向量空间的维数

处理零子空间的特殊情况

• 如果 $~H = \{\mathbf{0}\}~$ ，那么根据定义，$~\text{dim}H = 0~$ 。由于 $~V~$ 是有限维的，必有 $~\text{dim}V \geq 0~$ ，因此 $~\text{dim}H = 0 \leq \text{dim}V~$ 成立。

从任意线性无关集合 $S$ 出发

• 假设 $~H~$ 不是零子空间。设 $~S = \{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}~$ 是 $~H~$ 中的任意一个线性无关集合。我们的目标是证明 $~S~$ 可以扩展为 $~H~$ 的一个基。

检验 $S$ 是否已经是 $H$ 的基

• 如果 $~S~$ 张成 $~H~$ （即 $~\text{Span}S = H~$ ），那么 $~S~$ 已经是 $~H~$ 的一个基，证明完成。

扩展线性无关集合

• 如果 $~S~$ 不张成 $~H~$ ，则存在某个向量 $~\mathbf{u}_{k+1} \in H~$ 不在 $~\text{Span}S~$ 中。根据定理 $~4~$ （线性无关集合的扩展性质），由于 $~\mathbf{u}_{k+1}~$ 不能表示为 $~S~$ 中向量的线性组合，因此新集合 $~\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k, \mathbf{u}_{k+1}\}~$ 仍然是线性无关的。

重复扩展过程

• 只要新的集合仍不张成 $~H~$ ，我们就可以继续添加向量来扩展它。每次添加一个不在当前张成空间中的向量，都能保持集合的线性无关性。

扩展过程必然终止

• 关键在于：根据定理 $~10~$ ，$~V~$ 中任何线性无关集合的向量数量都不能超过 $~\text{dim}V~$ 。由于 $~H~$ 是 $~V~$ 的子空间，$~H~$ 中的线性无关集合也是 $~V~$ 中的线性无关集合，因此扩展过程最终必然停止。

得出结论

• 当扩展过程停止时，我们得到的集合既是线性无关的，又张成 $~H~$ ，因此它是 $~H~$ 的一个基。这证明了：

  $$\text{dim}H \leq \text{dim}V$$

  证毕！

证明线性无关集合是基

• 设 $S$ 是 $V$ 中恰好包含 $p$ 个元素的线性无关集合。根据定理 $~12~$ ，$S$ 可以扩展为 $V$ 的一个基。但由于 $~\text{dim}V = p~$ ，这个基必须恰好包含 $p$ 个向量。因此 $S$ 本身已经是 $V$ 的一个基，无需扩展。

证明生成集合是基

• 设 $S$ 是 $V$ 中恰好包含 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合。由于 $V$ 是非零空间，根据生成集合定理，$S$ 的某个子集 $S'$ 是 $V$ 的一个基。由于 $~\text{dim}V = p~$ ，$S'$ 必须包含 $p$ 个向量。因此 $~S' = S~$ ，即 $S$ 本身就是 $V$ 的基。证毕！

确定 $\text{rank}\,\mathbf{A}$

• 根据定理 $~6~$ （4.3节），矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于其主元列的数量。

确定 $\text{nullity}\,\mathbf{A}$

• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的零维等于方程 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{0}~$ 中自由变量的数量。换句话说，零维等于 $\mathbf{A}$ 中 非主元列 的数量。

建立等式关系

• 由于矩阵的每一列要么是主元列，要么是非主元列，因此：

  $$\{\text{主元列数量}\} + \{\text{非主元列数量}\} = \{\text{总列数}\}$$

  即：

  $$\text{rank}\,\mathbf{A} + \text{nullity}\,\mathbf{A} = n$$

  其中 $n$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的列数。证毕！

将矩阵化为阶梯形

• 将增广矩阵 $~[\mathbf{A} \quad \mathbf{0}]~$ 进行化简，得到阶梯形：

  $$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

确定主元列和自由变量

• 主元位于第 $~1~$ 列和第 $~3~$ 列，共 $~2~$ 个主元列
• 第 $~2, 4, 5~$ 列是非主元列，对应自由变量 $~x_2, x_4, x_5~$ ，共 $~3~$ 个自由变量

计算秩和零维

• 秩 = 主元列数量 = $~2~$
• 零维 = 自由变量数量 = $~3~$

验证秩定理

• $~\text{rank}\,\mathbf{A} + \text{nullity}\,\mathbf{A} = 2 + 3 = 5~$ ，正好等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的列数。✓

问题 a：求 $7 \times 9$ 矩阵的秩

• 由秩定理：$~\text{rank}\,\mathbf{A} + \text{nullity}\,\mathbf{A} = n~$
• 其中 $n = 9$（列数），$~\text{nullity}\,\mathbf{A} = 2~$
• 因此：$~\text{rank}\,\mathbf{A} = 9 - 2 = 7~$

问题 b：$6 \times 9$ 矩阵能否有零维 $~2~$ ？

• 不能。 假设存在这样的矩阵 $\mathbf{B}$ ，根据秩定理：
• $~\text{rank}\,\mathbf{B} = 9 - 2 = 7~$
• 但是 $\mathbf{B}$ 的列向量是 $~\mathbb{R}^6~$ 中的向量，列空间 $~\text{Col}\,\mathbf{B}~$ 是 $~\mathbb{R}^6~$ 的子空间，其维数不可能超过 $~6~$ 。
• 因此 $~\text{rank}\,\mathbf{B} \leq 6 < 7~$ ，矛盾！

求 $\text{Nul}\,\mathbf{A}$

• 解方程 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{0}~$ ，可以验证零空间是 $x_2$ -轴，即所有形如 $~(0, t, 0)~$ 的向量。

求 $\text{Row}\,\mathbf{A}$

• 行空间是 $x_1 x_3$ -平面，即所有 $x_2 = 0$ 的向量构成的平面。

求 $\text{Col}\,\mathbf{A}$

• 列空间是方程 $~x_1 - x_2 = 0~$ 确定的平面。

求 $\text{Nul}\,\mathbf{A}^T$

• $~\mathbf{A}^T~$ 的零空间是所有 $~(1, -1, 0)~$ 的倍数构成的集合。

几何意义

• $~\text{Nul}\,\mathbf{A}~$ 和 $~\text{Row}\,\mathbf{A}~$ 位于线性变换 $~\mathbf{x} \mapsto \mathbf{Ax}~$ 的定义域 $~\mathbb{R}^3~$ 中；$~\text{Col}\,\mathbf{A}~$ 和 $~\text{Nul}\,\mathbf{A}^T~$ 位于值域（另一个 $~\mathbb{R}^3~$ ）中。

理解问题

• 设 $\mathbf{A}$ 是该齐次方程组的 $~40 \times 42~$ 系数矩阵。题目告诉我们：
• 齐次方程组有两个解，且它们不是彼此的倍数
• 所有其他解都可以由这两个解的线性组合得到

分析零空间

• 上述信息意味着这两个解是线性无关的，并且它们张成 $~\text{Nul}\,\mathbf{A}~$ 。因此，零维为 $~2~$ 。

应用秩定理

• 根据秩定理：$~\text{rank}\,\mathbf{A} = 42 - 2 = 40~$

分析列空间

• 由于 $~\mathbb{R}^{40}~$ 中唯一维数为 $~40~$ 的子空间就是 $~\mathbb{R}^{40}~$ 本身，所以 $~\text{Col}\,\mathbf{A} = \mathbb{R}^{40}~$ 。

得出结论

• 这意味着对于任意 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{40}~$ ，方程 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{b}~$ 都有解。因此，科学家可以确定相应的非齐次方程组一定有解。

命题 $(m)$ 与已有命题的等价性

• 命题 (m) 说 $\mathbf{A}$ 的列向量构成 $~\mathbb{R}^n~$ 的一个基。这与命题 (e)（列向量线性无关）和命题 (h)（列向量张成 $~\mathbb{R}^n~$ ）在逻辑上是等价的。

建立蕴含链

• 其余五个命题通过以下蕴含链与已有命题相连：

  $$(g) \Rightarrow (n) \Rightarrow (o) \Rightarrow (p) \Rightarrow (q) \Rightarrow (d)$$

证明 $(g) \Rightarrow (n)$

• 命题 (g) 说方程 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{b}~$ 对每个 $~\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n~$ 至少有一个解。这意味着 $~\text{Col}\,\mathbf{A}~$ 恰好是所有使 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{b}~$ 有解的 $\mathbf{b}$ 的集合，因此 $~\text{Col}\,\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ 。

证明 $(n) \Rightarrow (o)$

• 由维数和秩的定义直接得出：若 $~\text{Col}\,\mathbf{A} = \mathbb{R}^n~$ ，则 $~\text{rank}\,\mathbf{A} = n~$ 。

证明 $(o) \Rightarrow (p) \Rightarrow (q)$

• 若 $~\text{rank}\,\mathbf{A} = n~$ （矩阵的列数），则由秩定理：$~\text{nullity}\,\mathbf{A} = 0~$ 。这意味着 $~\text{Nul}\,\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 。

证明 $(q) \Rightarrow (d)$

• $~\text{Nul}\,\mathbf{A} = \{\mathbf{0}\}~$ 意味着方程 $~\mathbf{Ax} = \mathbf{0}~$ 只有平凡解，这正是命题 (d)。由于 (d) 和 (g) 已知与矩阵可逆等价，证明完成。