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维数与秩

维数和秩通过量化空间自由度与列相关性，是分析矩阵结构和线性系统解的核心工具。

1. 坐标系统与坐标向量

为给子空间 $~H~$ 中的向量建立唯一的数学表达，我们需构建其坐标系统 $~(\textbf{coordinate systems})~$ 。基 $~(\text{basis})~$ 是线性无关的 生成集 $~(\text{spanning set})~$ ，它能确保每个向量仅对应唯一一组坐标系数，因此我们选择基作为坐标系统的构建基础。利用基来描述子空间中的向量，可以将抽象的子空间结构映射为具体的数值坐标。有如下定义：

定义

坐标向量

假设集合 $~\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1,\cdots,\mathbf{b}_p\}~$ 是子空间 $~H~$ 的一个基。对于 $~H~$ 中的每个向量 $~\mathbf{x}~$ ，其相对于基 $~\mathcal{B}~$ 的坐标是满足 $~\mathbf{x} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_p\mathbf{b}_p~$ 的权重系数 $~c_1,\cdots,c_p~$ ，并且 $~\mathbb{R^p}~$ 中的向量：

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_p\end{bmatrix}

被称为 $~\mathbf{x}~$ 的（相对于 $~\mathcal{B}~$ ）坐标向量，或简称 $~\mathcal{B}-$ 坐标向量。

例 $1$ ：给定向量：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix}

基 $~\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~$ ，且 $~\mathcal{B}~$ 是子空间 $~H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~$ 的基（ $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 线性无关）。

构建线性方程组
- 假设 $~\mathbf{x}~$ 可表示为基的线性组合：
  $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{x}$
- 对应线性方程组：
  $\begin{cases} 3c_1 - c_2 = 3 \\ 6c_1 + 0c_2 = 12 \\ 2c_1 + c_2 = 7 \end{cases}$
化简对应的增广矩阵
- 化简增广矩阵为阶梯型
  $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- 解得：
  $c_1 = 2,\quad c_2 = 3$
- 向量 $~\mathbf{x}~$ ：
  $\mathbf{x} = 2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2$

$\mathbf{x}~$ 的坐标向量表示为：

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}

2. 子空间的维度

为了分析子空间的结构，需要引入其维度的概念，即基中线性无关向量的数量，用于量化该空间独立方向的最大数目。

定义

子空间的维度

非零子空间 $~H~$ 的维度 $~(\text{dimension,~记作 dim}H)~$ 是 $~H~$ 的任意基中向量的数量。零子空间（仅含零向量的空间）的维度定义为零。

例如，欧几里得空间 $~\mathbb{R^n}~$ 的维度为 $~n~$ ，其任意基均包含 $~n~$ 个向量。具体到 $~\mathbb{R^3}~$ 中，通过原点的平面是二维子空间，而通过原点的直线则是一维子空间。

例 $2$ ：假设矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的行简化阶梯形如下：

\begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

问题：确定零空间 $~\text{Nul}\mathbf{A}~$ 的维度，并解释其与自由变量的关系。

识别主元列与自由变量
- 观察行简化阶梯形，主元列（包含主元的列）位于第 $~1~$ 列和第 $~3~$ 列，共 $~2~$ 个主元。
- 非主元列（第 $~2,4,5~$ 列）对应自由变量，共 $~3~$ 个自由变量。
计算零空间维度
- 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 共有 $~5~$ 列。根据线性代数基本定理，零空间的维度等于自由变量的数量，即：
  $\text{dim}~\text{Null}\mathbf{A} = \small{自由变量数量} = 3$
解释自由变量的作用
- 每个自由变量对应零空间解的一个独立参数，最终生成零空间的一个基向量。
- 例如： $3~$ 个自由变量意味着解空间中需要 $~3~$ 个参数化的基向量，从而确定零空间是三维的。

3. 矩阵的秩与秩定理

定义

矩阵的秩

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的秩 $~(rank,~\small{记作}~\text{rank}\mathbf{A})~$ 是其列空间的维度，即列空间中线性无关列的最大数目。

例 $3$ ：求下面矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的秩：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}

将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化为行简化阶梯型

通过行变换化简得：
$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化为行简化阶梯型
- 主元列：第 $~1~$ 列（首元为 $~2~$ ）、第 $~2~$ 列（次元为 $~-3~$ ）、第 $~4~$ 列（次元为 $~4~$ ）。
- 结论：主元列共 $~3~$ 个，因此矩阵的秩为 $~3~$ ，即 $~\text{rank}~\mathbf{A} = 3~$ 。

例 $3$ 中的行简化过程表明，方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~$ 中存在两个自由变量，因为矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的五列中有两列是非主元列（这些非主元列对应方程中的自由变量）。由于主元列数量与非主元列数量之和恰好等于总列数，列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 与零空间 $~(\text{Nul}\mathbf{A})~$ 的维度之间存在以下重要关系：

定理

秩定理

若矩阵 $~\mathbf{A}~$ 有 $~n~$ 列，则其秩 $~(\text{rank}~\mathbf{A})~$ 与零空间维度 $~(\text{dim}~\text{Null}\mathbf{A})~$ 满足：

\text{rank}~\mathbf{A} + \text{dim}~\text{Nul}\mathbf{A} = n

秩定理不仅量化了矩阵列向量的独立性，还通过自由变量数量解释了齐次方程解空间的自由度。

4. 基定理与可逆矩阵定理的扩展

下面的基定理为判断子空间的基提供了条件：

定理

基定理

设 $~H~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个 $~p~$ 维子空间：

线性无关性条件：若 $~H~$ 中恰有 $~p~$ 个线性无关的向量，则该集合自动构成 $~H~$ 的基。
生成性条件：若 $~H~$ 中某组 $~p~$ 个向量能生成 $~H~$ ，则该集合也自动构成 $~H~$ 的基。

基定理的核心在于，若已知子空间的维度，则仅需验证集合的线性无关性或生成性中的任意一条，即可确定其作为基的合法性。基定理可以进一步拓展可逆矩阵定理：

定理 8

可逆矩阵定理（续）

设 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~n\times n~$ 的方阵。则以下陈述是等价的。对于给定的 $~\mathbf{A}~$ ，这些陈述要么全为真，要么全为假。

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列向量构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个基。
$~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$
$~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$
$~\text{dim}~\text{Nul}\mathbf{A} = 0~$
$~\text{Nul}\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$

证明：以下逻辑链展示了新增条件与原有条件的等价性（已知原定理中条件 $~(d)~$ 和 $~(g)~$ 均等价于 $~\mathbf{A}~$ 可逆）：

(g) \Rightarrow (n) \Rightarrow (o) \Rightarrow (p) \Rightarrow (q) \Rightarrow (d)

证明的具体步骤如下：

条件 $~(g)~$ ：对任意 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~$ ，方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 至少有一个解。
推导：由列空间定义， $~\text{Col}~\mathbf{A}~$ 是所有满足 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 有解的 $~\mathbf{b}~$ 的集合。因此，若 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 对所有 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~$ 有解，则 $~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ 。

条件 $~(n)~$ ： $~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ 。
推导：列空间的维度即为秩，而 $~\mathbb{R^n}~$ 的维度为 $~n~$ ，因此 $~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$ 。

条件 $~(o)~$ ： $~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$ 。
推导：根据秩定理 $~\text{rank}~\mathbf{A} + \text{dim}~\text{Null}~\mathbf{A} = n~$ ，若秩为 $~n~$ ，则零空间维度 $~\text{rank}~\mathbf{A} = 0~$ 。

条件 $~(p)~$ ： $~\text{dim}~\text{Nul}~\mathbf{A} = 0~$ 。
推导：零空间的维度为 $~0~$ ，说明零空间仅含零向量，即 $~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 。

条件 $~(q)~$ ： $~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 。
推导：零空间仅含零向量等价于齐次方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~$ 仅有平凡解，即条件 $~(d)~$ 。

循环闭合：由于原定理已证明 $~(d)~$ 和 $~(g)~$ 均等价于 $~\mathbf{A}~$ 可逆，因此新增条件 $~(m)-(q)~$ 也与可逆性等价，证明完成。

2.8 $~\mathbb{R^n}~$ 子空间

3.1 行列式简介

浙ICP备2024102481号

维数与秩

维数和秩通过量化空间自由度与列相关性，是分析矩阵结构和线性系统解的核心工具。

1. 坐标系统与坐标向量

定义

坐标向量

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_p\end{bmatrix}

被称为 $~\mathbf{x}~$ 的（相对于 $~\mathcal{B}~$ ）坐标向量，或简称 $~\mathcal{B}-$ 坐标向量。

例 $1$ ：给定向量：

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix}

构建线性方程组
- 假设 $~\mathbf{x}~$ 可表示为基的线性组合：
  $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{x}$
- 对应线性方程组：
  $\begin{cases} 3c_1 - c_2 = 3 \\ 6c_1 + 0c_2 = 12 \\ 2c_1 + c_2 = 7 \end{cases}$
化简对应的增广矩阵
- 化简增广矩阵为阶梯型
  $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- 解得：
  $c_1 = 2,\quad c_2 = 3$
- 向量 $~\mathbf{x}~$ ：
  $\mathbf{x} = 2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2$

$\mathbf{x}~$ 的坐标向量表示为：

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}

2. 子空间的维度

为了分析子空间的结构，需要引入其维度的概念，即基中线性无关向量的数量，用于量化该空间独立方向的最大数目。

定义

子空间的维度

非零子空间 $~H~$ 的维度 $~(\text{dimension,~记作 dim}H)~$ 是 $~H~$ 的任意基中向量的数量。零子空间（仅含零向量的空间）的维度定义为零。

例 $2$ ：假设矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的行简化阶梯形如下：

\begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

问题：确定零空间 $~\text{Nul}\mathbf{A}~$ 的维度，并解释其与自由变量的关系。

识别主元列与自由变量
- 观察行简化阶梯形，主元列（包含主元的列）位于第 $~1~$ 列和第 $~3~$ 列，共 $~2~$ 个主元。
- 非主元列（第 $~2,4,5~$ 列）对应自由变量，共 $~3~$ 个自由变量。
计算零空间维度
- 矩阵 $~\mathbf{A}~$ 共有 $~5~$ 列。根据线性代数基本定理，零空间的维度等于自由变量的数量，即：
  $\text{dim}~\text{Null}\mathbf{A} = \small{自由变量数量} = 3$
解释自由变量的作用
- 每个自由变量对应零空间解的一个独立参数，最终生成零空间的一个基向量。
- 例如： $3~$ 个自由变量意味着解空间中需要 $~3~$ 个参数化的基向量，从而确定零空间是三维的。

3. 矩阵的秩与秩定理

定义

矩阵的秩

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的秩 $~(rank,~\small{记作}~\text{rank}\mathbf{A})~$ 是其列空间的维度，即列空间中线性无关列的最大数目。

例 $3$ ：求下面矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的秩：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}

将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化为行简化阶梯型

通过行变换化简得：
$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
将矩阵 $~\mathbf{A}~$ 化为行简化阶梯型
- 主元列：第 $~1~$ 列（首元为 $~2~$ ）、第 $~2~$ 列（次元为 $~-3~$ ）、第 $~4~$ 列（次元为 $~4~$ ）。
- 结论：主元列共 $~3~$ 个，因此矩阵的秩为 $~3~$ ，即 $~\text{rank}~\mathbf{A} = 3~$ 。

定理

秩定理

若矩阵 $~\mathbf{A}~$ 有 $~n~$ 列，则其秩 $~(\text{rank}~\mathbf{A})~$ 与零空间维度 $~(\text{dim}~\text{Null}\mathbf{A})~$ 满足：

\text{rank}~\mathbf{A} + \text{dim}~\text{Nul}\mathbf{A} = n

秩定理不仅量化了矩阵列向量的独立性，还通过自由变量数量解释了齐次方程解空间的自由度。

4. 基定理与可逆矩阵定理的扩展

下面的基定理为判断子空间的基提供了条件：

定理

基定理

设 $~H~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个 $~p~$ 维子空间：

线性无关性条件：若 $~H~$ 中恰有 $~p~$ 个线性无关的向量，则该集合自动构成 $~H~$ 的基。
生成性条件：若 $~H~$ 中某组 $~p~$ 个向量能生成 $~H~$ ，则该集合也自动构成 $~H~$ 的基。

定理 8

可逆矩阵定理（续）

设 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~n\times n~$ 的方阵。则以下陈述是等价的。对于给定的 $~\mathbf{A}~$ ，这些陈述要么全为真，要么全为假。

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列向量构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个基。
$~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$
$~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$
$~\text{dim}~\text{Nul}\mathbf{A} = 0~$
$~\text{Nul}\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$

证明：以下逻辑链展示了新增条件与原有条件的等价性（已知原定理中条件 $~(d)~$ 和 $~(g)~$ 均等价于 $~\mathbf{A}~$ 可逆）：

(g) \Rightarrow (n) \Rightarrow (o) \Rightarrow (p) \Rightarrow (q) \Rightarrow (d)

证明的具体步骤如下：

条件 $~(g)~$ ：对任意 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~$ ，方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 至少有一个解。
推导：由列空间定义， $~\text{Col}~\mathbf{A}~$ 是所有满足 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 有解的 $~\mathbf{b}~$ 的集合。因此，若 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~$ 对所有 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~$ 有解，则 $~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ 。

条件 $~(n)~$ ： $~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ 。
推导：列空间的维度即为秩，而 $~\mathbb{R^n}~$ 的维度为 $~n~$ ，因此 $~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$ 。

条件 $~(o)~$ ： $~\text{rank}~\mathbf{A} = n~$ 。
推导：根据秩定理 $~\text{rank}~\mathbf{A} + \text{dim}~\text{Null}~\mathbf{A} = n~$ ，若秩为 $~n~$ ，则零空间维度 $~\text{rank}~\mathbf{A} = 0~$ 。

条件 $~(p)~$ ： $~\text{dim}~\text{Nul}~\mathbf{A} = 0~$ 。
推导：零空间的维度为 $~0~$ ，说明零空间仅含零向量，即 $~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 。

条件 $~(q)~$ ： $~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 。
推导：零空间仅含零向量等价于齐次方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~$ 仅有平凡解，即条件 $~(d)~$ 。

循环闭合：由于原定理已证明 $~(d)~$ 和 $~(g)~$ 均等价于 $~\mathbf{A}~$ 可逆，因此新增条件 $~(m)-(q)~$ 也与可逆性等价，证明完成。

2.8 $~\mathbb{R^n}~$ 子空间

3.1 行列式简介

维数与秩

1. 坐标系统与坐标向量

1判断 x ~\mathbf{x}~ x 是否属于 H ~H~ H

2x \mathbf{x}~x 相对于基 B ~\mathcal{B}~ B 的坐标向量 [x]B ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~ [x]B​

2. 子空间的维度

解例 222

3. 矩阵的秩与秩定理

解例 333

4. 基定理与可逆矩阵定理的扩展

1步骤 1 ~1~ 1 ：(g)⇒(n)(g) \Rightarrow (n)(g)⇒(n)

2步骤 2 ~2~ 2 ：(n)⇒(o)(n) \Rightarrow (o)(n)⇒(o)

3步骤 3 ~3~ 3 ：(o)⇒(p)(o) \Rightarrow (p)(o)⇒(p)

4步骤 4 ~4~ 4 ：(p)⇒(q)(p) \Rightarrow (q)(p)⇒(q)

5步骤 5 ~5~ 5 ：(q)⇒(d)(q) \Rightarrow (d)(q)⇒(d)

维数与秩

1. 坐标系统与坐标向量

1判断 x ~\mathbf{x}~ x 是否属于 H ~H~ H

2x \mathbf{x}~x 相对于基 B ~\mathcal{B}~ B 的坐标向量 [x]B ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~ [x]B​

2. 子空间的维度

解例 222

3. 矩阵的秩与秩定理

解例 333

4. 基定理与可逆矩阵定理的扩展

1步骤 1 ~1~ 1 ：(g)⇒(n)(g) \Rightarrow (n)(g)⇒(n)

2步骤 2 ~2~ 2 ：(n)⇒(o)(n) \Rightarrow (o)(n)⇒(o)

3步骤 3 ~3~ 3 ：(o)⇒(p)(o) \Rightarrow (p)(o)⇒(p)

4步骤 4 ~4~ 4 ：(p)⇒(q)(p) \Rightarrow (q)(p)⇒(q)

5步骤 5 ~5~ 5 ：(q)⇒(d)(q) \Rightarrow (d)(q)⇒(d)