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坐标系

1. 向量在基 B ~\mathcal{B}~下的唯一表示

在向量空间 V ~V~中，基 B={b1,b2,…,bn} ~\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n\}~的作用是为空间 V ~V~提供一个“坐标系”，使得向量空间中的每个向量都可以通过基向量的线性组合进行唯一表示。通过为向量空间 V ~V~指定一个基 B ~\mathcal{B}~，可以将抽象的向量转化为具体的坐标向量，从而简化问题的分析和处理，同时也为坐标变换提供基础。下面的定理，可以严格定义向量在基下的唯一性表示。

  1. 假设成立
    • 由于基B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n\}长成向量空间 V ~V~，对于任意 x∈V ~\mathbf{x}\in V~，存在标量 c1,c2,…,cn ~c_1,c_2,\dots,c_n~，使得：
      x=c1b1+c2b2+⋯+cnbn\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+\dots+c_n\mathbf{b}_n

  2. 假设标量不唯一

    • 假设 x ~\mathbf{x}~还可以用另一组标量 d1,d2,…,dn ~d_1,d_2,\dots,d_n~表示为：
      x=d1b1+d2b2+⋯+dnbn\mathbf{x}=d_1\mathbf{b}_1+d_2\mathbf{b}_2+\dots+d_n\mathbf{b}_n
  3. 两式相减
    • 将两种表示形式相减，得到：
      0=(c1−d1)b1+(c2−d2)b2+⋯+(cn−dn)bn0=(c_1-d_1)\mathbf{b}_1+(c_2-d_2)\mathbf{b}_2+\dots+(c_n-d_n)\mathbf{b}_n
  4. 基的线性无关性
    • 由于 B ~\mathcal{B}~是线性无关的基，所有权重 cj−dj ~c_j-d_j~必须为 0 ~0~，即：
      cj=dj,j=1,2,…,nc_j=d_j,\quad j=1,2,\dots,n
  5. 结论

    • 因此，标量 c1,c2,…,cn ~c_1,c_2,\dots,c_n~是唯一的。

2. 基 B ~\mathcal{B}~下坐标的定义

通过定理 8 ~8~，我们明确了向量在基 B ~\mathcal{B}~下的唯一性表示，这一结果揭示了基向量线性组合与向量空间元素之间的对应关系。为了进一步系统化和量化这种对应关系，我们需要引入下面的定义：

如果 c1,c2,…,cn ~c_1,c_2,\dots,c_n~是 x ~\mathbf{x}~的 B−坐标 ~\mathcal{B}-坐标~，那么可以用向量将其表示为：
[x]B=[c1⋮cn][\mathbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
这个向量 [x]B ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~被称为 x ~\mathbf{x}~(相对于 B) ~\mathcal{B})~的坐标向量或 x ~\mathbf{x}~的 B−~\mathcal{B}-坐标向量。通过这种表示，可以将抽象向量空间中的向量映射到熟悉的数值向量空间中，这一映射x↦[x]B\mathbf{x} \mapsto [\mathbf{x}]_\mathcal{B}被称为（由 B ~\mathcal{B}~确定的）坐标映射 (Coordinate Mapping) ~(\mathbf{Coordinate~Mapping})~。

3. 坐标系统的几何意义

坐标的本质是相对于基向量的线性组合，不同的基不仅可以帮助我们更灵活地表示向量，还能够适应不同的实际应用场景。

3.1 向量坐标在不同基下的表示

下面我们从几何的视角来观察，在不同的基下，向量的坐标是如何变化的。我们通常使用的坐标系统是笛卡尔坐标系，它使用的是标准基E={e1,e2,…,en}\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}来表示空间中的点或向量。例如在标准基E={e1,e2}\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}下， 向量x=[16]T\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1 & 6 \end{bmatrix}^T的分量可直接表示为它的坐标，因为：
[16]=1[10]+6[01]=1e1+6e2\begin{bmatrix} 1 \\ 6 \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\mathbf{e}_1 + 6\mathbf{e}_2
所以，在标准基下，[x]E=x[\mathbf{x}]_\mathcal{E}=\mathbf{x}。如果我们改用非标准基，例如：B={b1,b2}={[10]T,[12]T}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}=\left\{\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}^T,\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}^T \right\}，那么向量 x ~\mathbf{x}~在基 B ~\mathcal{B}~下可以表示为[x]B=[−23]T[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\begin{bmatrix}-2 & 3\end{bmatrix}^T，因为：
x=(−2)b1+3b2=(−2)[10]+3[12]=[16]\mathbf{x} = (-2)\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 = (-2)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \end{bmatrix}
对于一个向量 x ~\mathbf{x}~，选用不同的基相当于选择了不同的坐标系统。在不同的坐标系统下，向量 x ~\mathbf{x}~的实际几何位置不变，但其坐标表示（数值形式）会随基的不同而变化。下面的动画过程可以说明这个现象：

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3.2 晶体学中的基与坐标系统

基和坐标系统的概念可以应用到更复杂的几何结构中，例如，在晶体学中，基和坐标系统被用来描述三维晶格的结构和原子的位置。晶体学中，晶格是由重复的单位晶胞构成的，每一个单位晶胞的几何形状和对称性决定了晶体的整体结构。单位晶胞的基向量 u,v,w ~\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}~定义了晶胞的坐标系统，并提供了原子位置的精确表示。根据晶体的不同对称性和几何形状，单位晶胞可以分为多种类型，其中包括以下三种典型结构：简单单斜晶、体心立方晶胞、面心正交晶胞。

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针对三种不同的晶体结构，上述示例分别给出了对应的基和坐标系统。这些基向量和坐标系统反映了晶胞的几何特性，同时都属于三维欧几里得空间 R3 ~\mathbb{R^3}~的描述方法。基的选择并不改变原子的实际几何位置，而是一种数学手段，用于更加方便和精确地描述晶格中原子的位置。

4.  Rn ~\mathbb{R^n}~中的坐标转换

在向量空间 Rn ~\mathbb{R^n}~中，如果未指定基，则默认使用标准基来表示向量。例如 x=[45]T ~\mathbf{x}=\begin{bmatrix}4 & 5\end{bmatrix}^T~就是在标准基 E={e1,e2} ~\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}~下的表示 。在有些情况下，为了更好地适应特定的计算需求或揭示几何结构，我们会引入一个新的基。在新的基下，每个向量都可以通过基向量的线性组合唯一地表示，其对应的系数即为向量在该基下的坐标。请看下面的示例：

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我们需要掌握的是在 Rn ~\mathbb{R^n}~空间中，将向量的坐标从一个基转换到另一个基的方法。为此，我们需要引入坐标变换矩阵 (change-of-coordinates matrix) ~(\textbf{change-of-coordinates~matrix})~，它是连接不同基之间坐标表示的核心工具。假设B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n\}是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一个基，那么可以构造一个矩阵 PB ~\mathbf{P}_\mathcal{B}~，它以基 B ~\mathcal{B}~的向量作为列向量：
PB=[b1b2…bn]\mathbf{P}_\mathcal{B}=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \dots & \mathbf{b}_n\end{bmatrix}
这个矩阵 PB ~\mathbf{P}_\mathcal{B}~被称为从基 B ~\mathcal{B}~到标准基的坐标变换矩阵。它的作用是将一个在基 B ~\mathcal{B}~下的向量坐标[x]B[\mathbf{x}]_\mathcal{B}转换为向量在标准基下的表示 x ~\mathbf{x}~。这一过程通过以下公式实现：
x=PB[x]B\mathbf{x}=\mathbf{P}_\mathcal{B}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}
我来看下面这个示例，在已知基 B={b1,b2,b3} ~\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\}~和 [x]B ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~的情况下，求标准基 E ~\mathcal{E}~下 x ~\mathbf{x}~：

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反过来，由于 PB ~\mathbf{P}_\mathcal{B}~是可逆的（因为其列向量是 Rn ~\mathbb{R^n}~的一组基），我们可以通过 PB ~\mathbf{P}_\mathcal{B}~的逆矩阵 PB−1 ~\mathbf{P}_\mathcal{B}^{-1}~实现从标准基坐标到基 B ~\mathcal{B}~坐标的转换：
[x]B=PB−1x[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{P}_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{x}
请看下面这个示例，已知基 B={b1,b2,b3} ~\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\}~和标准基下的向量 x ~\mathbf{x}~，求 B ~\mathcal{B}~下的 x ~\mathbf{x}~：

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这一映射的本质是一个一一对应的线性变换，其中 PB−1 ~\mathbf{P}_\mathcal{B}^{-1}~是将标准基坐标还原为基 B−坐标 ~\mathcal{B}-坐标~的工具。这一性质不仅适用于 Rn ~\mathbb{R^n}~的基变换，在更一般的向量空间中也成立。例如在多项式空间 P2 ~\mathbb{P}_2~中，默认的标准基为 E={1,t,t2} ~\mathcal{E}=\{1,t,t^2\}~，在已知标准基下的向量 P(t)=3+t−6t2 ~\mathbf{P}(t)=3+t-6t^2~（它在标准基下可以写为坐标向量 x=[31−6]T ~\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3 & 1 & -6\end{bmatrix}^T~），以及给定的一组基 B={1−t2,t−t2,2−2t+t2} ~\mathcal{B}=\{1-t^2,t-t^2,2-2t+t^2\}~，求坐标向量 [x]B ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}~，请看观察下面的求解过程：

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5. 坐标映射

从上面的示例中不难发现，虽然多项式空间中的向量是抽象的，我们依然可以将其装化为具体的坐标向量。它是从多项式空间到 Rn ~\mathbb{R^n}~的坐标映射。不仅是多项式空间，其它空间中的向量都可以一一映射到 Rn ~\mathbb{R^n}~空间的坐标向量。

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有如下定理：

  1. 假设向量 u ~\mathbf{u}~和 w ~\mathbf{w}~

    • 设u=c1b1+⋯+cnbn, w=d1b1+⋯+dnbn\mathbf{u}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n,~\mathbf{w}=d_1\mathbf{b}_1+\dots+d_n\mathbf{b}_n，其中{b1,…,bn}\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}是向量空间 V ~V~的一组基。

  2. 证明 x↦[x]B ~\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}]_\mathcal{B}~保持加法封闭

    • 根据向量运算规则，可得：
      u+w=(c1+d1)b1+⋯+(cn+dn)bn\mathbf{u}+\mathbf{w}=(c_1+d_1)\mathbf{b}_1+\dots+(c_n+d_n)\mathbf{b}_n
      那么， u+w ~\mathbf{u}+\mathbf{w}~在坐标向量为：
      [u+w]B=[c1+d1⋮cn+dn]=[c1⋮cn]+[d1⋮dn]=[u]B+[w]B[\mathbf{u} + \mathbf{w}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} c_1 + d_1 \\ \vdots \\ c_n + d_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} = [\mathbf{u}]_{\mathcal{B}} + [\mathbf{w}]_{\mathcal{B}}

  3. 证明 x↦[x]B ~\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}]_\mathcal{B}~保持标量乘法封闭

    • 对于任意标量 r ~r~，可得：
      ru=r(c1b1+⋯+cnbn)=(rc1)b1+⋯+(rcn)bnr\mathbf{u} = r(c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n) = (rc_1)\mathbf{b}_1 + \cdots + (rc_n)\mathbf{b}_n
      那么， ru ~r\mathbf{u}~的坐标向量为：
      [ru]B=[rc1⋮rcn]=r[c1⋮cn]=r[u]B[r\mathbf{u}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} rc_1 \\ \vdots \\ rc_n \end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = r[\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}
  4. 结论
    • 坐标映射保持加法和标量乘法封闭，说明坐标映射满足线性变换的定义。

  1. 证明单射性：即证明，如果两个向量的坐标相同，则它们本身也相等。

    • 假设 u,v∈V ~\mathbf{u},\mathbf{v}\in V~，且它们在基 B ~\mathcal{B}~下的坐标相同：[u]B=[v]B[\mathbf{u}]_\mathcal{B}=[\mathbf{v}]_\mathcal{B}，由坐标定义，基B={b1,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}的线性组合是唯一的，因此 u=v ~\mathbf{u}=\mathbf{v}~。

  2. 证明满射性：即证明，对于任意 Rn ~\mathbb{R^n}~中的向量y=[c1c2…cn]T\mathbf{y}=\begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots c_n\end{bmatrix}^T，存在一个向量 x∈V ~\mathbf{x}\in V~，使得 [x]B=y ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{y}~。

    • 对于任意 y∈Rn ~\mathbf{y}\in \mathbb{R^n}~，定义向量 x∈V ~\mathbf{x}\in V~为：
      x=c1b1+⋯+cnbn\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n
      ，其中y=[c1…cn]T\mathbf{y}=\begin{bmatrix}c_1 & \dots & c_n \end{bmatrix}^T。显然， [x]B=y ~[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=\mathbf{y}~。
  3. 结论

    • 因此，坐标映射 x↦[x]B~\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}]_\mathcal{B}是从 V ~V~到 Rn ~\mathbb{R^n}~的一一对应的线性变换。

坐标映射的意义在于，它将抽象的向量空间 V ~V~与具体的欧几里得空间 Rn ~\mathbb{R^n}~建立了一一对应的关系。这种对应关系使得在抽象空间上的运算可以转化为在具体坐标向量（数值向量）上的运算，而且它保留了线性组合的形式，即向量的线性组合在坐标表示中仍然是相同的线性组合。请看下面的示例，我们对多项式空间 P2 ~\mathbb{P}_2~中的两个向量进行线性组合，然后观察对应的坐标向量：

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可以发现，多项式空间中向量的线性组合在 Rn ~\mathbb{R^n}~中对应的坐标向量一致。这一性质确保了抽象向量空间的代数结构在坐标空间中完全保留，即向量加法和标量乘法的运算规则不变。满足这种性质的映射 T:V↦W ~T:V\mapsto W~，如果同时是双射（即既是单射又是满射），则称为同构映射 (isomorphism) ~(\textbf{isomorphism})~，且 V ~V~和 W ~W~是同构的，记作 V≃W ~V\simeq W~。同构表明 V ~V~和 W ~W~在代数结构上完全等价，所有线性代数的运算都可以在这两个空间之间一一对应地复现。

4.3 线性无关集和基

4.5 向量空间的维数

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