行化简与阶梯形矩阵
通过行化简算法和阶梯形矩阵，系统地分析和解决线性方程组，以确定其解的存在性和唯一性
行化简算法（也称行消去法），可用于解任意线性方程组，这种算法也适用于任意矩阵。对于矩阵来说，进行行化简的过程，就是逐步地把矩阵化简为阶梯形（或行阶梯形）矩阵的形式，或更进一步地化简为简化阶梯形（或简化行阶梯形）。下面是这两种矩阵的定义，其中非零行（或列）指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。
任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵，但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。
定理 1
简化阶梯形矩阵的唯一性
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵
若矩阵A行等价于阶梯形矩阵U，则称U为A的阶梯形（或行阶梯形），可以用 REF ( Row Echelon Form ) 表示；若U是简化阶梯形，则称U为A的简化阶梯形，可以用RREF ( Reduced Row Echelon Form ) 表示。
2. 主元位置
由于任何矩阵的简化阶梯形都是唯一的，所以矩阵进行行化简后的先导元素总是在相同的位置上。先导元素又叫
主元 ( Pivot ) ，它所在的位置叫
主元位置 ( Pivot Positions ) ，主元位置所在的列叫
主元列 ( Pivot Column ) 。下面是对它们的具体定义：
定义
主元位置、主元列
矩阵中的
主元位置是
A中对应于它的简化阶梯形中先导元素
1 的位置。
主元列是
A的含有主元位置的列。
观察下面这个计算矩阵主元列的过程，基于这个过程，随后我们会总结出一个把任意矩阵转化为阶梯形或简化阶梯形矩阵的通用算法。
3. 行化简算法
行化简算法总共分五个步骤，前四步会把矩阵转化成阶梯形矩阵，第五步则会把矩阵进一步转化为简化阶梯形。具体过程如下：
在主元列中选取一个非零元素作为主元（通常取绝对值最大的元素）。如有必要，进行行交换将这个元素放到主元位置。
用倍加行变换将主元下面的元素变为 0 。
将主元列向右移动一列，对剩下的子矩阵重复前面的步骤，直到没有非零行需要处理位置。
由最右边的主元开始，把每个主元上方的各元素变为 0。若主元不是 1 ，用倍乘变换将它变成 1 。
对于行化简算法，不同教材对具体步骤的描述不尽相同。但总的来说，该算法分为两个主要过程：一个是
前向消元 (Forward Elimination) ，通过行变换将矩阵变为阶梯形；一个是
后向替代 (Backward Substitution) ，通过消元得到简化阶梯形。
4. 线性方程组的解
行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。下面是某个线性方程组的增广矩阵和对应的简化阶梯形：
对应于主元列的变量 x1 和 x2 称为基本变量。 其它变量（如 x3 ）称为自由变量。只要线性方程组是相容的，它的解集就可以显示表示，我们只需要把方程组对应增广矩阵转化为简化阶梯形，再用自由变量表示基本变量即可。例如上面方程组解的显示表示如下：
上面方程组解集的表示形式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如下面就是同一个方程组的解集的两种不同参数表示：
5. 存在性和唯一性问题
当我们把方程组对应的增广矩阵转化为阶梯形后，就可以回答上一节提到的两个基本问题了。有如下定理：
定理 2
存在性与唯一性定理
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如
[0⋯0b],b=0 的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情况：
(i)没有自由变量时，有唯一解；
(ii)若至少有一个自由变量，则有无穷多解。
观察下面的示例来理解上面这个定理：
