4.7 数字信号处理

数字信号处理

向量空间为数字信号处理提供了统一的数学框架，使离散信号的表示、平移、滤波与组合等操作得以线性化处理，提升了建模与分析的效率与通用性。

1. 引言

数字信号处理 $(\text{DSP})$ 是通过离散化与数学模型高效处理多领域数据（如金融、通信、生物医学信号）的技术，其核心是将连续信号转换为离散时间序列。线性代数的子空间理论为此提供了结构化框架：离散信号空间 $~\mathbb{S}~$ 的子空间（如有限长信号子空间 $~\mathbb{S}_n~$ ）通过基向量（如移位单位脉冲）将信号编码为有限维向量，简化存储与运算；无限维子空间 $\mathbb{S}_f$ 支持动态数据流处理。

2. 离散时间信号

离散时间信号是无限序列

~\{y_k\}~

，其中下标

~k~

覆盖所有整数，表示在离散时间点上的采样值。例如，股票每日价格、传感器周期性读数等均可视为离散时间信号。其核心特性包括：

离散性：仅在整数时间点定义，与连续时间信号形成对比。
结构化表示：通过向量空间 $~\mathbb{S}~$ 描述，支持线性代数操作（如加法、标量乘法）。

下面是常用的离散时间信号类型：

典型信号类型
信号名称	符号	向量	正式描述
单位脉冲	$\delta$	$(\ldots,0,0,0,1,0,0,0,\ldots)$	$\{d_k\}, \text{ where } d_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = 0 \\ 0 & \text{if } k \neq 0 \end{cases}$
单位阶跃	$\nu$	$(\ldots,0,0,0,1,1,1,1,\ldots)$	$\{u_k\}, \text{ where } u_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k \geq 0 \\ 0 & \text{if } k < 0 \end{cases}$
常数信号	$\chi$	$(\ldots,1,1,1,1,1,1,1,\ldots)$	$\{c_k\}, \text{ where } c_k = 1$
交替信号	$\alpha$	$(\ldots,-1,1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)$	$\{a_k\}, \text{ where } a_k = (-1)^k$
斐波那契信号	$F$	$(\ldots,2,-1,1,0,1,1,2,\ldots)$	$\{f_k\}, \text{ where } f_k = \begin{cases} 0 & \text{if } k = 0 \\ 1 & \text{if } k = 1 \end{cases}$
指数信号	$\epsilon_c$	$(\ldots,c^{-2},c^{-1},c^0,c^1,c^2,\ldots)$	$\{e_k\}, \text{ where } e_k = c^k$

另一种常见的离散信号类型是周期性信号，其特点是信号的值在每隔一个固定的整数

~q~

后重复。换句话说，对于所有整数

~k~

，信号的值

~p_k~

和

~p_k+q~

是相等的。例如，正弦信号是周期信号的数学表达式为：

\sigma_{f,\theta} = \{ \cos(f k \pi + \theta \pi) \}

其中，

f~

是频率，表示信号的周期性变化速率，

\theta~

是相位偏移，表示信号的起始位置。下图展示了正弦信号

~\left\{ \cos\left( \frac{1}{6} \pi k + \frac{1}{4} \pi \right) \right\}~

的点阵图：

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3. 线性时不变 $(\text{~LTI}~)$ 变换

线性时不变 $(\text{~LTI,~Linear Time-Invariant~})$ 变换是信号处理中的核心工具，广泛应用于通信、控制、音频处理、图像处理等领域。其关键特性包括线性和时不变性，这使得 $~\text{LTI}~$ 变换可进一步简化数学模型。下面是线性时不变变换的具体定义：

定义

线性时不变变换

~(\text{~LTI~})

一个变换

~T:\mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}~

是线性时不变的，当且仅当满足以下条件：

加法封闭：对于所有信号 $\{x_k\}$ 和 $~\{y_k\}~$ ，有：
$T(\{x_k + y_k\}) = T(\{x_k\}) + T(\{y_k\})$
数乘封闭：对于所有标量 $~c~$ 和所有信号 $~\{x_k\}~$ ，有：
$T(\{cx_k\}) = cT(\{x_k\})$
时不变性：如果 $~T(\{x_k\}) = \{y_k\}~$ ，则对于所有整数 $~q~$ 和所有信号 $~\{x_k\}~$ ，有：
$T(\{x_{k+q}\}) = \{y_{k+1}\}$

例

\mathbf{1}

：设

~\mathbb{S}~

是将信号中每个元素右移一位的变换（移位变换），即

S(\{x_k\}) = \{y_k\},\quad \small{其中}~~ y_k = x_{k-1}

为简化符号，写作

~S(\{x_k\}) = \{x_{k-1}\}~

。左移变换为

~S^{-1}~

，即：

S^{-1}(\{x_k\}) = \{x_{k+1}\}

验证：

\mathbb{S}~

是线性时不变

(~\text{LTI}~)

变换，并说明其可逆性。

加法封闭：对任意信号 $~\{x_k\}~$ 和 $~\{y_k\}~$ ，
$S(\{k + y_k\}) = \{k-1 + y_{k-1}\} = S(\{k\}) + S(\{y_k\})$
数乘封闭：对任意标量 $~c~$ ：
$S(c\{x_k \}) = \{ c \cdot x_{k-1} \} = c \cdot S(\{ x_k \})$

对任意整数

~q~

，若输入信号时移

~q~

位（即

~\{x_{k+q}\}~

），则输出信号也时移

~q~

位：

S(\{x_{k+q}\}) = \{x_{(k-1)+q}\} = \{x_{k+q-1}\} = \{y_{k+q}\}

其中

~y_k = x_{k-1}~

，满足时不变性。

右移后左移恢复原信号：
$S^{-1}(S(\{x_k\})) = S^{-1}(\{x_{k-1}\}) = \{x_{(k-1)+1}\} = \{x_k\} = I(\{x_k\})$
同理，左移后右移也恢复原信号：：
$S(S^{-1}(\{x_k\})) = S(\{x_{k+1}\}) = \{x_{(k+1)-1}\} = \{x_k\} = I(\{x_k\})$
因此， $S~$ 是可逆变换，且 $~S^{-1}S = SS^{-1} = \mathbf{I}~$ 。

对单位信号

~\delta = (\ldots, 0, 1, 0, \ldots)~

应用

~S^{1}~

和

~S^{-1}~

：

$S^1(\delta) = (\ldots, 0, 0, \textcolor{#2196f3}{0}, \textcolor{#f22222}{1}, 0, \ldots)$ （右移一位， $k=1~$ 处为 $~1~$ ）
$S^{-1}(\delta) = (\ldots, 0, \textcolor{#f22222}{1}, \textcolor{#2196f3}{0}, 0, 0 \ldots)$ （左移一位， $k=-1~$ 处为 $~1~$ ）

如下表所示，这些操作生成了信号空间

~\mathbb{S}_n~

的基向量。

变换	基向量	表达式
...	...	...
$S^{-2}(\delta)$	$(\ldots,\textcolor{#f22222}{1},0,~\textcolor{#2196f3}{0},~0,0,\ldots)$	$\{w_k\}, \text{ where } w_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = -2 \\ 0 & \text{if } k \neq -2 \end{cases}$
$S^{-1}(\delta)$	$(\ldots,0,\textcolor{#f22222}{1},~\textcolor{#2196f3}{0},~0,0,\ldots)$	$\{x_k\}, \text{ where } x_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = -1 \\ 0 & \text{if } k \neq -1 \end{cases}$
$\delta$	$(\ldots,0,0,~\textcolor{#2196f3}{1},~0,0,\ldots)$	$\{d_k\}, \text{ where } d_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = 0 \\ 0 & \text{if } k \neq 0 \end{cases}$
$S^{1}(\delta)$	$(\ldots,0,0,~\textcolor{#2196f3}{0},~\textcolor{#f22222}{1},0,\ldots)$	$\{y_k\}, \text{ where } y_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = 1 \\ 0 & \text{if } k \neq 1 \end{cases}$
$S^{2}(\delta)$	$(\ldots,0,0,~\textcolor{#2196f3}{0}~,0,\textcolor{#f22222}{1},\ldots)$	$\{z_k\}, \text{ where } z_k = \begin{cases} 1 & \text{if } k = 2 \\ 0 & \text{if } k \neq 2 \end{cases}$
...	...	...

$\text{LTI}~$ 变换是一类同时满足线性性（加法和数乘封闭）和时不变性的变换。它不仅继承了一般线性变换的数学性质，还额外要求系统响应与时间无关。因此， $\text{LTI}$ 变换是线性变换中具有严格约束的特例。有如下定理：

定理 16

\text{LTI}~

变换是线性变换

信号空间

~\mathbb{S}~

上的线性时不变

(~\text{LTI}~)

变换是一种特殊的线性变换。

4. $\text{LTI}~$ 变换在信号处理中的应用

在数字信号处理 $(~\text{DSP}~)$ 中， $~\text{LTI}~$ 变换是处理和分析信号的核心工具之一。 $~\text{LTI}~$ 变换不仅可以用于平滑和过滤信号，还可以通过组合信号来生成更复杂和真实的信号。下面我们分别讨论 $~\text{LTI}~$ 变换在信号平滑和信号组合中的应用。

4.1 移动平均变换

移动平均变换 $(~\text{Moving Average, MA}~)$ ，在信号处理中属于 $~\text{LTI}~$ 滤波器的一种。其核心思想是通过局部窗口内的数据平均值来平滑信号，抑制噪声或短期波动，突出长期趋势或周期性成分。

例

\mathbf{2}

：对于任意正整数

~m~

，移动平均

~\text{LTI}~

变换为

~M_m~

定义为：

M_m(\{x_k\}) = \{y_k\}, \quad \small{其中} ~~ y_k = \frac{1}{m} \sum_{j=k-m+1}^k x_j

移动平均变换

~M_m~

的输出

~y_k~

是输入信号

~x_k~

在时间窗口

~[k-m+1,k]~

内的平均值。假设有一个输入信号

~\{x_k\}~

，例如：

\{x_k\} = \{-0.25, -0.29, -0.51, -0.77, -0.86, -0.97,\cdots\}

对于

~m=3~

，计算每个

~y_k

：

\begin{alignat*}{5} y_1 &= \footnotesize{NAN} \\[1ex] y_2 &= \footnotesize{NAN} \\[1ex] y_3 &= (x_1 + x_2 + x_3) / 3 = -0.35 \\[1ex] y_4 &= (x_2 + x_3 + x_4) / 3 = -0.52 \\[1ex] y_5 &= (x_3 + x_4 + x_5) / 3 = -0.71 \\[1ex] y_6 &= (x_4 + x_5 + x_6) / 3 = -0.86 \\[1ex] & \cdots \end{alignat*}

从计算结果可以看出，经过移动平均变换后的输出信号

~\{y_k\}~

相比输入信号

~\{x_k\}~

更加平滑，数据波动明显减少。如下图所示：

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4.2 信号组合与声学质量增强

可听化 $(~\text{auralization}~)$ 是一种声音信号处理技术，它通过组合和处理信号来增强虚拟声音的真实感。这种技术在虚拟现实、游戏音频、音乐制作和影视音效等领域广泛使用。它通过模拟现实世界中的声音特性，为用户提供一个更加沉浸和真实的听觉体验。例如，在虚拟现实和游戏音频中，可听化技术可以生成逼真的环境音效；在音乐制作中，它能够生成丰富的音色和效果；在影视音效中，可听化技术则用于创造复杂的背景音效和特殊效果。

例 $\mathbf{3}$ ：下面来展示如何通过组合多个信号来生成更复杂和真实的虚拟声音。

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原始信号：一个余弦信号 $~\{\cos(440\pi k)\}~$ ，其频率为 $~440Hz~$ ，是一个单一频率的正弦波。
引入衰减的信号：通过引入衰减系数 $~(0.3)^{4k}~$ ，生成信号 $~\{(0.3)^{4k}\cos(440\pi k)\}~$ 使信号逐渐减弱，模拟声音逐渐消失的效果。
多频率组合：通过组合三个不同频率的余弦信号 $\{\cos(420\pi k) + \cos(440\pi k) + \cos(460\pi k)\}$ ，增加声音的复杂性和变化。
调制信号：通过调制信号 $~\{(0.2)^k \cos(2\pi) \cos(440\pi k)\}~$ ，进一步增强信号的变化。

5. 有限维子空间的基生成方法

在数字信号处理中，我们通常处理的是有限长度的信号，即在某个固定时间窗口内采样到的数据。这类信号可以表示为：

\{y_k\} \quad (y_k = 0,\ \forall k < 0 \small{~~或~~} k > n)

这意味着我们关心的信号只在从时间

~k=0~

到

~k=n~

的区间内有意义，其余部分均为零。我们将这类信号构成的集合定义为信号空间

~\mathbb{S}_n~

，它是全集

\mathbb{S}

（无限长度信号空间）的子空间：

S_n = \left\{ \{y_k\} \in S \ \middle| \ y_k = 0, \ \forall k < 0 \small{~或~} k > n \right\}

即，

\mathbb{S}_n~

是所有仅在时刻

~k=0,1,2,\cdots,n~

可能非零，其余位置全为零的信号所构成的子空间。为了对

~\mathbb{S}_n~

中的信号进行表达与计算，我们需要构造一组基，使得任意信号都可以表示为这些基的线性组合。理想情况下，这组基应当具有线性无关性，并能覆盖整个

~\mathbb{S}_n~

。我们有如下定理：

定理 17

有限信号空间

~\mathbb{S}_n~

的基与维度

集合

~\mathbb{S}_n~

是信号空间

~\mathbb{S}~

的一个子空间，并且与

~\mathbb{R}^{n+1}~

同构。由信号

~\mathcal{B}_n = \{~\delta,~S(\delta),~S^2(\delta),~\ldots,~S^n(\delta)~\}

构成的集合是

~\mathbb{S}_n~

的一组基。

证明： $\mathcal{B}_n$ 是 $~\mathbb{S}_n~$ 的生成集
- 任取 $\{y_k\} \in \mathbb{S}_n$ ，根据定义它仅在 $~k=0,1,\cdots,n~$ 可能非零；
- 我们可以将它表示为：
  $\{ y_k \} = \sum_{j=0}^{n} y_j \mathcal{S}^j(\delta)$
- 因此，任意 $~\mathbb{S}_n~$ 中的信号都可以由 $~\mathcal{B}_n~$ 中的元素线性组合得到，说明它是一个生成集。
证明： $\mathbb{S}_n~$ 是线性无关的
- 假设存在实数 $~c_0,c_1,\cdots,c_n~$ 使得：
  $c_0 \delta + c_1 \mathcal{S}(\delta) + \cdots + c_n \mathcal{S}^n(\delta) = 0$
- 该线性组合对应的信号是：
  $(\ldots, 0, 0, c_0, c_1, \ldots, c_n, 0, 0, \ldots)$
- 若等于零信号，说明所有系数都为零，即： $c_0=c_1=\cdots = c_n = 0~$ ；
- 因此， $\mathcal{B}_n$ 是线性无关的。
结论
- $\mathcal{B}_n~$ 是 $~\mathbb{S}_n~$ 的一组基；
- 所以 $~\mathbb{S}_n~$ 是一个维数为 $~n+1~$ 的向量空间，与 $~\mathbb{R}^{n+1}~$ 同构。

例

\mathbf{4}

：使用基底

\mathcal{B}_2 = \{~\delta,~S(\delta),~S^2(\delta)~\}

表示信号

~\{y_k\} \in \mathbb{S}_2~

，其中：

y_k = \begin{cases} 0, & k < 0 \small{~或~} k > 3 \\ 2, & k = 0 \\ 3, & k = 1 \\ -1, & k = 2 \end{cases}

将该信号表示为

~\mathbb{R^3}~

中的向量。

信号在 $~k=0,~1,~2~$ 处分别为 $~2,~3,~-1~$ ；
这对应的线性组合为：
$\{ y_k \} = 2\delta + 3\mathcal{S}(\delta) - \mathcal{S}^2(\delta)$
所以其坐标向量为：
$[\{ y_k \}]_{\mathcal{B}_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$

6. 有限支持信号空间及其无限维基

如果我们不再限制信号的长度，只要求“非零项是有限个”，这样的信号能否构成一个空间？又能否找到合适的基？这就引出了有限支持信号

(~\textbf{finitely supported signals}~)

空间

\mathbb{S}_f

的概念。

\mathbb{S}_f~

是所有只有有限个非零项的离散信号

\{y_k\}

组成的集合，更形式化的表示为：

\mathbb{S}_f = \left\{ \{ y_k \} \in \mathbb{S} \mid y_k \ne 0 \small{~仅在有限个~} k \in \mathbb{Z} \small{~上成立~} \right\}

$\mathbb{S}_f \subseteq \mathbb{S}$ ，是全体离散时间信号的子空间。
它包含所有的 $~\mathbb{S}_n~$ ，即：
$\forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{S}_n \subseteq \mathbb{S}_f$
例如：每天记录一支股票的价格，虽然数据每天在增长，但在任意时刻，仍只有有限长，它属于 $~\mathbb{S}_f~$ ，不属于某个固定的 $~\mathbb{S}_n~$ 。

有限支持信号空间

~\mathbb{S}_f~

依然可以用单位冲激信号

~\delta~

及其平移来构造基，有如下定理：

定理 18

有限支持信号空间的无限维基

集合

\mathcal{B}_f = \{ \mathcal{S}^j(\delta) \mid j \in \mathbb{Z} \}

是有限支持信号空间

~\mathbb{S}_f

（有限支持信号空间）的一组基。

证明： $\mathcal{B}_f$ 是 $~\mathbb{S}_f~$ 的生成集
- 任取 $~\{y_k\} \in \mathbb{S}_f$ ，则它仅有有限个非零项；
- 设其非零项出现在 $~k=p,p+1,~,\cdots,q~$ 之间， $p,~q\in \mathbb{Z}~$ ；
- 信号 $~\{y_k\}~$ 可表示为：
  $\{ y_k \} = \sum_{j=p}^{q} y_j \cdot \mathcal{S}^j(\delta)$
- 所以 $~\{y_k\}~$ 可由 $~\mathcal{B}_f~$ 中的有限多个元素线性组合得到。
- 结论： $\mathcal{B}_f$ 生成了整个 $~\mathbb{S}_f~$ 。
证明： $\mathcal{B}_f$ 线性无关
- 假设存在有限个系数 $~c_j~$ ，使得：
  $\sum_{j=p}^{q} c_j \cdot \mathcal{S}^j(\delta) = 0$
- 展开后该信号在 $~k=p,~,\cdots,~q~$ 处分别为 $~c_p,~\cdots,~c_q~$ ；
- 若该线性组合为零信号，说明这些位置上的值都为 $~0~$ ：
  $c_p = c_{p+1} = \cdots = c_q = 0$
- 因此， $\mathcal{B}_f$ 中的元素线性无关。
结论
- $\mathcal{B}_f~$ 同时满足生成性和线性无关性；
- 所以它是 $~\mathbb{S}_f~$ 的一组基；
- 因为它包含无限多个元素 $(~j \in \mathbb{Z}~)$ ，所以 $~\mathbb{S}_f~$ 是无限维向量空间。

有限支持信号空间 $~\mathbb{S}_f~$ 是一个无限维空间，因为它的基包含了无限多个元素。尽管这些基元素是通过平移单位冲激信号得到的，但它们的数量是无限的，因此整个空间 $~\mathbb{S}_f~$ 也是无限维的。

4.6 基变换

4.8 在差分方程中的应用

数字信号处理

1. 引言

2. 离散时间信号

3. 线性时不变( LTI )(\text{~LTI}~)( LTI )变换

1验证线性性

2验证时不变性

3验证可逆性

4. LTI \text{LTI}~LTI 变换在信号处理中的应用

4.1 移动平均变换

4.2 信号组合与声学质量增强

5. 有限维子空间的基生成方法

证定理 17 ~17~ 17

解例 4 ~4~ 4

6. 有限支持信号空间及其无限维基

证定理 18 ~18~ 18

3. 线性时不变 $(\text{~LTI}~)$ 变换

4. $\text{LTI}~$ 变换在信号处理中的应用