向量空间的维数

1. 维数的定义与性质

对于一个有限维向量空间$~V~$，任何一组基都是线性无关且张成整个空间的向量组，其向量数量始终是相同的，这一数量就是向量空间的维数$~(\textbf{Dimension})~$，记为$~n~$。维数是向量空间的一种固有性质，它反映了该空间中最大线性无关向量组的大小，且与具体的基的选择无关。因此，任何线性无关的向量组的向量数量都不能超过$~n~$。有如下定理：

在$~\mathbb{R^2}~$空间中，维数是$~2~$，任意超过$~2~$个向量必然线性相关。同理，$~\mathbb{R^3}~$的维数的$~3~$，超过$~3~$个向量也必然线性相关。

2. 基与维数的一致性

上文提到，向量空间的维数$~n~$是其固有性质，与选择的基无关。因此，对于同一向量空间，任何一组基的向量数量都必然是$~n~$，即所有基向量组都由$~n~$个线性无关且能够张成整个空间的向量组成。有如下定理：

如果一个非零向量空间$~V~$被一个有限集合$~S~$生成，根据生成集合定理，可以从$~S~$中选出一个线性无关的子集作为$~V~$的基。定理$~11~$保证了无论选取哪个基，其向量数量都等于$~V~$的维数$~n~$，从而确保了基的定义和维数的唯一性。

3. 有限维与无限维空间

向量空间的维数$~n~$可以是有限的，也可以是无限的。根据这个性质，向量空间可以分为有限维空间和无限维空间。具体的定义如下：

4. 子空间的维数分类