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$~\mathbb{R^n}~$ 子空间

$~\mathbb{R^n}~$ 子空间在线性代数中用于理解向量空间的结构，帮助解决线性方程组、矩阵变换问题，并通过列空间和零空间分析矩阵的性质与解空间。子空间和基的概念是许多高级应用的基础。

1. 子空间的定义与基本性质

在线性代数中，子空间是 $~\mathbb{R^n}~$ （ $n~$ 维实数空间）的一个重要概念。为了理解什么是子空间，我们首先来看它的定义：

定义

子空间的定义

子空间是 $~\mathbb{R^n}~$ 中的一个子集 $~H~$ ，它必须满足一下三个条件：

包含零向量： $~\mathbb{R^n}~$ 的零向量 $~\mathbf{0}~$ 必须属于 $~H~$ 。
加法封闭：对于 $~H~$ 中的任意两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，它们的和 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ 必须也在 $~H~$ 中。
标量乘法封闭性：对于 $~H~$ 中的任意向量 $~\mathbf{u}~$ 和任意实数标量 $~c~$ ，标量乘积 $~c\mathbf{u}~$ 必须也在 $~H~$ 中。

简单来说，一个集合 $~H~$ 如果包含零向量，并且对向量加法和标量乘法这两种基本运算保持封闭，那么它就是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个子空间。这三个条件确保了 $~H~$ 本身具有向量空间的结构，是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个“子集版本”。

例 $1$ ：设 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 中的向量，定义集合 $~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~$ 。证明： $H~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个子空间。

零向量可以表示为 $~\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}_1+0\cdot\mathbf{v}_2~$ ，显然就是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{0}\in H~$ 。

任取 $~H~$ 中的两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，设其线性组合形式为：
$\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2\quad(s_i,t_i\in\mathbb{R})$
计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$
这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H~$ 。

任取 $~\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2\in H~$ 和标量 $~c\in\mathbb{R}~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(cs_1)\mathbf{v}_1+(cs_2)\mathbf{v}_2

这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~c\mathbf{u}\in H~$ 。

$~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~H\in\mathbb{R^n}~$ 。

例 $2$ ：设 $~L~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 中一条不经过原点的直线。证明： $L~$ 不是 $~\mathbb{R^n}~$ 的子空间。

由题设，直线 $~L~$ 不经过原点，因此零向量 $~\mathbf{0}\notin L~$ 。
直接结论：因不满足子空间的第一条性质（包含零向量）， $L~$ 已无法成为子空间。

假设 $~L~$ 的参数方程为 $~L=\{p+t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}~$ ，其中 $~p\neq0~$ 是直线上某一个点， $~\mathbf{v}~$ 是方向向量。
任取 $~\mathbf{u}=p+t_1\mathbf{v}~$ 和 $~\mathbf{w}=p+t_2\mathbf{v}\in L~$ ，计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{w}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(p+t_1\mathbf{v})+(p+t_2\mathbf{v})=2p+(t_1+t_2)\mathbf{v}$
由于 $~p\neq0~$ ， $~2p+(t_1+t_2)\mathbf{v}~$ 无法表示为 $~p+t\mathbf{v}~$ 的形式，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{w}\notin L~$ 。

取 $~\mathbf{u}=p+t\mathbf{v}\in L~$ 和标量 $~c\neq1~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(p+t\mathbf{v})=cp+(ct)\mathbf{v}

若 $~c\neq1~$ ，则 $~cp\neq p~$ ，因此 $~c\mathbf{u}~$ 无法表示为 $~p+t'\mathbf{v}~$ 的形式，即 $~c\mathbf{u}\notin L~$ 。

$L~$ 不满足子空间的三条性质（缺少零向量，且对加法和标量乘法不封闭），故 $~L\notin\mathbb{R}^n~$ 。

例 $3$ ：设 $~\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_p~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 中的向量，定义集合 $~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_p\}~$ 。证明： $H~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个子空间。

零向量可表示为所有系数为零的线性组合：

\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}_1+0\cdot\mathbf{v}_2+\cdots+0\cdot\mathbf{v}_p

因此 $~\mathbf{0}\in H~$ 。

任取 $~H~$ 中的两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，设其线性组合形式为：
$\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2\quad(s_i,t_i\in\mathbb{R})$
计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$
这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H~$ 。

任取 $~\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2\in H~$ 和标量 $~c\in\mathbb{R}~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(cs_1)\mathbf{v}_1+(cs_2)\mathbf{v}_2

这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~c\mathbf{u}\in H~$ 。

$~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_p\}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~H\in\mathbb{R^n}~$ 。

2. 列空间与零空间

在应用中， $~\mathbb{R^n}~$ 的子空间常表现为矩阵的列空间与零空间：列空间由矩阵列的线性组合生成，关联方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 解的存在性；零空间是齐次方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ 的解集，揭示解的自由度（解的结构）。

定义

列空间

列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的所有列向量的线性组合构成的集合。若

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n\end{bmatrix}

则

\text{Col}\mathbf{A}=\text{Span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\}

列空间是 $~\mathbb{R^m}~$ 的子空间（假设 $~\mathbf{A}~$ 是 $~m\times n~$ 矩阵）。

例 $4$ ：给定矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和向量 $~\mathbf{b}~$ ：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&-3&-4\\-4&6&-2\\-3&7&6\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\3\\-4\end{bmatrix}

判断： $~\mathbf{b}~$ 是否属于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 。

问题转化：向量 $~\mathbf{b}~$ 属于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间，等价于矩阵方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 有解。
构造增广矩阵：
$\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ -4&6&-2&3\\ -3&7&6&-4 \end{bmatrix}$
行化简增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ -4&6&-2&3\\ -3&7&6&-4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ 0&-6&-18&15\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$
结果分析：
- 最后一行全为零，方程组相容，方程组有解。
- 结论：方程组 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 有解，因此 $~\mathbf{b}\in\text{Col}\mathbf{A}~$ 。

定义

零空间

零空间 $~(\text{Nul}\mathbf{A})~$ 是所有满足其次方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ 的解向量组成的集合。零空间是 $~\mathbb{R^n}~$ 的子空间（假设 $~\mathbf{A}~$ 是 $~m\times n~$ 矩阵）。

定理 12

矩阵的零空间是

~\mathbb{R}^n~

子空间

设 $~\mathbf{A}~$ 是一个 $~m\times n~$ 矩阵，则 $~\mathbf{A}~$ 的零空间是 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个子空间。等价地，齐次线性方程组 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$ 的所有解集合是 $~\mathbb{R^n}~$ 的子空间。

零向量属于零空间
- $~\mathbf{A}\mathbf{0}=\mathbf{0}~$ ，所以 $~\mathbf{0}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
加法封闭性
- 若 $~\mathbf{u},\mathbf{v}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ ，则 $~\mathbf{A}\mathbf{u}=0,~\mathbf{A}\mathbf{v}=0~$ 。
- 由线性性质：
  $\mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$
  故 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
标量乘法封闭性
- 若 $~\mathbf{u}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 且 $~c\in\mathbb{R}~$ ，则 $~\mathbf{A}(c\mathbf{u})=c(\mathbf{A}\mathbf{u})=c\mathbf{0}=\mathbf{0}~$ ，所以 $~c\mathbf{u}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
结论
- $~\text{Null}\mathbf{A}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~\text{Null}\mathbf{A}\in\mathbb{R}^n~$ 。

3. 子空间的基

定义

子空间的基

子空间 $~H~$ 的基 $~(\text{basis})~$ 是 $~H~$ 中的一个线性无关集，且该集能够生成 $~H~$ 。

例 $5$ ：设 $~\mathbf{A}~$ 是一个可逆的 $~n\times n~$ 矩阵。证明： $~\mathbf{A}~$ 的列向量构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个基。

引用可逆矩阵定理
- 根据可逆矩阵定理，若 $~\mathbf{A}~$ 是 $~n\times n~$ 可逆矩阵，则其列向量线性无关，且生成整个 $~\mathbb{R^n}~$ 。
验证基底的两大条件
- 线性无关性：可逆矩阵的列向量线性无关（由可逆矩阵定理可知）。
- 生成性：可逆矩阵的列向量张成 $~\mathbb{R^n}~$ （因任意 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 可表示为 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 的解）。
结论
- 可逆矩阵的列向量满足基的定义，因此构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的基。

例 $6$ ：给定矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -3&6&-1&1&-7\\ 1&-2&2&3&-1\\ 2&-4&5&8&-4 \end{bmatrix}

求：矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的零空间 $~(\text{Null}\mathbf{A})~$ 的基。

行化简增广矩阵 $~\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}~$
- 通过初等行变换，将 $~\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}~$ 化简为行阶梯型：
  $\left[\begin{array}{ccccc|c} -3&6&-1&1&-7&0\\ 1&-2&2&3&-1&0\\ 2&-4&5&8&-4&0 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccccc|c} 1&-2&0&-1&3&0\\ 0&0&1&2&-2&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}\right]$
- 主变量： $~x_1,x_3~$ ；自由变量： $~x_2,x_4,x_5~$ 。
参数化自由变量
- 设自由变量为参数：
  $x_2=s,\quad x_4=t,\quad x_5=u\quad(s,t,u\in\mathbb{R})$
- 根据行化简后的方程，解出主变量：
  $x_1=2s+t-3u,\quad x_3=-2t+2u$
构造解向量的参数形式
- 解向量表示为自由参数的线性组合：
  $\mathbf{x}=s\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$
- 基向量：
  $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{w}=\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$

例 $7$ ：给定矩阵

\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1&0&-3&5&0\\ 0&1&2&-1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}

求：矩阵 $~\mathbf{B}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{B})~$ 的基。

识别主元列
- 观察矩阵 $~\mathbf{B}~$ ，其其行简化阶梯形式显示主元位于第 $~1,2,5~$ 列，对应向量为 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 。
- 主元列：
  $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_5=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}$
分析非主元列的线性依赖关系
- 第 $~3~$ 列： $~\mathbf{b}_3=-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2~$ 。
- 第 $~4~$ 列： $~\mathbf{b}_4=5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2~$ 。
- 这说明 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 可由主元列线性组合生成。
证明主元列生成列空间
- 任取 $~\mathbf{v}\in\text{Col}\mathbf{B}~$ ，可表示为：
  $\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3\mathbf{b}_3+c_4\mathbf{b}_4+c_5\mathbf{b}_5$
- 将 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 替换为主元列的线性组合：
  $\begin{aligned} \mathbf{v}&=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3(-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2)+c_4(5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2)+c_5\mathbf{b}_5\\[2ex] &=(c_1-3c_3+5c_4)\mathbf{b}_1+(c_2+2c_3-c_4)\mathbf{b}_2+c_5\mathbf{b}_5 \end{aligned}$
  合并同类项后， $~\mathbf{v}~$ 最终仅由 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 的线性组合表示。
结论
- 主元列 $~\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5\}~$ 是列空间 $~\text{Col}\mathbf{B}~$ 的基。

例 $8$ ：给定矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1&3&3&2&-9\\ -2&-2&2&-8&2\\ 2&3&0&7&1\\ 3&4&-1&11&-8 \end{bmatrix}

已知该矩阵行等价于例 $~7~$ 中的矩阵 $~\mathbf{B}~$ 。求：矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 的基。

识别主元列
- 由于 $~\mathbf{A}~$ 行等价与例 $~7~$ 中的矩阵 $~\mathbf{B}~$ ，而 $~\mathbf{B}~$ 的主元列为第 $~1,2,5~$ 列，因此 $~\mathbf{A}~$ 的主元列也对应第 $~1,2,5~$ 列，即 $~\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5~$ 。
验证线性依赖关系
- 在例 $~7~$ 中，非主元列 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 满足：
  $\mathbf{b}_3=-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2,\quad \mathbf{b}_2=5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2$
- 由于行变换不改变列之间的线性依赖关系，对应原矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的非主元列同样满足：
  $\mathbf{a}_3=-3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2,\quad \mathbf{a}_4=5\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2$
验证主元列的线性无关性
- 假设存在标量 $~c_1,c_2,c_5~$ 使得：
  $c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+c_5\mathbf{a}_5=\mathbf{0}$
- 由于行变换保持线性依赖关系，对应 $~\mathbf{B}~$ 的列也满足：
  $c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_5\mathbf{b}_5=\mathbf{0}$
- 由于 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 是单位矩阵的列（线性无关），故 $~c_1=c_2=c_5=0~$ ，因此 $~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~$ 线性无关。
结论
- 主元列 $~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~$ 是 $~\text{Col}\mathbf{A}~$ 的基。

例 $~8~$ 的推导过程可以推广到一般情况，有如下定理：

定理 13

矩阵主元列构成列空间的基

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的主元列构成 $~\mathbf{A}~$ 的列空间的基。

2.7 在计算机图形学中的应用

2.9 维数与秩

浙ICP备2024102481号

$~\mathbb{R^n}~$ 子空间

1. 子空间的定义与基本性质

在线性代数中，子空间是 $~\mathbb{R^n}~$ （ $n~$ 维实数空间）的一个重要概念。为了理解什么是子空间，我们首先来看它的定义：

定义

子空间的定义

子空间是 $~\mathbb{R^n}~$ 中的一个子集 $~H~$ ，它必须满足一下三个条件：

包含零向量： $~\mathbb{R^n}~$ 的零向量 $~\mathbf{0}~$ 必须属于 $~H~$ 。
加法封闭：对于 $~H~$ 中的任意两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，它们的和 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ 必须也在 $~H~$ 中。
标量乘法封闭性：对于 $~H~$ 中的任意向量 $~\mathbf{u}~$ 和任意实数标量 $~c~$ ，标量乘积 $~c\mathbf{u}~$ 必须也在 $~H~$ 中。

零向量可以表示为 $~\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}_1+0\cdot\mathbf{v}_2~$ ，显然就是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{0}\in H~$ 。

任取 $~H~$ 中的两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，设其线性组合形式为：
$\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2\quad(s_i,t_i\in\mathbb{R})$
计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$
这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H~$ 。

任取 $~\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2\in H~$ 和标量 $~c\in\mathbb{R}~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(cs_1)\mathbf{v}_1+(cs_2)\mathbf{v}_2

这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~c\mathbf{u}\in H~$ 。

$~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~H\in\mathbb{R^n}~$ 。

例 $2$ ：设 $~L~$ 是 $~\mathbb{R^n}~$ 中一条不经过原点的直线。证明： $L~$ 不是 $~\mathbb{R^n}~$ 的子空间。

由题设，直线 $~L~$ 不经过原点，因此零向量 $~\mathbf{0}\notin L~$ 。
直接结论：因不满足子空间的第一条性质（包含零向量）， $L~$ 已无法成为子空间。

假设 $~L~$ 的参数方程为 $~L=\{p+t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}~$ ，其中 $~p\neq0~$ 是直线上某一个点， $~\mathbf{v}~$ 是方向向量。
任取 $~\mathbf{u}=p+t_1\mathbf{v}~$ 和 $~\mathbf{w}=p+t_2\mathbf{v}\in L~$ ，计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{w}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(p+t_1\mathbf{v})+(p+t_2\mathbf{v})=2p+(t_1+t_2)\mathbf{v}$
由于 $~p\neq0~$ ， $~2p+(t_1+t_2)\mathbf{v}~$ 无法表示为 $~p+t\mathbf{v}~$ 的形式，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{w}\notin L~$ 。

取 $~\mathbf{u}=p+t\mathbf{v}\in L~$ 和标量 $~c\neq1~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(p+t\mathbf{v})=cp+(ct)\mathbf{v}

若 $~c\neq1~$ ，则 $~cp\neq p~$ ，因此 $~c\mathbf{u}~$ 无法表示为 $~p+t'\mathbf{v}~$ 的形式，即 $~c\mathbf{u}\notin L~$ 。

$L~$ 不满足子空间的三条性质（缺少零向量，且对加法和标量乘法不封闭），故 $~L\notin\mathbb{R}^n~$ 。

零向量可表示为所有系数为零的线性组合：

\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}_1+0\cdot\mathbf{v}_2+\cdots+0\cdot\mathbf{v}_p

因此 $~\mathbf{0}\in H~$ 。

任取 $~H~$ 中的两个向量 $~\mathbf{u}~$ 和 $~\mathbf{v}~$ ，设其线性组合形式为：
$\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2\quad(s_i,t_i\in\mathbb{R})$
计算 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}~$ ：
$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$
这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H~$ 。

任取 $~\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2\in H~$ 和标量 $~c\in\mathbb{R}~$ ，计算 $~c\mathbf{u}~$ ：

c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(cs_1)\mathbf{v}_1+(cs_2)\mathbf{v}_2

这仍是 $~\mathbf{v}_1~$ 和 $~\mathbf{v}_2~$ 的线性组合，因此 $~c\mathbf{u}\in H~$ 。

$~H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_p\}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~H\in\mathbb{R^n}~$ 。

2. 列空间与零空间

定义

列空间

列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 是矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的所有列向量的线性组合构成的集合。若

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n\end{bmatrix}

则

\text{Col}\mathbf{A}=\text{Span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\}

列空间是 $~\mathbb{R^m}~$ 的子空间（假设 $~\mathbf{A}~$ 是 $~m\times n~$ 矩阵）。

例 $4$ ：给定矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和向量 $~\mathbf{b}~$ ：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&-3&-4\\-4&6&-2\\-3&7&6\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\3\\-4\end{bmatrix}

判断： $~\mathbf{b}~$ 是否属于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 。

问题转化：向量 $~\mathbf{b}~$ 属于矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间，等价于矩阵方程 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 有解。
构造增广矩阵：
$\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ -4&6&-2&3\\ -3&7&6&-4 \end{bmatrix}$
行化简增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ -4&6&-2&3\\ -3&7&6&-4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-3&-4&3\\ 0&-6&-18&15\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$
结果分析：
- 最后一行全为零，方程组相容，方程组有解。
- 结论：方程组 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 有解，因此 $~\mathbf{b}\in\text{Col}\mathbf{A}~$ 。

定义

零空间

定理 12

矩阵的零空间是

~\mathbb{R}^n~

子空间

零向量属于零空间
- $~\mathbf{A}\mathbf{0}=\mathbf{0}~$ ，所以 $~\mathbf{0}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
加法封闭性
- 若 $~\mathbf{u},\mathbf{v}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ ，则 $~\mathbf{A}\mathbf{u}=0,~\mathbf{A}\mathbf{v}=0~$ 。
- 由线性性质：
  $\mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$
  故 $~\mathbf{u}+\mathbf{v}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
标量乘法封闭性
- 若 $~\mathbf{u}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 且 $~c\in\mathbb{R}~$ ，则 $~\mathbf{A}(c\mathbf{u})=c(\mathbf{A}\mathbf{u})=c\mathbf{0}=\mathbf{0}~$ ，所以 $~c\mathbf{u}\in\text{Null}\mathbf{A}~$ 。
结论
- $~\text{Null}\mathbf{A}~$ 满足子空间的三条性质，因此 $~\text{Null}\mathbf{A}\in\mathbb{R}^n~$ 。

3. 子空间的基

定义

子空间的基

子空间 $~H~$ 的基 $~(\text{basis})~$ 是 $~H~$ 中的一个线性无关集，且该集能够生成 $~H~$ 。

例 $5$ ：设 $~\mathbf{A}~$ 是一个可逆的 $~n\times n~$ 矩阵。证明： $~\mathbf{A}~$ 的列向量构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的一个基。

引用可逆矩阵定理
- 根据可逆矩阵定理，若 $~\mathbf{A}~$ 是 $~n\times n~$ 可逆矩阵，则其列向量线性无关，且生成整个 $~\mathbb{R^n}~$ 。
验证基底的两大条件
- 线性无关性：可逆矩阵的列向量线性无关（由可逆矩阵定理可知）。
- 生成性：可逆矩阵的列向量张成 $~\mathbb{R^n}~$ （因任意 $~\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n~$ 可表示为 $~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$ 的解）。
结论
- 可逆矩阵的列向量满足基的定义，因此构成 $~\mathbb{R^n}~$ 的基。

例 $6$ ：给定矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -3&6&-1&1&-7\\ 1&-2&2&3&-1\\ 2&-4&5&8&-4 \end{bmatrix}

求：矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的零空间 $~(\text{Null}\mathbf{A})~$ 的基。

行化简增广矩阵 $~\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}~$
- 通过初等行变换，将 $~\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{b}\end{bmatrix}~$ 化简为行阶梯型：
  $\left[\begin{array}{ccccc|c} -3&6&-1&1&-7&0\\ 1&-2&2&3&-1&0\\ 2&-4&5&8&-4&0 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccccc|c} 1&-2&0&-1&3&0\\ 0&0&1&2&-2&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}\right]$
- 主变量： $~x_1,x_3~$ ；自由变量： $~x_2,x_4,x_5~$ 。
参数化自由变量
- 设自由变量为参数：
  $x_2=s,\quad x_4=t,\quad x_5=u\quad(s,t,u\in\mathbb{R})$
- 根据行化简后的方程，解出主变量：
  $x_1=2s+t-3u,\quad x_3=-2t+2u$
构造解向量的参数形式
- 解向量表示为自由参数的线性组合：
  $\mathbf{x}=s\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$
- 基向量：
  $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{w}=\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$

例 $7$ ：给定矩阵

\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1&0&-3&5&0\\ 0&1&2&-1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}

求：矩阵 $~\mathbf{B}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{B})~$ 的基。

识别主元列
- 观察矩阵 $~\mathbf{B}~$ ，其其行简化阶梯形式显示主元位于第 $~1,2,5~$ 列，对应向量为 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 。
- 主元列：
  $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_5=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}$
分析非主元列的线性依赖关系
- 第 $~3~$ 列： $~\mathbf{b}_3=-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2~$ 。
- 第 $~4~$ 列： $~\mathbf{b}_4=5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2~$ 。
- 这说明 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 可由主元列线性组合生成。
证明主元列生成列空间
- 任取 $~\mathbf{v}\in\text{Col}\mathbf{B}~$ ，可表示为：
  $\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3\mathbf{b}_3+c_4\mathbf{b}_4+c_5\mathbf{b}_5$
- 将 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 替换为主元列的线性组合：
  $\begin{aligned} \mathbf{v}&=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3(-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2)+c_4(5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2)+c_5\mathbf{b}_5\\[2ex] &=(c_1-3c_3+5c_4)\mathbf{b}_1+(c_2+2c_3-c_4)\mathbf{b}_2+c_5\mathbf{b}_5 \end{aligned}$
  合并同类项后， $~\mathbf{v}~$ 最终仅由 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 的线性组合表示。
结论
- 主元列 $~\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5\}~$ 是列空间 $~\text{Col}\mathbf{B}~$ 的基。

例 $8$ ：给定矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1&3&3&2&-9\\ -2&-2&2&-8&2\\ 2&3&0&7&1\\ 3&4&-1&11&-8 \end{bmatrix}

已知该矩阵行等价于例 $~7~$ 中的矩阵 $~\mathbf{B}~$ 。求：矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的列空间 $~(\text{Col}\mathbf{A})~$ 的基。

识别主元列
- 由于 $~\mathbf{A}~$ 行等价与例 $~7~$ 中的矩阵 $~\mathbf{B}~$ ，而 $~\mathbf{B}~$ 的主元列为第 $~1,2,5~$ 列，因此 $~\mathbf{A}~$ 的主元列也对应第 $~1,2,5~$ 列，即 $~\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5~$ 。
验证线性依赖关系
- 在例 $~7~$ 中，非主元列 $~\mathbf{b}_3~$ 和 $~\mathbf{b}_4~$ 满足：
  $\mathbf{b}_3=-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2,\quad \mathbf{b}_2=5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2$
- 由于行变换不改变列之间的线性依赖关系，对应原矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的非主元列同样满足：
  $\mathbf{a}_3=-3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2,\quad \mathbf{a}_4=5\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2$
验证主元列的线性无关性
- 假设存在标量 $~c_1,c_2,c_5~$ 使得：
  $c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+c_5\mathbf{a}_5=\mathbf{0}$
- 由于行变换保持线性依赖关系，对应 $~\mathbf{B}~$ 的列也满足：
  $c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_5\mathbf{b}_5=\mathbf{0}$
- 由于 $~\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5~$ 是单位矩阵的列（线性无关），故 $~c_1=c_2=c_5=0~$ ，因此 $~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~$ 线性无关。
结论
- 主元列 $~\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5\}~$ 是 $~\text{Col}\mathbf{A}~$ 的基。

例 $~8~$ 的推导过程可以推广到一般情况，有如下定理：

定理 13

矩阵主元列构成列空间的基

矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的主元列构成 $~\mathbf{A}~$ 的列空间的基。

2.7 在计算机图形学中的应用

2.9 维数与秩

Rn ~\mathbb{R^n}~ Rn 子空间

1. 子空间的定义与基本性质

1验证零向量属于 H ~H~ H

2验证加法封闭性

3验证标量乘法封闭性

4结论

1验证零向量不属于 L ~L~ L

2验证加法封闭性不成立

3验证标量乘法封闭性不成立

4结论

1验证零向量属于 H ~H~ H

2验证加法封闭性

3验证标量乘法封闭性

4结论

2. 列空间与零空间

解例 4 ~4~ 4

证定理 12 ~12~ 12

3. 子空间的基

证例 5 ~5~ 5

解例 6 ~6~ 6

解例 7 ~7~ 7

解例 8 ~8~ 8

Rn ~\mathbb{R^n}~ Rn 子空间

1. 子空间的定义与基本性质

1验证零向量属于 H ~H~ H

2验证加法封闭性

3验证标量乘法封闭性

4结论

1验证零向量不属于 L ~L~ L

2验证加法封闭性不成立

3验证标量乘法封闭性不成立

4结论

1验证零向量属于 H ~H~ H

2验证加法封闭性

3验证标量乘法封闭性

4结论

2. 列空间与零空间

解例 4 ~4~ 4

证定理 12 ~12~ 12

3. 子空间的基

证例 5 ~5~ 5

解例 6 ~6~ 6

解例 7 ~7~ 7

解例 8 ~8~ 8

$~\mathbb{R^n}~$ 子空间

$~\mathbb{R^n}~$ 子空间