向量方程

这一节我们引入向量的概念，来继续讨论线性方程组中的一些重要性质。

1. $\mathbb{R}^2$ 中的向量

仅含有一列的矩阵称为列向量，或简称向量。下面向量都是 $\mathbb{R}^2$（实数域的二维空间）中的向量：

向量之间有两种最基本的运算，向量加法和标量乘法，这两种运算满足八条运算规则。

2. $\mathbb{R}^3$ 中的向量

$\mathbb{R}^3$（实数域三维空间）中的向量是一个 3 行 1 列的矩阵，$\mathbb{R}^2$ 中的向量运算同样适用于 $\mathbb{R}^3$（下面是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量加法运算）：

3. $\mathbb{R}^n$ 中的向量

推广到 $n$ 维实数域空间，若 $n$ 是正整数，则 $\mathbb{R}^n$ 表示所有 $n$ 个实数的集合，通常写成 $n\times 1$ 列矩阵的形式，如

所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\mathbf{0}$ 表示。$\mathbb{R}^n$ 中向量同样可以进行加法和标量乘法运算。下面是向量运算的八条运算规则：

4. 线性组合

引入向量运算后，我们可以把线性方程组看作是向量间进行加权来生成新的向量的过程，这个过程就是线性组合。

例如下面两个向量 $\mathbf{v_1}=\begin{bmatrix}-1 & 1 \end{bmatrix}^T,\mathbf{v_2}=\begin{bmatrix}2 & 1 \end{bmatrix}^T$ 可以组合出 $\mathbb{R}^2$ 内的任意向量。

我们再来看线性方程组，它现在可以被看成是向量间的线性组合，请看下面的过程：

从上面的线性方程组到向量方程的演变过程可以得到如下结论：

给定一组向量 $\{v_1, v_2, \ldots, v_p\}$，我们关心的是所有可以通过这组向量的线性组合生成的向量；这些组合可以用 $\text{Span}\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_p}\}$ 来表示，有如下定义：

5. $\text{Span}\{\mathbf{v}\}$ 和 $\text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v} \}$ 的几何解释

$\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_n}\}$ 这组向量的所有线性组合构成一个子空间，称为这些向量的生成空间（我们会在第四章展开介绍）。从几何视角来看，$\text{Span}\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_p}\}$ 就是用来表示对应生成空间的。

对于 $\mathbb{R^3}$ 中的向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$，$\text{Span}\{\mathbf{v}\}$ 表示所有 $\mathbf{v}$ 的线性组合（也即 $\mathbf{v}$ 的标量乘法倍数的集合），几何上表示一条经过原点的直线。$\text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$ 表示由 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 确定的平面（前提是 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 不共线，也就是 $\mathbf{u}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的标量倍数）。同理，$\text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}, \mathbf{w}\}$（前提是 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 不在同一个平面上）表示整个 $\mathbb{R^3}$（三维实数域空间）。

现在我们就可以从几何角度上来讨论线性方程组解的存在性问题了。向量方程 $x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}=\mathbf{b}$ 是否有解，等价于向量 $\mathbf{b}$ 是否会落在由向量 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}$ 所确定的平面上。