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在差分方程中的应用

1. 差分方程的应用概述

差分方程 ( difference equations ) ~(~\text{difference equations}~)~是一种通过递归关系描述离散信号系统的数学工具，它描述了输入信号 xk ~x_k~和过去一段时间内的输出信号( yk, yk−1, ⋯ , yk−n )(~y_k,~y_{k-1},~\cdots,~y_{k-n}~)之间的关系。在许多实际场景中，差分方程用于设计数字滤波器，帮助去除噪声、提取特定频率成分或平滑信号。即便是在描述连续过程时，差分方程也常被用来通过离散化的方式求解微分方程的数值解。此外，差分方程的理论基础可以通过线性代数中的线性变换和向量空间等概念来解释，进一步增强了它在信号处理中的应用深度和广度。

2. 信号空间中的线性独立性

为了深入理解差分方程的解和系统的动态行为（如系统的稳定性、响应特性和时间演化），我们需要讨论信号空间中的线性独立性。线性独立性确保了我们能够构建完整且唯一的解集，从而帮助我们准确地描述和处理信号的动态特性。

2.1 线性独立性的定义

在信号空间 S ~\mathbb{S}~中，考虑的信号集 {uk} ,{vk}, {wk} ~\{u_k\}~,\{v_k\},~\{w_k\}~是线性独立的，当且仅当对于任意的常数系数 c1, c2, c3 ~c_1,~c_2,~c_3~，如果
c1uk+c2vk+c3wk=0,k∈Z(1)c_1 u_k + c_2 v_k + c_3 w_k = 0, \quad k\in \mathbb{Z} \tag{1}
则 c1=c2=c3=0 ~c_1 = c_2 = c_3 = 0~。

2.2  Casorati ~\text{Casorati}~矩阵与线性独立性

为了验证信号的线性独立性，我们需要引入 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵的概念。对于三个信号 {uk},{vk},{wk} ~\{u_k\},\{v_k\},\{w_k\}~， Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵是由这些信号在不同时刻的取值构成的矩阵。具体来说，假设我们考察信号在时刻 k, k+1 ~k,~k+1~和 k+2 ~k+2~的取值，形成一个如下的矩阵：
C(k)=[ukvkwkuk+1vk+1wk+1uk+2vk+2wk+2](2)\mathbf{C}(k) = \begin{bmatrix} u_k & v_k & w_k \\ u_{k+1} & v_{k+1} & w_{k+1} \\ u_{k+2} & v_{k+2} & w_{k+2} \end{bmatrix}\tag{2}
此矩阵被称为 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵。该矩阵的行列式被称为 Casoratian ~\textbf{Casoratian}~，即：
Casoratian=det⁡(C(k))(3)\textbf{Casoratian} = \det(\mathbf{C}(k)) \tag{3}
它是检验信号是否线性独立的一个重要工具。如果这个行列式不为零，则信号 {uk},{vk},{wk} ~\{u_k\},\{v_k\},\{w_k\}~线性独立。反之，如果行列式为零，则信号可能是线性相关的。

2.3 应用示例

例1\mathbf{1}：证明信号 {1k}, {(−2)k}, {3k} ~\{1^k\},~\{(-2)^k\},~\{3^k\}~是线性无关信号。

  1. 构造 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵：

    首先，构造信号{1k}, {(−2)k}, {3k}\{1^k\},~\{(-2)^k\},~\{3^k\}在时刻 k, k+1, k+2 ~k,~k+1,~k+2~的取值，形成 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵：
    C(k)=[1k(−2)k3k1k+1(−2)k+13k+11k+2(−2)k+23k+2]\mathbf{C}(k) = \begin{bmatrix} 1^k & (-2)^k & 3^k \\ 1^{k+1} & (-2)^{k+1} & 3^{k+1} \\ 1^{k+2} & (-2)^{k+2} & 3^{k+2} \end{bmatrix}

  2. 代入具体数值：

    为了验证矩阵是否可逆，我们可以选择 k=0 ~k=0~来代入具体的数值（信号在不同时间点的取值模式一致，所以在 k=0 ~k=0~时验证矩阵行列式非零即可推断信号在整个信号空间中的线性独立性）：
    C(0)=[1111−23149]\mathbf{C}(0) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

  3. 行变换简化矩阵：

    通过行变换简化矩阵，得到：
    [1111−23149]∼[1110−320010]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}
    行列式非零， Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵可逆。

  4. 结论：

    由于 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵在 k=0 ~k=0~时可逆，因此信号 {1k}, {(−2)k}, {3k} ~\{1^k\},~\{(-2)^k\},~\{3^k\}~线性独立。

通过构造并简化 Casorati ~\textbf{Casorati}~矩阵，我们可以验证信号 {1k}, {(−2)k}, {3k} ~\{1^k\},~\{(-2)^k\},~\{3^k\}~在信号空间中的线性独立性。此方法基于行列式 Casoratian ~\textbf{Casoratian}~的非零性，表明这三个信号在任何情况下都是线性独立的。

2.4  Casorati ~\text{Casorati}~不可逆的情况

如果 Casoratian ~\textbf{Casoratian}~矩阵不可逆，则被测试的信号可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果这些信号是同一个齐次差分方程的解，那么可以得出以下结论：

  1. 如果 Casoratian ~\textbf{Casoratian}~矩阵对所有时刻 k ~k~都是可逆的，信号必然是线性独立的；

  2. 如果 Casoratian ~\textbf{Casoratian}~矩阵对所有时刻 k ~k~都是不可逆的，信号必然是线性相关的。

3. 线性差分方程

为了分析信号处理系统的行为，特别是滤波器的设计与响应，我们需要讨论线性差分方程。差分方程能描述信号随时间的演变，揭示输入与输出之间的关系，从而有效地设计和分析离散时间系统的动态特性。

3.1 线性差分方程的基本定义

线性差分方程（或称线性递推关系）描述了离散时间系统中，输出信号与过去若干时刻的输入或输出信号之间的关系。其一般形式为：
a0yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=xk,k∈Z(4)a_0 y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k = x_k,\quad k \in \mathbb{Z} \tag{4}
此方程被称为 n ~\mathbf{n}~阶线性差分方程（或线性递归关系）。其中，yk y_k~表示输出信号（或序列），xk x_k~表示输入信号，a0, a1, ⋯ , an a_0,~a_1,~\cdots,~a_n~是常数系数，且 k ~k~是时间索引。这个方程表明，输出信号 yk ~y_k~与前几个时刻的输出信号（如 yk−1, yk−1, ⋯ ~y_{k-1},~y_{k-1},~\cdots~）之间存在递推关系。

3.2 齐次与非齐次差分方程

差分方程可以分为齐次差分方程和非齐次差分方程两种形式：

  • 齐次差分方程：右侧为零时，称为齐次差分方程。形式如：
    a0yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=0a_0y_{k+n} + a_1y_{k+n-1} + \cdots + a_ny_k = 0
    齐次差分方程常用于描述系统的自然响应，即没有外部输入时系统的行为。
  • 非齐次差分方程：右侧不为零时，称为非齐次差分方程。形式如：
    a0yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=xka_0y_{k+n} + a_1y_{k+n-1} + \cdots + a_ny_k = x_k
    这种方程用于描述系统在外部输入影响下的响应。

3.3 差分方程在数字信号处理中的应用

差分方程在数字信号处理 ( DSP ) ~(~\text{DSP}~)~中具有广泛应用，尤其是在设计线性时不变 ( LTI ) ~(~\text{LTI}~)~滤波器时。LTI \text{LTI}~系统的输出与输入之间的关系可以通过差分方程来描述。一般来说，LTI \text{LTI}~系统的差分方程可以由 (4) ~(4)~来描述。为了更系统地表示这种关系，可以引入移位算子 S ~S~，其中 S−1(yk)=yk−1 ~S^{-1}(y_k) = y_{k-1}~，表示信号向前移动一位。借助移位算子，可以将差分方程写成如下的算子形式：
T=a0S−n+a1S−n+1+⋯+anS0T = a_0S^{-n} + a_1S^{-n+1} + \cdots + a_nS^0
其中，算子 T ~T~作用于输出信号序列 {yk}~\{y_k\}，并得到输入信号序列 {xk} ~\{x_k\}~，即：
T(y)=xT(y) = x

3.4 差分方程低通滤波器的具体示例

例2\mathbf{2}：将两个不同的离散信号输入到如下差分方程定义的滤波器中：
0.35 yk+2+0.5 yk+1+0.35 yk=xk0.35\, y_{k+2} + 0.5\, y_{k+1} + 0.35\, y_k = x_k
信号 1~1：{yk} \{y_k\}~是由函数 y=cos⁡(πt/4) ~y = \cos(\pi t/4)~以整数时间点采样而得，即：
{yk}={…,1,0.7,0,−0.7,−1,−0.7,0,0.7,1,0.7,0,…}\{y_k\} = \{\ldots, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, 0.7, 1, 0.7, 0, \ldots\}
信号 2~2：{wk} \{w_k\}~是由函数 y=cos⁡(3πt/4) ~y = \cos(3\pi t/4)~以整数时间点采样而得，它相较于信号 1 ~1~的频率更高：
{wk}={…,1,−0.7,0,0.7,−1,0.7,0,−0.7,1,−0.7,0,…}\{w_k\} = \{\ldots, 1, -0.7, 0, 0.7, -1, 0.7, 0, -0.7, 1, -0.7, 0, \ldots\}
请将这两个信号分别输入该滤波器，观察输出行为。

将 {yk} ~\{y_k\}~带入差分方程 (8) ~(8)~的左边，按如下表计算右边 xk ~x_k~的值：
kkyky_kyk+1y_{k+1}yk+2y_{k+2}0.35yk+0.5yk+1+0.35yk+20.35y_k + 0.5y_{k+1} + 0.35y_{k+2}
010.700.35×1+0.5×0.7+0=0.70.35 \times 1 + 0.5 \times 0.7 + 0 = 0.7
10.70-0.70.35×0.7+0+0.35×(−0.7)=00.35 \times 0.7 + 0 + 0.35 \times (-0.7) = 0
20-0.7-10+0.5×(−0.7)+0.35×(−1)=−0.70 + 0.5 \times (-0.7) + 0.35 \times (-1) = -0.7
……………

可以观察到：输出是输入信号向前“延迟一位”的结果，如下图所示：

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将高频信号 {wk} ~\{w_k\}~输入到同样的差分方程中，结果得到零序列输出，即：
kkwkw_kwk+1w_{k+1}wk+2w_{k+2}0.35wk+0.5wk+1+0.35wk+20.35w_k + 0.5w_{k+1} + 0.35w_{k+2}
01-0.700.35×1+0.5×(−0.7)+0=00.35 \times 1 + 0.5 \times (-0.7) + 0 = 0
1-0.700.70.35×(−0.7)+0+0.35×0.7=00.35 \times (-0.7) + 0 + 0.35 \times 0.7 = 0
200.7-10+0.5×0.7+0.35×(−1)=00 + 0.5 \times 0.7 + 0.35 \times (-1) = 0
……………

可以观察到：输出的高频信号被抑制，如下所示：

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本例中的差分方程 (8) ~(8)~构成了一个低通滤波器 ( low-pass filter ) ~(~\textbf{low-pass filter}~)~：它保留了 cos⁡(πt/4) ~\cos(\pi t/4)~等低频分量，阻断 cos⁡(3πt/4) ~\cos(3\pi t/4)~等高频信号。

4. 线性差分方程的解

例3\mathbf{3}：求出以下三阶齐次差分方程的若干解：
yk+3−2yk+2−5yk+1+6yk=0y_{k+3} - 2y_{k+2} - 5y_{k+1} + 6y_k = 0
解题思路分析：在求解这类线性常系数齐次差分方程时，我们采用指数型信号 yk=rk ~y_k=r^k~作为试探解，因为这种形式在移位操作下保持封闭，代入方程后可以简化为一个关于 r ~r~的代数方程（辅助方程或特征方程）。通过求解特征方程的根，我们就能构造出差分方程的一组基本解，进而得到通解。

解题步骤如下：

  1. 设定形式解

    尝试令解为指数型信号 yk=rk ~y_k = r^k~，代入差分方程：
    rk+3−2rk+2−5rk+1+6rk=0r^{k+3} - 2r^{k+2} - 5r^{k+1} + 6r^k = 0
    提取公共因子 A ~A~，得到：
    rk(r3−2r2−5r+6)=0r^k(r^3 - 2r^2 - 5r + 6) = 0

  2. 求解辅助方程  ( auxiliary equation )~~(~\textbf{auxiliary equation}~)

    r3−2r2−5r+6=0r^3-2r^2-5r+6=0
    分解因式：
    (r−1)(r+2)(r−3)=0(r-1)(r+2)(r-3) = 0
    得到三个根：
    r1=1,r2=−2,r3=3r_1 = 1,\quad r_2 = -2,\quad r_3 = 3

  3. 构造解集

    对应的三个指数型解分别为：
    yk=1k,yk=(−2)k,yk=3ky_k = 1^k, \quad y_k = (-2)^k, \quad y_k = 3^k
    即三个解信号为：
    {1k},{(−2)k},{3k}\{1^k\}, \quad \{(-2)^k\}, \quad \{3^k\}

  4. 验证任一解是否满足原式（以 3k ~3^k~为例）

    将 3k ~3^k~代入 (9) ~(9)~，得：
    3k+3−2⋅3k+2−5⋅3k+1+6⋅3k=3k(27−18−15+6)=3k⋅0=03^{k+3} - 2 \cdot 3^{k+2} - 5 \cdot 3^{k+1} + 6 \cdot 3^k = 3^k(27 - 18 - 15 + 6) = 3^k \cdot 0 = 0
    验证通过，说明 3k ~3^k~是原方程的一个解。
一般情况总结：差分方程本质上是涉及多个移位项的线性组合，如：
a0yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=0a_0 y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k = 0
当我们设 yk=rk ~y_k=r^k~时，每一项都变成：
yk+i=rk+i=ri⋅rky_{k+i} = r^{k+i} = r^i \cdot r^k
于是整个方程变成：
rk(a0rn+a1rn−1+⋯+an)=0r^k(a_0 r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_n) = 0
其中：
a0rn+a1rn−1+⋯+an=0(6)a_0 r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_n = 0\tag{6}
这个关于 r ~r~的代数多项式方程就是辅助方程 ( auxiliary equation ) ~(~\textbf{auxiliary equation}~)~，更常见的叫法是特征方程。它将原始的递推型差分方程转化为代数问题，它的所有根 r1, r2, ⋯ , rn ~r_1,~r_2,~\cdots,~r_n~对应差分方程的指数型解 yk=rik ~y_k=r_i^k~。而根的类型（实根、重根、复根）决定了解的结构（例如，若出现复根，则对应的实数解为 skcos⁡(kw) ~s^k\cos(kw)~和 sksin⁡(kw) ~s^k\sin(kw)~，如例 2 ~2~中的两个信号）。

5. 线性差分方程的解空间

在研究线性差分方程时，我们关心的不只是某个特定解，而是所有解的整体结构。了解其解空间结构，有助于判断解的存在性与唯一性，明确通解的表达形式，并借助线性代数工具进行系统分析与求解，从而更深入地理解问题本质。

5.1 信号变换与差分方程的线性结构

在上一节中，我们通过构造一个线性时不变 ( LTI ) ~(~\text{LTI}~)~变换 T ~T~，，将差分方程看作一个信号变换的过程：
T=a0S−n+a1S−n+1+⋯+anS0T = a_0 S^{-n} + a_1 S^{-n+1} + \cdots + a_n S^0
其中 S ~S~表示“移位操作”，如 S−1(yk)=yk+1 ~S^{-1}(y_k) = y_{k+1}~。这个变换可以将一个信号 {yk} ~\{y_k\}~映射为另一个信号 {wk} ~\{w_k\}~，形式为：
wk=yk+n+a1yk+n−1+⋯+anykw_k = y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k
这个表达式实际上正是差分方程 (4) ~(4)~的左边。由此我们可以看出，差分方程本质上是一个线性变换作用于信号空间的结果。

5.2 解集是线性变换的核

齐次差分方程的解集正是该线性变换 T ~T~的核 ( null space ) ~(~\text{null space}~)~，即满足：
T({yk})=0  ⟺  差分方程成立T(\{y_k\}) = 0 \iff \small{差分方程成立}
由于线性变换的核一定是一个向量空间的子空间，这就意味着所有解的集合也具有线性结构。对于线性结构的解空间，我们自然关心两个基本问题：其一，解是否唯一？其二，这个解空间有多大、维度是多少？接下来的两个定理将分别解答这两个关键问题。

5.3 解的唯一性

定理 19 ~19~保证了差分方程在给定初始条件时解的唯一性，这是构建解空间结构、定义线性映射并分析维度的关键基础。

  1. 正向递推 ( k≥0 ) ~(~k \geq 0~)~

    当给出 y0, y1, ⋯ ,yn−1 ~y_0,~y_1,~\cdots,y_{n - 1}~后，我们可以通过差分方程计算：
    • 从 k=0 ~k=0~开始，计算：
      yn=z0−(a1yn−1+⋯+any0)y_n = z_0 - (a_1 y_{n-1} + \cdots + a_n y_0)
    • 然后递推 k=1 ~k=1~：
      yn+1=z1−(a2yn−1+⋯+any1)y_{n+1} = z_1 - (a_2 y_{n-1} + \cdots + a_n y_1)
    • 推广为一般形式：
      yn+k=zk−(a1yk+n−1+⋯+anyk)对所有 k≥0 成立(8)y_{n+k} = z_k - (a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k) \quad \small{对所有}~ k \geq 0 ~\small{成立} \tag{8}

  2. 反向递推 ( k<0 ) ~(~k < 0~)~

    若需计算负下标的项 yk ~y_k~，我们将原式 (7) ~(7)~改写，把 yk ~y_k~放在等号左边，其它移到右边：
    anyk=zk−(yk+n+a1yk+n−1+⋯+an−1yk+1)a_n y_k = z_k - (y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_{n-1} y_{k+1})
    然后两边除以 an ~a_n~（因为 an≠0 ~a_n \neq 0~）：
    yk=1anzk−1an(yk+n+a1yk+n−1+⋯+an−1yk+1)(9)y_k = \frac{1}{a_n} z_k - \frac{1}{a_n} (y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_{n-1} y_{k+1}) \tag{9}
    这样就可以从 yk+1, ⋯ , yk+n ~y_{k+1},~\cdots,~y_{k+n}~和 zk ~z_k~推出 yk ~y_k~。

  3. 结论

    通过这两个方向的递推，整个信号 {yk} k∈Z ~\{y_k\}~k \in \mathbb{Z}~都被唯一确定。

5.4 解空间维度

定理 20 ~20~揭示了齐次差分方程解集的维度，明确了解空间是一个 n ~n~维向量空间，为我们寻找通解、构造基底提供了理论依据。

  1. H H~是子空间

    H H~是线性变换 T ~T~的核，所以 H⊆S ~H \subseteq S~。

  2. 构造线性映射

    对任意 {yk}∈H ~\{y_k\} \in H~，定义
    F({yk})=(y0,y1,…,yn−1)∈RnF(\{y_k\}) = (y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}) \in \mathbb{R}^n
    通过证明其加法、数乘封闭，可知这是一个线性变换。

  3. 证明 F ~F~是双射（同构）

    利用定理 19 ~19~，已知每组初值 (y0, ⋯ , yn−1) ~(y_0,~\cdots,~y_{n-1})~唯一对应一个解，所以 F ~F~是一一对应的映射，且满射。

  4. 结论

    F F~是从 H ~H~到 Rn ~\mathbb{R^n}~的线性同构，因此：
    dim⁡H=dim⁡Rn=n\dim H = \dim \mathbb{R}^n = n

5.5 示例：构造差分方程解空间的一个基

例4\mathbf{4}：求下面这个齐次差分方程的所有解组成的集合的一个基：
yk+3−2yk+2−5yk+1+6yk=0k∈Zy_{k+3} - 2y_{k+2} - 5y_{k+1} + 6y_k = 0 \quad k\in \mathbb{Z}

  1. 判断解空间维度

    由于这是一道三阶齐次线性差分方程（其中最高的下标是 k+3 ~k+3~，推断 n=3 ~n=3~），根据定理 20 ~20~，解空间是一个三维向量空间。

  2. 确定线性无关解集

    例 3 ~3~中已求得三个线性无关解（信号）：
    {1k},{(−2)k},{3k}\{1^k\}, \quad \{(-2)^k\}, \quad \{3^k\}

  3. 结论

    三维解空间的基可由三个线性无关向量组成，那么下面三个信号：
    {1k},{(−2)k},{3k}\{1^k\}, \quad \{(-2)^k\}, \quad \{3^k\}
    构成了解空间的一个基。

6. 非齐次差分方程的通解结构

对于非齐次差分方程
a0yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=xka_0y_{k+n} + a_1y_{k+n-1} + \cdots + a_ny_k = x_k
由于差分方程本质上是一个线性变换，所以非齐次差分方程的通解形式为：
yk=ykh+ykpy_k = y_k^h + y_k^p
其中 ykh ~y_k^h~是齐次方程的通解， ykp ~y_k^p~是非齐次方程的一个特解。这个结构和非齐次线性方程组的解集的结构是相同的。
例5\mathbf{5}：验证信号 {yk}={k2} ~\{y_k\} = \{k^2\}~满足差分方程：
yk+2−4yk+1+3yk=−4k(7)y_{k+2} - 4y_{k+1} + 3y_k = -4k\tag{7}
然后给出该差分方程的通解表达式。

  1. 验证{k2}\{k^2\}是否为特解

    将 yk=k2 ~y_k = k^2~代入方程 (7) ~(7)~的左边：
    (k+2)2−4(k+1)2+3k2=(k2+4k+4)−4(k2+2k+1)+3k2=(k2+4k+4)−(4k2+8k+4)+3k2=−4k\begin{align*} &\quad (k + 2)^2 - 4(k + 1)^2 + 3k^2 \\[1ex] &= (k^2 + 4k + 4) - 4(k^2 + 2k + 1) + 3k^2\\[1ex] &=(k^2 + 4k + 4) - (4k^2 + 8k + 4) + 3k^2\\[1ex] &= -4k \end{align*}
    结果和 (7) ~(7)~右边相等，所有 {k2} ~\{k^2\}~是 (7) ~(7)~的一个特解。

  2. 求对应齐次方程的通解

    对应的齐次方程为：
    yk+2−4yk+1+3yk=0y_{k+2} - 4y_{k+1} + 3y_k = 0
    其特征方程（辅助方程）：
    r2−4r+3=(r−1)(r−3)=0r^2 - 4r + 3 = (r - 1)(r - 3) = 0
    解得根： r1=1, r2=3 ~r_1 = 1,~r_2 = 3~。所以齐次解为：
    yk(h)=c1⋅1k+c2⋅3ky_k^{(h)} = c_1 \cdot 1^k + c_2 \cdot 3^k

  3. 非齐次方程的通解

    将特解 {k2} ~\{k^2\}~齐次解组合：
    yk=k2+c1⋅1k+c2⋅3ky_k = k^2 + c_1 \cdot 1^k + c_2 \cdot 3^k
    或写成集合表示：
    {yk}={k2}+c1{1k}+c2{3k}\{y_k\} = \{k^2\} + c_1\{1^k\} + c_2\{3^k\}

7. 将高阶差分方程转化为一阶系统

在前面我们学习了 n ~n~阶线性差分方程的一般形式：
yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=0k∈Zy_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k = 0 \quad k\in \mathbb{Z}
这样的高阶差分方程虽然在理论上可以求解，但在实际应用（特别是数值计算、动态系统建模、控制理论、信号处理等）中，直接处理高阶标量方程既不方便，也不利于系统性分析。现代工程和科学计算中，我们更倾向于使用向量形式的一阶系统来表示复杂的动态过程，其标准形式为：
xk+1=Axkk∈Z\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_k \quad k\in \mathbb{Z}
这种表示方式不仅能统一处理多个状态变量，还能更方便地运用线性代数工具进行系统分析与求解，同时也为数值模拟和稳定性研究提供了高效可行的表达方式，是现代动态系统建模的重要方法。
例6\mathbf{6}：将以下差分方程写成一阶系统的形式：
yk+3−2yk+2−5yk+1+6yk=0k∈Zy_{k+3} - 2y_{k+2} - 5y_{k+1} + 6y_k = 0 \quad k\in \mathbb{Z}

  1. 定义状态向量 xk ~\mathbf{x}_k~

    为将三阶差分方程转化为一阶系统，文档引入了状态向量：
    xk=[ykyk+1yk+2]\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix}y_k \\ y_{k+1} \\ y_{k+2}\end{bmatrix}
    表示的是当前时刻 k ~k~开始的三个连续状态值。

  2. 写出 xk+1 ~\mathbf{x}_{k+1}~的表达式

    由状态向量定义可知：
    xk+1=[yk+1yk+2yk+3]\mathbf{x}_{k+1} = \begin{bmatrix}y_{k+1} \\ y_{k+2} \\ y_{k+3}\end{bmatrix}
    而差分方程告诉我们：
    yk+3=2yk+2+5yk+1−6yky_{k+3} = 2y_{k+2} + 5y_{k+1} - 6y_k
    于是可以将 xk+1 ~\mathbf{x}_{k+1}~写成 xk ~\mathbf{x}_k~的线性组合：
    xk+1=[yk+1yk+2−6yk+5yk+1+2yk+2]=Axk\mathbf{x}_{k+1} = \begin{bmatrix} y_{k+1} \\ y_{k+2} \\ -6y_k + 5y_{k+1} + 2y_{k+2} \end{bmatrix} = \mathbf{A} \mathbf{x}_k

  3. 写出系统矩阵 A ~\mathbf{A}~

    由上述关系得到：
    A=[010001−652]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2 \end{bmatrix}
    因此，一阶向量系统可表示为：
    xk+1=xk∈Z\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}\quad k\in \mathbb{Z}
对例 6 ~6~进一步推广至一般的阶差分方程：
yk+n+a1yk+n−1+⋯+anyk=0y_{k+n} + a_1 y_{k+n-1} + \cdots + a_n y_k = 0
对应的状态变量为：
xk=[ykyk+1⋮yk+n−1]\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} y_k \\ y_{k+1} \\ \vdots \\ y_{k+n-1} \end{bmatrix}
系统矩阵 A ~\mathbf{A}~是一个 n×n ~n\times n~的结构化矩阵：
A=[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−an−an−1−an−2⋯−a1]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix}

4.7 数字信号处理

5.1 特征向量与特征值

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