行化简与阶梯形矩阵

1. 阶梯形矩阵

行化简算法（也称行消去法），可用于解任意线性方程组，这种算法也适用于任意矩阵。对于矩阵来说，进行行化简的过程，就是逐步地把矩阵化简为阶梯形（或行阶梯形）矩阵的形式，或更进一步地化简为简化阶梯形（或简化行阶梯形）。下面是这两种矩阵的定义，其中非零行（或列）指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵，但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵 $\mathbf{A}$ 行等价于阶梯形矩阵 $\mathbf{U}$，则称 $\mathbf{U}$ 为 $\mathbf{A}$ 的阶梯形，可以用 REF（Row Echelon Form）表示；若 $\mathbf{U}$ 是简化阶梯形，则称 $\mathbf{U}$ 为 $\mathbf{A}$ 的简化阶梯形，可以用 RREF（Reduced Row Echelon Form）表示。

2. 主元位置

由于任何矩阵的简化阶梯形都是唯一的，所以矩阵进行行化简后的先导元素总是在相同的位置上。先导元素又叫主元（Pivot），它所在的位置叫主元位置（Pivot Positions），主元位置所在的列叫主元列（Pivot Column）。下面是对它们的具体定义：

观察下面这个计算矩阵主元列的过程，基于这个过程，随后我们会总结出一个把任意矩阵转化为阶梯形或简化阶梯形矩阵的通用算法。

3. 行化简算法

行化简算法总共分五个步骤，前四步会把矩阵转化成阶梯形矩阵，第五步则会把矩阵进一步转化为简化阶梯形。具体过程如下：

4. 线性方程组的解

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。下面是某个线性方程组的增广矩阵和对应的简化阶梯形：

对应于主元列的变量 $x_1$ 和 $x_2$ 称为基本变量。其它变量（如 $x_3$）称为自由变量。只要线性方程组是相容的，它的解集就可以显示表示，我们只需要把方程组对应增广矩阵转化为简化阶梯形，再用自由变量表示基本变量即可。例如上面方程组解的显示表示如下：

上面方程组解集的表示形式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如下面就是同一个方程组的解集的两种不同参数表示：

5. 存在性和唯一性问题

当我们把方程组对应的增广矩阵转化为阶梯形后，就可以回答上一节提到的两个基本问题了。有如下定理：有如下定理：有如下定理：有如下定理：有如下定理：有如下定理：

观察下面的示例来理解上面这个定理：