~$ 是一个三角矩阵，那么 $~\det \mathbf{A}~$ 等于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 主对角线上所有元素的乘积。

为了更好地理解这个定理，我们来看一个具体的示例：

5. 行列式代数余子式展开的时间复杂度

对一个 $n\times n$ 的矩阵，代数余子式展开法需要递归地处理 $n-1$ 阶的子矩阵。对于每个 $n\times n$ 的矩阵，我们需要对 $n$ 个元素进行展开，并对每个展开的元素计算 $(n-1)\times (n-1)$ 矩阵的行列式。因此，时间复杂度可以表示为：

T(n) = n \cdot T(n-1)

通过递推可以得到时间复杂度为 $O(n!)$ 。也就是说，代数余子式展开法的复杂度随着矩阵阶数的增加呈现阶乘增长。这是一个极高的复杂度，例如对一个 $25\times 25$ 的矩阵，理论运算次数达到 $~25!=1.55\times 10^{25}~$ ，这在实际应用中是不可能完成的。

直观感受

~25!~

次的运算量

TFLOPS 是衡量处理器性能的单位，表示每秒进行万亿次浮点运算。NVIDIA A100 是当前人工智能领域中常用的高性能处理器，它可以在双精度 (FP64)下提供高达 19.5 TFLOPS 的浮点运算能力，以这样的性能进行 $~25!~$ 次浮点运算需要大约 $~25~$ 万年。而一个 $~25\times 25~$ 的矩阵在工程领域中只是一个非常小的矩阵。

代数余子式展开法只适用于小型矩阵，在现代计算机中，通常会使用其他更高效的算法（如 LU 分解、高斯消元）来求解行列式。

2.9 维数与秩

3.2 行列式的性质

行列式简介

1. 计算 3×33\times 33×3 矩阵的行列式

2. nnn 阶矩阵的行列式递归定义

3. 行列式的代数余子式展开

4. 任意行、列展开计算行列式

5. 行列式代数余子式展开的时间复杂度

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