加载中...

特征向量与线性变换

这一节将特征值和特征向量的概念从矩阵扩展到更广泛的线性变换，讨论了特征向量在几何上方向保持不变的性质，并探讨如何在特征向量基下将线性变换表示为对角矩阵。此外，通过实例（如离散信号序列的特征值分析），展示了这些概念在信号处理、多项式空间等实际应用中的重要性。

1. 特征值和特征向量的概念推广

这一节我们探讨特征值和特征向量在更广泛的线性变换（不仅仅限于矩阵）中的应用。首先，我们从定义上对特征值和特征向量的概念进行扩展：

定义

特征值和特征向量

令 $~V~$ 为一个向量空间。线性变换 $~T: V \rightarrow V ~$ 的 特征向量 是 $~V~$ 中的非零向量 $~\mathbf{x}~$ ，使得 $~T(\mathbf{x})=\lambda\mathbf{x}~$ ，其中 $~\lambda~$ 是某个标量。若存在 $~T(\mathbf{x})=\lambda\mathbf{x}~$ 的非平凡解 $~\mathbf{x}~$ ，则 $~\lambda~$ 称为 $~T~$ 的 特征值 。这样的 $~\mathbf{x}~$ 被称为对应于 $~\lambda~$ 的特征向量。

将特征值和特征向量的概念推广到一般的线性变换后，我们不仅可以在任何向量空间（包括函数空间、信号空间和多项式空间等）中应用这一概念，还能更深入地研究变换的核心几何特性，即：特征向量的方向不变性和特征值反应变化后的缩放程度。下面我们来讨论一个在离散信号空间中的问题，通过研究 余弦信号 在特定线性变换下的特征值和特征向量，揭示信号的频率特性和变换的核心行为。给定信号：

\{s_k\} = \left\{\cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right)\right\}

定义变换 $~D~$ 为左移 $~2~$ 位：

D(\{s_k\}) = \{s_{k+2}\}

有如下结论：

此时信号为：

s_k = \cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)

变换 $~D~$ 定义为 $s_k = s_{k+2}$ ，则：

s_{k+2} = \cos\left(\frac{(k+2)\pi}{4}\right)

利用三角函数公式 $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ ：

\begin{align*}s_{k+2} &= \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\[3ex] &=0 \cdot \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) - 1 \cdot \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\\[3ex] &= -\sin\left(\frac{k\pi}{4}\right) \end{align*}

结论：当 $~f=1~$ 时，信号 $~s_k~$ 经变换 $~D~$ 后，不能表示为原信号的数值倍数 $~\lambda s_k~$ ，因此 $~s_k~$ 不是变换 $~D~$ 的特征向量 。

此时信号为：

s_k = \cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)

变换 $~D~$ 定义为 $s_k = s_{k+2}$ ，则：

\begin{align*}s_{k+2} &= \cos\left(\frac{2(k+2)\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{2k\pi}{4} + \pi\right)\\[3ex] &=-\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) \end{align*}

结论：当 $~f=2~$ 时，信号 $s_k = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)$ 满足变换 $~D~$ 的定义：

D(s_k)=\lambda s_k

其中 $~\lambda=-1~$ 。因此， $~s_k~$ 是变换 $~D~$ 的特征向量，对应的特征值为 $~-1~$ 。

下面的动画过程演示了这两种变换：

更一般地，当 $~f~$ 为偶数时，对应的信号 $~s_k~$ 都是变换 $~D~$ 的特征向量。即，当 $~f=2n~$ { $(n \in \mathbb{Z})$ } 时：

s_{k+2}=(-1)^ns_k

特征值为 $~(-1)^n~$ 。

2. 线性变换的矩阵

在坐标系一节中我们介绍过：任何向量空间中的向量都可以通过选定一组基一一映射到 $~\mathbb{R^n}~$ 空间中的坐标向量，从而我们可以将线性变换 $~T~$ 表示为一个矩阵。具体来说，假设 $~V~$ 是一个 $~n-$ 维向量空间，选取基 $\mathbb{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n\}$ 。任意向量 $~\mathbf{x}\in V~$ 可以表示为基向量的线性组合：

\mathbf{x} = r_1 \mathbf{b}_1 + r_2 \mathbf{b}_2 + \cdots + r_n \mathbf{b}_n

在基 $~\mathcal{B}~$ 下， $~\mathbf{x}~$ 的坐标向量为：

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix}

线性变换 $~T~$ 的作用是将向量 $~\mathbf{x}~$ 映射到 $~T(\mathbf{x})~$ ，即：

T(\mathbf{x}) = T(r_1 \mathbf{b}_1 + \cdots + r_n \mathbf{b}_n)= r_1 T(\mathbf{b}_1) + \cdots + r_n T(\mathbf{b}_n)\tag{1}

由于从 $~V~$ 到 $~\mathbb{R^n}~$ 的坐标映射是线性的，可以写成：

[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B} = r_1 [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} + \cdots + r_n [T(\mathbf{b}_n)]_\mathcal{B}\tag{2}

我们可以用矩阵表示这个线性变换。定义矩阵 $~\mathbf{M}~$ ：

\colorbox{#F0F8FF}{$M = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathbb{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathbb{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathbb{B} \end{bmatrix}\tag{3}$}

其中，矩阵的每一列对应基向量经过变换后的坐标向量。于是，线性变换 $~T~$ 可以表示为：

\colorbox{#F0F8FF}{$[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B} = \mathbf{M}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}\tag{4}$}

这表明，在基 $~\mathcal{B}~$ 下，线性变换 $~T~$ 的作用等价于用矩阵 $~\mathbf{M}~$ 左乘坐标向量 $~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~$ 。矩阵 $~\mathbf{M}~$ 被称为线性变换 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示，记为 $~[T]_\mathcal{B}~$ 。这种表示方法不仅让我们能够通过矩阵运算研究线性变换的性质，还能更清晰地理解特征向量与线性变换之间的关系。

3. 矩阵表示的计算示例

以下两个示例分别展示了如何构造线性变换的矩阵表示，以及如何验证矩阵表示与线性变换的等价性。第一个示例关注基向量在变换下的映射，第二个示例则以多项式求导为例，进一步展示线性变换在特定基下的矩阵表示方法。

3.1 基向量变换的矩阵表示

给定一个二维向量空间 $~V~$ ，基为 $~\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}~$ 。定义了线性变换 $T:V\rightarrow V$ ，满足：

T(\mathbf{b}_1) = 3\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_2, \quad T(\mathbf{b}_2) = 2\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2

下面动画演示计算 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示 $~\mathbf{M}~$ ：

3.2 多项式求导的矩阵表示

给定一个线性变换（求导运算） $T:\mathbb{P}_2 \rightarrow \mathbb{P}_1$ ：

T(a_0 + a_1 t + a_2 t^2) = a_1 + 2a_2 t

给定标准基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ ，需要求：

根据公式 $~(3)~$ ，矩阵 $~\mathbf{M}~$ 为：

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathbb{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathbb{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathbb{B} \end{bmatrix}

我们只需要分别计算基向量的变换后的坐标向量即可：

\begin{align*}T(\mathcal{b}_1)&=T(1)=0 \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_1)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T\\[2ex] T(\mathcal{b}_2)&=T(t)=1 \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_2)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T\\[2ex] T(\mathcal{b}_3)&=T(t^2)=2t \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_2)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}^T \end{align*}

由此可得矩阵 $~\mathbf{M}~$ ，即变换 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵：

\mathbf{M} = [T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

这其实是验证它和公式 $~(4)~$ 是等价的。首先，任意 $p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2$ 的坐标向量为：

[p]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}

变换 $T(p) = a_1 + 2a_2t$ ，对应的坐标向量为：

[T(p)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{bmatrix}

根据第一步中求的的矩阵 $~[T]_\mathcal{B}~$ 计算：

[T]_\mathcal{B} [p]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{bmatrix}

结果与 $~[T(p)]_\mathcal{B}~$ 一致，验证成立。

这个示例说明，多项式求导问题可以通过矩阵运算来完成。

4. $~\mathbb{R^n}~$ 上的线性变换

线性变换 $~T~$ 可以用矩阵 $~\mathbf{A}~$ 来表示，其中 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ 。出于简化运算的考虑，我们自然会去尝试对矩阵 $~\mathbf{A}~$ 进行对角化处理。如果矩阵 $~\mathbf{A}~$ 可对角化，那么可以找到一组由特征向量构成的基 $~\mathcal{B}~$ ，使得 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵是对角矩阵 $~\mathbf{D}~$ 。有如下定理：

定理 8

对角矩阵表示

假设 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$ ，其中 $~\mathbf{D}~$ 是一个对角 $~n\times n~$ 的矩阵。如果基 $~\mathcal{B}~$ 是由矩阵 $~\mathbf{P}~$ 的列向量在 $~\mathbb{R^n}~$ 中构成的，那么 $~\mathbf{D}~$ 是变换 $~\mathbf{x} \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示。

定义基与变换矩阵
- 假设 $~\mathbf{P}~$ 的列向量为 $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n$ ，它们组成基 $\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ 。
- $\mathbf{P}=[\mathbf{b}_1 \dots \mathbf{b}_n]$ ，是基 $~\mathcal{B}~$ 的坐标变换矩阵。
基变换的关系
- 对任意向量 $~\mathbf{x}~$ 有：
  $\mathbf{P}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{x},\quad [\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{x}$
计算 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的表示：
- 线性变换 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ 。在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示为：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = [[\mathbf{T}(\mathbf{b}_1)]_{\mathcal{B}} \dots [\mathbf{T}(\mathbf{b}_n)]_{\mathcal{B}}]$
- 因为 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ ，得：
  $[\mathbf{T}(\mathbf{b}_i)]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{A} \mathbf{b}_i]_{\mathcal{B}}$
应用基变换
- 利用基变换关系：
  $[\mathbf{A} \mathbf{b}_i]_{\mathcal{B}} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_i$
- 将所有基向量组合：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_1 \dots \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_n] = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} [\mathbf{b}_1 \dots \mathbf{b}_n] = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$
结合对角化条件
- 因为 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$ ，所以：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{D}$

定理 $~8~$ 的作用是将一个复杂的线性变换简化为对角矩阵的形式。下面我们从几何角度来观察这个过程：

上述示例展示了在不同基下对同一线性变换的表示形式。通过选择矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量作为新基 $~\mathcal{B}~$ ，原来的矩阵 $~\mathbf{A}~$ 被转化为对角矩阵 $~\mathbf{D}~$ 。这种变换的好处是，在基 $~\mathcal{B}~$ 中，矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的线性变换等价于对每个基向量按特征值进行伸缩，而不涉及基向量间的混合操作。

5. 矩阵相似性与变换表示

定理 $~8~$ 中的矩阵 $~\mathbf{A}~$ 和 $~\mathbf{D}~$ 是一对相似矩阵，它们在几何上表现为在不同基下的同一个变换（相似矩阵的几何意义）。只不过定理 $~8~$ 为了对 $~\mathbf{A}~$ 实现对角化处理，要求新基 $~\mathcal{B}~$ 是由矩阵 $~\mathbf{A}~$ 的特征向量构成，如果不考虑这个条件，我们可以找到其他相似矩阵 $~\mathbf{C}~$ ，满足 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{C}\mathbf{P}^{-1}$ ，它们也能表示同一个线性变换。

当矩阵 $~\mathbf{A}~$ 无法对角化时，我们需要寻找其它相似矩阵（例如 $~\textbf{Jordan}~$ 矩阵）来简化计算。例如下面的矩阵：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}4 & -9 \\ 4 & -8\end{bmatrix}

它的特征多项式为 $~(\lambda+2)^2~$ ，因此它的特征值是 $~-2~$ ，代数重数为 $~2~$ 。求解特征方程 $(\mathbf{A}+2\mathbf{I})\mathbf{x}=0$ ，写成增广矩阵并化简得：

\begin{bmatrix} 6 & -9 & 0 \\ 4 & -6 & 0 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

解得特征向量为： $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}3 & 2\end{bmatrix}^T$ 。这说明 $~\mathbf{A}~$ 的几何重数少于代数重数，因此矩阵 $~\mathbf{A}~$ 无法进行对角化处理。我们可以将矩阵转化为 $~\textbf{Jordan}~$ 形式，那么就需要继续寻找广义特征向量，满足：

(A + 2\mathbf{I})^2 \mathbf{x} = 0 \quad \text{但} \quad (A + 2\mathbf{I}) \mathbf{x} \neq 0

广义特征向量和普通特征向量之间存在递归关系：

(\mathbf{A}+2\mathbf{I})\mathbf{b}_2=\mathbf{b}_1

求解：

(\mathbf{A} + 2\mathbf{I}) \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}

得到广义特征向量 $~\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}^T~$ 。由获取到的特征向量 $~\mathbf{b}_1~$ 和广义特征向量 $~\mathbf{b}_2~$ 构成的基：

\mathbf{P} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2] = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

最后将基变换矩阵 $~\mathbf{P}~$ 应用与 $~\mathbf{A}~$ 得：

\mathbf{C} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

矩阵 $~\mathbf{C}~$ 是 $~\mathbf{A}~$ 的相似矩阵，它又称为 $~\mathbf{A}~$ 的 $~\textbf{Jordan}~$ 形式（若尔当标准型）。

5.3 对角化

5.5 复特征值

浙ICP备2024102481号

特征向量与线性变换

1. 特征值和特征向量的概念推广

这一节我们探讨特征值和特征向量在更广泛的线性变换（不仅仅限于矩阵）中的应用。首先，我们从定义上对特征值和特征向量的概念进行扩展：

定义

特征值和特征向量

\{s_k\} = \left\{\cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right)\right\}

定义变换 $~D~$ 为左移 $~2~$ 位：

D(\{s_k\}) = \{s_{k+2}\}

有如下结论：

此时信号为：

s_k = \cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)

变换 $~D~$ 定义为 $s_k = s_{k+2}$ ，则：

s_{k+2} = \cos\left(\frac{(k+2)\pi}{4}\right)

利用三角函数公式 $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ ：

\begin{align*}s_{k+2} &= \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\[3ex] &=0 \cdot \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) - 1 \cdot \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\\[3ex] &= -\sin\left(\frac{k\pi}{4}\right) \end{align*}

结论：当 $~f=1~$ 时，信号 $~s_k~$ 经变换 $~D~$ 后，不能表示为原信号的数值倍数 $~\lambda s_k~$ ，因此 $~s_k~$ 不是变换 $~D~$ 的特征向量 。

此时信号为：

s_k = \cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)

变换 $~D~$ 定义为 $s_k = s_{k+2}$ ，则：

\begin{align*}s_{k+2} &= \cos\left(\frac{2(k+2)\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{2k\pi}{4} + \pi\right)\\[3ex] &=-\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) \end{align*}

结论：当 $~f=2~$ 时，信号 $s_k = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)$ 满足变换 $~D~$ 的定义：

D(s_k)=\lambda s_k

其中 $~\lambda=-1~$ 。因此， $~s_k~$ 是变换 $~D~$ 的特征向量，对应的特征值为 $~-1~$ 。

下面的动画过程演示了这两种变换：

更一般地，当 $~f~$ 为偶数时，对应的信号 $~s_k~$ 都是变换 $~D~$ 的特征向量。即，当 $~f=2n~$ { $(n \in \mathbb{Z})$ } 时：

s_{k+2}=(-1)^ns_k

特征值为 $~(-1)^n~$ 。

2. 线性变换的矩阵

\mathbf{x} = r_1 \mathbf{b}_1 + r_2 \mathbf{b}_2 + \cdots + r_n \mathbf{b}_n

在基 $~\mathcal{B}~$ 下， $~\mathbf{x}~$ 的坐标向量为：

[\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix}

线性变换 $~T~$ 的作用是将向量 $~\mathbf{x}~$ 映射到 $~T(\mathbf{x})~$ ，即：

T(\mathbf{x}) = T(r_1 \mathbf{b}_1 + \cdots + r_n \mathbf{b}_n)= r_1 T(\mathbf{b}_1) + \cdots + r_n T(\mathbf{b}_n)\tag{1}

由于从 $~V~$ 到 $~\mathbb{R^n}~$ 的坐标映射是线性的，可以写成：

[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B} = r_1 [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} + \cdots + r_n [T(\mathbf{b}_n)]_\mathcal{B}\tag{2}

我们可以用矩阵表示这个线性变换。定义矩阵 $~\mathbf{M}~$ ：

\colorbox{#F0F8FF}{$M = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathbb{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathbb{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathbb{B} \end{bmatrix}\tag{3}$}

其中，矩阵的每一列对应基向量经过变换后的坐标向量。于是，线性变换 $~T~$ 可以表示为：

\colorbox{#F0F8FF}{$[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B} = \mathbf{M}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}\tag{4}$}

3. 矩阵表示的计算示例

3.1 基向量变换的矩阵表示

给定一个二维向量空间 $~V~$ ，基为 $~\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}~$ 。定义了线性变换 $T:V\rightarrow V$ ，满足：

T(\mathbf{b}_1) = 3\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_2, \quad T(\mathbf{b}_2) = 2\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2

下面动画演示计算 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示 $~\mathbf{M}~$ ：

3.2 多项式求导的矩阵表示

给定一个线性变换（求导运算） $T:\mathbb{P}_2 \rightarrow \mathbb{P}_1$ ：

T(a_0 + a_1 t + a_2 t^2) = a_1 + 2a_2 t

给定标准基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ ，需要求：

根据公式 $~(3)~$ ，矩阵 $~\mathbf{M}~$ 为：

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathbb{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathbb{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathbb{B} \end{bmatrix}

我们只需要分别计算基向量的变换后的坐标向量即可：

\begin{align*}T(\mathcal{b}_1)&=T(1)=0 \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_1)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T\\[2ex] T(\mathcal{b}_2)&=T(t)=1 \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_2)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T\\[2ex] T(\mathcal{b}_3)&=T(t^2)=2t \quad &\Rightarrow \quad [T(\mathcal{b}_2)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}^T \end{align*}

由此可得矩阵 $~\mathbf{M}~$ ，即变换 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵：

\mathbf{M} = [T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

这其实是验证它和公式 $~(4)~$ 是等价的。首先，任意 $p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2$ 的坐标向量为：

[p]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}

变换 $T(p) = a_1 + 2a_2t$ ，对应的坐标向量为：

[T(p)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{bmatrix}

根据第一步中求的的矩阵 $~[T]_\mathcal{B}~$ 计算：

[T]_\mathcal{B} [p]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{bmatrix}

结果与 $~[T(p)]_\mathcal{B}~$ 一致，验证成立。

这个示例说明，多项式求导问题可以通过矩阵运算来完成。

4. $~\mathbb{R^n}~$ 上的线性变换

定理 8

对角矩阵表示

定义基与变换矩阵
- 假设 $~\mathbf{P}~$ 的列向量为 $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n$ ，它们组成基 $\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ 。
- $\mathbf{P}=[\mathbf{b}_1 \dots \mathbf{b}_n]$ ，是基 $~\mathcal{B}~$ 的坐标变换矩阵。
基变换的关系
- 对任意向量 $~\mathbf{x}~$ 有：
  $\mathbf{P}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{x},\quad [\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{x}$
计算 $~T~$ 在基 $~\mathcal{B}~$ 下的表示：
- 线性变换 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ 。在基 $~\mathcal{B}~$ 下的矩阵表示为：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = [[\mathbf{T}(\mathbf{b}_1)]_{\mathcal{B}} \dots [\mathbf{T}(\mathbf{b}_n)]_{\mathcal{B}}]$
- 因为 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ ，得：
  $[\mathbf{T}(\mathbf{b}_i)]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{A} \mathbf{b}_i]_{\mathcal{B}}$
应用基变换
- 利用基变换关系：
  $[\mathbf{A} \mathbf{b}_i]_{\mathcal{B}} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_i$
- 将所有基向量组合：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_1 \dots \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{b}_n] = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} [\mathbf{b}_1 \dots \mathbf{b}_n] = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$
结合对角化条件
- 因为 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$ ，所以：
  $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{D}$

定理 $~8~$ 的作用是将一个复杂的线性变换简化为对角矩阵的形式。下面我们从几何角度来观察这个过程：

5. 矩阵相似性与变换表示

当矩阵 $~\mathbf{A}~$ 无法对角化时，我们需要寻找其它相似矩阵（例如 $~\textbf{Jordan}~$ 矩阵）来简化计算。例如下面的矩阵：

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}4 & -9 \\ 4 & -8\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & -9 & 0 \\ 4 & -6 & 0 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

(A + 2\mathbf{I})^2 \mathbf{x} = 0 \quad \text{但} \quad (A + 2\mathbf{I}) \mathbf{x} \neq 0

广义特征向量和普通特征向量之间存在递归关系：

(\mathbf{A}+2\mathbf{I})\mathbf{b}_2=\mathbf{b}_1

求解：

(\mathbf{A} + 2\mathbf{I}) \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}

得到广义特征向量 $~\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}^T~$ 。由获取到的特征向量 $~\mathbf{b}_1~$ 和广义特征向量 $~\mathbf{b}_2~$ 构成的基：

\mathbf{P} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2] = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

最后将基变换矩阵 $~\mathbf{P}~$ 应用与 $~\mathbf{A}~$ 得：

\mathbf{C} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

矩阵 $~\mathbf{C}~$ 是 $~\mathbf{A}~$ 的相似矩阵，它又称为 $~\mathbf{A}~$ 的 $~\textbf{Jordan}~$ 形式（若尔当标准型）。

5.3 对角化

5.5 复特征值

特征向量与线性变换

1. 特征值和特征向量的概念推广

1当 f=1 ~f=1~ f=1 时，{sk}\{s_k\}{sk​} 不是 D ~D~ D 的特征向量

2当 f=2 ~f=2~ f=2 时，{sk}\{s_k\}{sk​} 是 D ~D~ D 的特征向量，特征值 λ=−1 ~\lambda=-1~ λ=−1

2. 线性变换的矩阵

3. 矩阵表示的计算示例

3.1 基向量变换的矩阵表示

3.2 多项式求导的矩阵表示

1 T ~T~ T 在基 B ~\mathcal{B}~ B 下的矩阵 M ~\mathbf{M}~ M ，即 [T]B[T]_\mathcal{B}[T]B​

2验证 [T(p)]B=[T]B[p]B ~[T(p)]_\mathcal{B}=[T]_\mathcal{B}[p]_\mathcal{B}~ [T(p)]B​=[T]B​[p]B​ 成立

4. Rn ~\mathbb{R^n}~ Rn 上的线性变换

证【定理 8 ~8~ 8 的证明过程】

5. 矩阵相似性与变换表示

特征向量与线性变换

1. 特征值和特征向量的概念推广

1当 f=1 ~f=1~ f=1 时，{sk}\{s_k\}{sk​} 不是 D ~D~ D 的特征向量

2当 f=2 ~f=2~ f=2 时，{sk}\{s_k\}{sk​} 是 D ~D~ D 的特征向量，特征值 λ=−1 ~\lambda=-1~ λ=−1

2. 线性变换的矩阵

3. 矩阵表示的计算示例

3.1 基向量变换的矩阵表示

3.2 多项式求导的矩阵表示

1 T ~T~ T 在基 B ~\mathcal{B}~ B 下的矩阵 M ~\mathbf{M}~ M ，即 [T]B[T]_\mathcal{B}[T]B​

2验证 [T(p)]B=[T]B[p]B ~[T(p)]_\mathcal{B}=[T]_\mathcal{B}[p]_\mathcal{B}~ [T(p)]B​=[T]B​[p]B​ 成立

4. Rn ~\mathbb{R^n}~ Rn 上的线性变换

证【定理 8 ~8~ 8 的证明过程】

5. 矩阵相似性与变换表示

4. $~\mathbb{R^n}~$ 上的线性变换

4. $~\mathbb{R^n}~$ 上的线性变换