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 Rn ~\mathbb{R^n}~子空间

1. 子空间的定义与基本性质

在线性代数中，子空间是 Rn ~\mathbb{R^n}~（n n~维实数空间）的一个重要概念。为了理解什么是子空间，我们首先来看它的定义：

简单来说，一个集合 H ~H~如果包含零向量，并且对向量加法和标量乘法这两种基本运算保持封闭，那么它就是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个子空间。这三个条件确保了 H ~H~本身具有向量空间的结构，是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个“子集版本”。

例1\mathbf{1}：设 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~是 Rn ~\mathbb{R^n}~中的向量，定义集合 H=Span{v1,v2} ~H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~。证明：H H~是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个子空间。

零向量可以表示为 0=0⋅v1+0⋅v2 ~\mathbf{0} = 0\cdot \mathbf{v}_1 + 0\cdot\mathbf{v}_2~，显然就是 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~的线性组合，因此 0∈H ~\mathbf{0}\in H~。

  • 任取 H ~H~中的两个向量 u ~\mathbf{u}~和 v ~\mathbf{v}~，设其线性组合形式为：
    u=s1v1+s2v2,v=t1v1+t2v2(si, ti∈R)\mathbf{u} = s_1\mathbf{v}_1 + s_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v} = t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2\quad (s_i,~t_i \in \mathbb{R})
  • 计算 u+v ~\mathbf{u}+\mathbf{v}~：
    u+v=(s1+t1)v1+(s2+t2)v2\mathbf{u}+\mathbf{v} = (s_1 + t_1)\mathbf{v}_1 + (s_2 + t_2)\mathbf{v}_2
    这仍是 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~的线性组合，因此 u+v∈H ~\mathbf{u}+\mathbf{v} \in H~。

任取 u=s1v1+s2v2∈H ~\mathbf{u} = s_1\mathbf{v}_1 + s_2\mathbf{v}_2 \in H~和标量 c∈R ~c \in \mathbb{R}~，计算 cu ~c\mathbf{u}~：
cu=c(s1v1+s2v2)=(cs1)v1+(cs2)v2c\mathbf{u} = c(s_1\mathbf{v}_1 + s_2\mathbf{v}_2) = (cs_1)\mathbf{v}_1 + (cs_2)\mathbf{v}_2
这仍是 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~的线性组合，因此cu∈Hc\mathbf{u} \in H。

H=Span{v1,v2} H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~满足子空间的三条性质，因此 H∈Rn~H \in \mathbb{R^n}。

例2\mathbf{2}：设 L ~L~是 Rn ~\mathbb{R^n}~中一条不经过原点的直线。证明：L L~不是 Rn ~\mathbb{R^n}~的子空间。

  • 由题设，直线 L ~L~不经过原点，因此零向量 0∉L ~\mathbf{0} \notin L~。

  • 直接结论：因不满足子空间的第一条性质（包含零向量），L L~已无法成为子空间。

  • 假设 L ~L~的参数方程为 L={p+tv ∣ t∈R} ~L = \{p + t\mathbf{v} ~|~ t\in \mathbb{R} \}~，其中 p≠0 ~p\neq 0~是直线上某一个点，v \mathbf{v}~是方向向量。
  • 任取 u=p+t1v ~\mathbf{u} = p + t_1\mathbf{v}~和 w=p+t2v∈L ~\mathbf{w} = p + t_2\mathbf{v} \in L~，计算 u+w ~\mathbf{u} + \mathbf{w}~：
    u+w=(p+t1v)+(p+t2v)=2p+(t1+t2)v\mathbf{u}+\mathbf{w} = (p + t_1\mathbf{v}) + (p + t_2\mathbf{v}) = 2p + (t_1 + t_2)\mathbf{v}
    由于 p≠0 ~p \neq 0~，2p+(t1+t2)v2p + (t_1 + t_2)\mathbf{v}无法表示为 p+tv ~p + t\mathbf{v}~的形式，因此 u+w∉L ~\mathbf{u} + \mathbf{w} \notin L~。

取u=p+tv∈L\mathbf{u} = p+ t\mathbf{v} \in L和标量 c≠1 ~c\neq 1~，计算 cu ~c\mathbf{u}~：
cu=c(p+tv)=cp+(ct)vc\mathbf{u} = c(p + t\mathbf{v}) = cp + (ct)\mathbf{v}
若 c≠1 ~c\neq 1~，则 cp≠p ~cp \neq p~，因此 cu ~c\mathbf{u}~无法表示 p+t′v ~p + t'\mathbf{v}~的形式，即 cu∉L ~c\mathbf{u} \notin L~。

L L~不满足子空间的三条性质（缺少零向量，且对加法和标量乘法不封闭），故 L∉Rn ~L \notin \mathbb{R}^n~

例3\mathbf{3}：设 v1,v2,⋯ ,vp ~\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_p~是 Rn ~\mathbb{R^n}~中的向量，定义集合 H=Span{v1,v2,⋯ ,vp} ~H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_p\}~。证明：H H~是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个子空间。

零向量可表示为所有系数为零的线性组合
0=0⋅v1+0⋅v2+⋯+0⋅vp0 = 0\cdot \mathbf{v}_1 + 0\cdot \mathbf{v}_2 + \cdots + 0\cdot \mathbf{v}_p
因此 0∈H ~\mathbf{0}\in H~。

  • 任取 H ~H~中的两个向量 u ~\mathbf{u}~和 v ~\mathbf{v}~，设其线性组合形式为：
    u=a1v1+a2v2,v=t1v1+t2v2(si, ti∈R)\mathbf{u} = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v} = t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2\quad (s_i,~t_i \in \mathbb{R})
  • 计算 u+v ~\mathbf{u}+\mathbf{v}~：
    u+v=(s1+t1)v1+(s2+t2)v2\mathbf{u}+\mathbf{v} = (s_1 + t_1)\mathbf{v}_1 + (s_2 + t_2)\mathbf{v}_2
    这仍是 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~的线性组合，因此 u+v∈H ~\mathbf{u}+\mathbf{v} \in H~。

任取 u=s1v1+s2v2∈H ~\mathbf{u} = s_1\mathbf{v}_1 + s_2\mathbf{v}_2 \in H~和标量 c∈R ~c \in \mathbb{R}~，计算 cu ~c\mathbf{u}~：
cu=c(s1v1+s2v2)=(cs1)v1+(cs2)v2c\mathbf{u} = c(s_1\mathbf{v}_1 + s_2\mathbf{v}_2) = (cs_1)\mathbf{v}_1 + (cs_2)\mathbf{v}_2
这仍是 v1 ~\mathbf{v}_1~和 v2 ~\mathbf{v}_2~的线性组合，因此cu∈Hc\mathbf{u} \in H。

H=Span{v1,⋯ ,vp} H = \text{Span}\{\mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_p\}~满足子空间的三条性质，因此 H∈Rn~H \in \mathbb{R^n}。

2. 列空间与零空间

在应用中，Rn \mathbb{R^n}~的子空间常表现为矩阵的列空间与零空间：列空间由矩阵列的线性组合生成，关联方程 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~解的存在性；零空间是齐次方程 Ax=0 ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}~的解集，揭示解的自由度（解的结构）。

例4\mathbf{4}：给定矩阵 A ~\mathbf{A}~和向量 b ~\mathbf{b}~：
 A=[1−3−4−46−2−376], b=[33−4] ~\mathbf{A} = \begin{bmatrix}1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6\end{bmatrix},\quad ~\mathbf{b} = \begin{bmatrix}3 \\ 3\\ -4\end{bmatrix}~
判断：b \mathbf{b}~是否属于矩阵 A ~\mathbf{A}~的列空间(ColA)(\text{Col}\mathbf{A})。

  1. 问题转化：
    向量 b ~\mathbf{b}~属于矩阵 A ~\mathbf{A}~的列空间，等价于矩阵方程 Ax=b ~A\mathbf{x} = \mathbf{b}~有解。

  2. 构造增广矩阵：
    [Ab]=[1−3−43−46−23−376−4]\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ -4 & 6 & -2 & 3 \\ -3 & 7 & 6 & -4 \end{bmatrix}
  3. 行化简增广矩阵：
    [Ab]=[1−3−43−46−23−376−4]∼[1−3−430−6−18150000]\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ -4 & 6 & -2 & 3 \\ -3 & 7 & 6 & -4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ 0 & -6 & -18 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
  4. 结果分析：

    • 最后一行全为零，方程组相容，方程组有解。

    • 结论：方程组 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~有解，因此 b∈ColA ~\mathbf{b} \in \text{Col}\mathbf{A}~。

  1. 零向量属于零空间

    • A0=0\mathbf{A}\mathbf{0} = \mathbf{0}，所以 0∈NullA ~\mathbf{0} \in \text{Null}\mathbf{A}~。

  2. 加法封闭性

    • 若 u,v∈NullA ~\mathbf{u},\mathbf{v} \in \text{Null}\mathbf{A}~，则 Au=0, Av=0 ~\mathbf{A}\mathbf{u} = 0, ~\mathbf{A}\mathbf{v} = 0~。

    • 由线性性质：
      A(u+v)=Au+Av=0+0=0\mathbf{A}(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}
      故 u+v∈NullA ~\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \text{Null}\mathbf{A}~。

  3. 标量乘法封闭性

    • 若 u∈NullA ~\mathbf{u} \in \text{Null}\mathbf{A}~且 c∈R ~c \in \mathbb{R}~，则 A(cu)=c(Au)=c0=0 ~\mathbf{A}(c\mathbf{u}) = c(\mathbf{A}\mathbf{u}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}~，所以 cu∈NullA ~c\mathbf{u} \in \text{Null}\mathbf{A}~。

  4. 结论

    • NullA\text{Null}\mathbf{A}满足子空间的三条性质，因此NullA∈Rn\text{Null} \mathbf{A} \in \mathbb{R}^n。

3. 子空间的基

例5\mathbf{5}：设 A ~\mathbf{A}~是一个可逆的 n×n ~n\times n~矩阵。证明：A \mathbf{A}~的列向量构成 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个基。

  1. 引用可逆矩阵定理

    • 根据可逆矩阵定理，若 A ~\mathbf{A}~是 n×n ~n\times n~可逆矩阵，则其列向量线性无关，且生成整个 Rn ~\mathbb{R^n}~。

  2. 验证基底的两大条件

    • 线性无关性：可逆矩阵的列向量线性无关（由可逆矩阵定理可知）。

    • 生成性：可逆矩阵的列向量张成 Rn ~\mathbb{R^n}~（因任意 b∈Rn ~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~可表示为 Ax=b ~\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}~的解）。

  3. 结论

    • 可逆矩阵的列向量满足基的定义，因此构成 Rn ~\mathbb{R^n}~的基。

例6\mathbf{6}：给定矩阵
A=[−36−11−71−223−12−458−4]\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7\\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1\\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}
求：矩阵 A ~\mathbf{A}~的零空间(NullA)(\text{Null}\mathbf{A})的基。

  1. 行化简增广矩阵 [Ab] ~\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} \end{bmatrix}~

    • 通过初等行变换，将 [Ab] ~\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} \end{bmatrix}~化简为行阶梯型：
      [−36−11−701−223−102−458−40]∼[1−20−1300012−20000000]\left[\begin{array}{ccccc|c} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 & 0 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
    • 主变量：x1, x3x_1,~x_3；自由变量：x2, x4, x5x_2,~x_4,~x_5。

  2. 参数化自由变量

    • 设自由变量为参数：
      x2=s,x4=t,x5=u(s,t,u∈R)x_2 = s,\quad x_4 = t,\quad x_5 = u\quad (s,t,u \in \mathbb{R})
    • 根据行化简后的方程，解出主变量：
      x1=2s+t−3u,x3=−2t+2ux_1 = 2s + t - 3u,\quad x_3 = -2t + 2u

  3. 构造解向量的参数形式

    • 解向量表示为自由参数的线性组合：
      x=s[21000]+t[10−210]+u[−30201]\mathbf{x} = s\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + u\begin{bmatrix}-3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}
    • 基向量：
      u=[21000],v=[10−210],w=[−30201]\mathbf{u} = \begin{bmatrix}2 \\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -2 \\ 1\\ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix}-3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}
例7\mathbf{7}：给定矩阵
B=[10−350012−100000100000]\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
求：矩阵 B ~\mathbf{B}~的列空间(ColB)(\text{Col}\mathbf{B})的基。

  1. 识别主元列

    • 观察矩阵 B ~\mathbf{B}~，其其行简化阶梯形式显示主元位于第 1,2,5 ~1,2,5~列，对应向量为 b1, b2, b5 ~\mathbf{b}_1,~\mathbf{b}_2,~\mathbf{b}_5~。
    • 主元列：
      b1=[1000],b2=[0100],b5=[0010]\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_5 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}

  2. 分析非主元列的线性依赖关系

    • 第 3 ~3~列：b3=−3b1+2b2\mathbf{b}_3 = -3\mathbf{b}_1 + 2\mathbf{b}_2。

    • 第 4 ~4~列：b4=5b1−b2\mathbf{b}_4 = 5\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_2。

    • 这说明 b3 ~\mathbf{b}_3~和 b4 ~\mathbf{b}_4~可由主元列线性组合生成。

  3. 证明主元列生成列空间

    • 任取 v∈ColB ~\mathbf{v} \in \text{Col}\mathbf{B}~，可表示为：
      v=c1b1+c2b2+c3b3+c4b4+c5b5\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + c_3\mathbf{b}_3 + c_4\mathbf{b}_4 + c_5\mathbf{b}_5
    • 将 b3 ~\mathbf{b}_3~和 b4 ~\mathbf{b}_4~替换为主元列的线性组合：
      v=c1b1+c2b2+c3(−3b1+2b2)+c4(5b1−b2)+c5b5=(c1−3c3+5c4)b1+(c2+2c3−c4)b2+c5b5\begin{align*}\mathbf{v} &= c_1 \mathbf{b}_1 + c_2 \mathbf{b}_2 + c_3 (-3 \mathbf{b}_1 + 2 \mathbf{b}_2) + c_4 (5 \mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_2) + c_5 \mathbf{b}_5\\[2ex] &= (c_1 - 3 c_3 + 5 c_4) \mathbf{b}_1 + (c_2 + 2 c_3 - c_4) \mathbf{b}_2 + c_5 \mathbf{b}_5\end{align*}
      合并同类项后，v \mathbf{v}~最终仅由 b1, b2, b5 ~\mathbf{b}_1,~\mathbf{b}_2,~\mathbf{b}_5~的线性组合表示。

  4. 结论

    • 主元列 {b1,b2,b5} ~\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5\}~是列空间 ColB~\text{Col}\mathbf{B}的基。

例8\mathbf{8}： 给定矩阵
A=[1332−9−2−22−822307134−111−8]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 & -9 \\ -2 & -2 & 2 & -8 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 7 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 11 & -8 \end{bmatrix}
已知该矩阵行等价于例 7 ~7~中的矩阵 B ~\mathbf{B}~。求：矩阵 A ~\mathbf{A}~的列空间(ColA)(\text{Col}\mathbf{A})的基。

  1. 识别主元列

    • 由于 A ~\mathbf{A}~行等价与例 7 ~7~中的矩阵 B ~\mathbf{B}~，而 B ~\mathbf{B}~的主元列为第 1,2,5 ~1,2,5~列，因此 A ~\mathbf{A}~的主元列也对应第 1,2,5 ~1,2,5~列，即 a1,a2,a5 ~\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5~。

  2. 验证线性依赖关系

    • 在例 7 ~7~中，非主元列 b3 ~\mathbf{b}_3~和 b4 ~\mathbf{b}_4~满足：
      b3=−3b1+2b2,b2=5b1−b2\mathbf{b}_3 = -3\mathbf{b}_1 + 2\mathbf{b}_2,\quad \mathbf{b}_2 = 5\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_2
    • 由于行变换不改变列之间的线性依赖关系，对应原矩阵 A ~\mathbf{A}~的非主元列同样满足：
      a3=−3a1+2a2,a4=5a1−a2\mathbf{a}_3 = -3\mathbf{a}_1 + 2\mathbf{a}_2,\quad \mathbf{a}_4 = 5\mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_2

  3. 验证主元列的线性无关性

    • 假设存在标量 c1,c2,c5 ~c_1,c_2,c_5~使得：
      c1a1+c2a2+c5a5=0c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + c_5\mathbf{a}_5 = \mathbf{0}
    • 由于行变换保持线性依赖关系，对应 B ~\mathbf{B}~的列也满足：
      c1b1+c2b2+c5b5=0c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + c_5\mathbf{b}_5 = \mathbf{0}
    • 由于 b1,b2,b5 ~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~是单位矩阵的列（线性无关），故 c1=c2=c5=0 ~c_1 = c_2 = c_5 = 0~，因此 {a1,a2,a5} ~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~线性无关。

  4. 结论

    • 主元列 {a1,a2,a5} ~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~是 ColA ~\text{Col}\mathbf{A}~的基。

例 8 ~8~的推导过程可以推广到一般情况，有如下定理：

2.7 在计算机图形学中的应用

2.9 维数与秩

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