Logo

维数与秩

1. 坐标系统与坐标向量

为给子空间 H ~H~中的向量建立唯一的数学表达，我们需构建其坐标系统(coordinate systems)(\textbf{coordinate systems})。基(basis)(\text{basis})是线性无关的生成集(spanning set)(\text{spanning set})，它能确保每个向量仅对应唯一一组坐标系数，因此我们选择基作为坐标系统的构建基础。利用基来描述子空间中的向量，可以将抽象的子空间结构映射为具体的数值坐标。有如下定义：
例1\mathbf{1}： 给定向量：
v1=[362],v2=[−101],x=[3127]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7 \end{bmatrix}
基 B={v1,v2} ~\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~，且 B ~\mathcal{B}~是子空间 H=Span{v1,v2} ~H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~的基（ v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~线性无关）。

  1. 构建线性方程组

    • 假设 x ~\mathbf{x}~可表示为基的线性组合：
      c1v1+c2v2=xc_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{x}
    • 对应线性方程组：
      {3c1−c2=36c1+0c2=122c1+c2=7\begin{cases} 3c_1 - c_2 = 3 \\ 6c_1 + 0c_2 = 12 \\ 2c_1 + c_2 = 7 \end{cases}

  2. 化简对应的增广矩阵

    • 化简增广矩阵为阶梯型
      [3−136012217]∼[102013000]\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
    • 解得：
      c1=2,c2=3c_1 = 2,\quad c_2 = 3
    • 向量 x ~\mathbf{x}~:
      x=2v1+3v2\mathbf{x} = 2\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2

x \mathbf{x}~的坐标向量表示为：
[x]B=[c1c2]=[23][\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}

2. 子空间的维度

为了分析子空间的结构，需要引入其维度的概念，即基中线性无关向量的数量，用于量化该空间独立方向的最大数目。

例如，欧几里得空间 Rn ~\mathbb{R^n}~的维度为 n ~n~，其任意基均包含 n ~n~个向量。具体到 R3 ~\mathbb{R^3}~中，通过原点的平面是二维子空间，而通过原点的直线则是一维子空间。

例2\mathbf{2}：假设矩阵 A ~\mathbf{A}~的行简化阶梯形如下：
[−36−11−71−223−12−458−4]∼[1−20−130012−200000]\begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
问题：确定零空间 NulA ~\text{Nul}\mathbf{A}~的维度，并解释其与自由变量的关系。

  1. 识别主元列与自由变量

    • 观察行简化阶梯形，主元列（包含主元的列）位于第 1 ~1~列和第 3 ~3~列，共 2 ~2~个主元。

    • 非主元列（第 2,4,5 ~2,4,5~列）对应自由变量，共 3 ~3~个自由变量。

  2. 计算零空间维度

    • 矩阵 A ~\mathbf{A}~共有 5 ~5~列。根据线性代数基本定理，零空间的维度等于自由变量的数量，即：
      dim NullA=自由变量数量=3\text{dim}~\text{Null}\mathbf{A} = \small{自由变量数量} = 3

  3. 解释自由变量的作用

    • 每个自由变量对应零空间解的一个独立参数，最终生成零空间的一个基向量。

    • 例如：3 3~个自由变量意味着解空间中需要 3 ~3~个参数化的基向量，从而确定零空间是三维的。

3. 矩阵的秩与秩定理

例3\mathbf{3}：求下面矩阵 A ~\mathbf{A}~的秩：
A=[25−3−4847−4−3969−5240−965−6]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}

  1. 将矩阵 A ~\mathbf{A}~化为行简化阶梯型

    通过行变换化简得：
    [25−3−4847−4−3969−5240−965−6]∼[25−3−480−325−70004−600000]\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

  2. 将矩阵 A ~\mathbf{A}~化为行简化阶梯型

    • 主元列：第 1 ~1~列（首元为 2 ~2~）、第 2 ~2~列（次元为 −3 ~-3~）、第 4 ~4~列（次元为 4 ~4~）。

    • 结论：主元列共 3 ~3~个，因此矩阵的秩为 3 ~3~，即rank A=3\text{rank}~\mathbf{A} = 3。

例 3 ~3~中的行简化过程表明，方程 Ax=0 ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~中存在两个自由变量，因为矩阵 A ~\mathbf{A}~的五列中有两列是非主元列（这些非主元列对应方程中的自由变量）。由于主元列数量与非主元列数量之和恰好等于总列数，列空间(ColA)(\text{Col}\mathbf{A})与零空间(NulA)(\text{Nul}\mathbf{A})的维度之间存在以下重要关系：

秩定理不仅量化了矩阵列向量的独立性，还通过自由变量数量解释了齐次方程解空间的自由度。

4. 基定理与可逆矩阵定理的扩展

下面的基定理为判断子空间的基提供了条件：

基定理的核心在于，若已知子空间的维度，则仅需验证集合的线性无关性或生成性中的任意一条，即可确定其作为基的合法性。基定理可以进一步拓展可逆矩阵定理：

证明：以下逻辑链展示了新增条件与原有条件的等价性（已知原定理中条件 (d) ~(d)~和 (g) ~(g)~均等价于 A ~\mathbf{A}~可逆）：
(g)⇒(n)⇒(o)⇒(p)⇒(q)⇒(d)(g) \Rightarrow (n) \Rightarrow (o) \Rightarrow (p) \Rightarrow (q) \Rightarrow (d)
证明的具体步骤如下：

  • 条件 (g) ~(g)~：对任意 b∈Rn~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n，方程 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~至少有一个解。

  • 推导：由列空间定义，Col A\text{Col}~\mathbf{A}是所有满足 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~有解的 b ~\mathbf{b}~的集合。因此，若 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~对所有 b∈Rn ~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~有解，则 Col A=Rn ~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~。

  • 条件 (n) ~(n)~： Col A=Rn ~\text{Col}~\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~。

  • 推导：列空间的维度即为秩，而 Rn ~\mathbb{R^n}~的维度为 n ~n~，因此 rank A=n~\text{rank}~\mathbf{A} = n。

  • 条件 (o) ~(o)~： rank A=n ~\text{rank}~\mathbf{A} = n~。

  • 推导：根据秩定理 rank A+dim Null A=n ~\text{rank}~\mathbf{A} + \text{dim}~\text{Null}~\mathbf{A} = n~，若秩为 n ~n~，则零空间维度 rank A=0 ~\text{rank}~\mathbf{A} = 0~。

  • 条件 (p) ~(p)~： dim Nul A=0 ~\text{dim}~\text{Nul}~\mathbf{A} = 0~。

  • 推导：零空间的维度为 0 ~0~，说明零空间仅含零向量，即 Nul A={0} ~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~。

  • 条件 (q) ~(q)~： Nul A={0} ~\text{Nul}~\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~。

  • 推导：零空间仅含零向量等价于齐次方程 Ax=0 ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~仅有平凡解，即条件 (d) ~(d)~。

循环闭合：由于原定理已证明 (d) ~(d)~和 (g) ~(g)~均等价于 A ~\mathbf{A}~可逆，因此新增条件 (m)−(q) ~(m)-(q)~也与可逆性等价，证明完成。

2.8 Rn ~\mathbb{R^n}~子空间

3.1 行列式简介

bei an浙ICP备2024102481号