线性方程组的解集

在线性代数中，线性方程组通常可以分为齐次方程组和非齐次方程组这两种基本类型。它们有不同的性质和解的结构，我们要分开讨论。

1. 齐次线性方程组的解集

从定义可以看出，齐次方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 至少有一个解，即 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$，（$\mathbf{0}$ 是 $\mathbb{R^n}$ 空间中的零向量）。这个解被称为平凡解。对于 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 是否有非平凡解（即非零解），我们可以根据本章节的定理2得出如下结论：

我们来看下面两个齐次线性方程组，并描述它的解集：

我们在 $1.2$ 节用解集的参数表示来描述线性方程组的解集，在上面的两个示例中我们使用的是参数向量的形式来描述的它们。当齐次方程组中有一个自由变量 $x_3$ 时，我们把解集写成 $\mathbf{x}=x_3\mathbf{v}$（$x_3$ 为实数）的形式；当齐次方程有两个自由变量 $x_2,x_3$ 时，我们把解集写成 $\mathbf{x}=x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$（$x_2,x_3$ 为实数）的形式；同理，当齐次方程组有 $n$ 个自由变量时，我们可以把解集写成 $\mathbf{x}=a_1\mathbf{v_1}+a_2\mathbf{v_2}+\dots+a_n\mathbf{v_n}$（$a_1,a_2,\dots,a_n$ 为实数）的形式。

2. 齐次线性方程组解集的几何表示

当我们用参数向量的形式来描述齐次方程组的解集时，实际上强调的是解集可以表示为若干向量的线性组合。这些解集可以用 $\text{Span}{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_p}}$（向量空间） 来表示。那么解集 $\mathbf{x}=x_3\mathbf{v}$ 可以用 $\text{Span}{\mathbf{v}}$ 来表示， 解集 $\mathbf{x}=x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$ 可以用 $\text{Span}{\mathbf{u},\mathbf{v}}$ 来表示。对于 $\mathbf{x}\in\mathbb{R^3}$，可查看向量方程一节，对$\text{Span}{\mathbf{v}},\text{Span}{\mathbf{u},\mathbf{v}}$ 的几何解释。

3. 非齐次线性方程组的解集

下面两个非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，它们的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 和前面两个案例中的系数矩阵是相同，下面我们对它们的增广矩阵进行行化简，并使用参数向量方程来表示它们的解集：

对比齐次线性方程组的解集，非齐次线性方程组的解集就是在对应齐次线性方程组解集的基础上加上一个向量 $\mathbf{b}$。上面两个示例中，当线性方程组中有一个自由变量 $x_3$ 时，它的解集可以写成 $\mathbf{x}=\mathbf{p}+x_3\mathbf{v}$（$x_3$ 为实数）；当线性方程组中有两个自由变量时，它的解集可以写成 $\mathbf{x}=\mathbf{p}+x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$ 的形式；同理，当线性方程组有 $n$ 个自由变量时，它对应的解集可以写成 $\mathbf{x}=\mathbf{p}+a_1\mathbf{v_1}+a_2\mathbf{v_2}+\dots+a_n\mathbf{v_n}$ 的形式。

4. 非齐次线性方程组解集的几何表示

从几何上来看，非齐次线性方程组的解集是由其对应的齐次线性方程组的解集沿 $\mathbf{v}$ 方向平移得到的。对于 $\mathbf{v}\in\mathbb{R^2}$，解集 $\mathbf{b}+t\mathbf{v}$ 就是由 $t\mathbf{v}$ 上进行平移而得到的；而在 $\mathbb{R^3}$ 中，$\mathbf{b}+x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$ 就是由平面 $x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$ 沿向量 $\mathbf{b}$ 平移后得到的。

结合以上分析，我们可以得到下面定理（前提是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有非零解 $\mathbf{p}$）：

这个定理揭示了线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集的结构，也就是它的解集是由一个特解和对应齐次方程组的解的线性组合，这在几何上可以理解为一个平移后的向量空间；另外通过该定理，我们可以将求解非齐次方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的问题简化为两个步骤：