线性方程组

1. 什么是线性方程组

线性方程组是由一个或几个包含相同变量 $X_1, X_2, ..., X_n$ 的线性方程组成的。这里的“线性”，指的是方程中的变量的次数是一次的。

含有 $2$ 个变量的线性方程组通常可以表示为 $ax + by = c$ 的形式，这些方程可以在二维空间 $\mathbb{R}^2$ 中用直线表示。含有 $3$ 个变量的线性方程组通常可以表示为 $ax + by + cz = d$ 的形式，这些方程可以在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中用平面表示。在高维空间中，方程组的几何表示变得更加抽象，但基本原理依然相同：每个方程代表一个超平面。

2. 线性方程组的解

方程组所有可能的解组成的集合称为解集。如果两个线性方程组有相同的解集 ，则这两个线性方程组等价。线性方程组解的情况有三种情况：有唯一解、无解、有无穷多解。如果方程组有解（唯一解或无穷多解），我们称这个方程组相容，如果方程组无解，则方程组不相容。

3. 系数矩阵和增广矩阵

线性方程组可以用一个矩阵来表示，把每一个变量的系数放到一列，这样的矩阵就是线性方程组的系数矩阵。如果把方程组等号右边的常数作为一列添加到系数矩阵中，就构成了增广矩阵。

4. 解线性方程组

解线性方程组的基本思想，是把方程组用一个更容易解的等价方程组代替。化简线性方程组有三种基本变换（初等行变换）：

线性方程组的变换对应于增广矩阵的行变换，行变换可以应用于任何矩阵。如果一个矩阵可经过一系列初等行变换变换成为另一个矩阵，我们称这两个矩阵行等价。如果两个线性方程组的增广矩阵是等价的，则它们有相同的解集。

5. 存在性与唯一性问题

线性方程组的两个基本问题是：方程组是否相容，即是否至少有一个解；如果有解，是否只有一个解，即解是否唯一。我们可以通过增广矩阵的行变换来解决这两个基本问题。

判断方程组是否有解，我们可以先通过行变换把方程组变成三角形，然后再根据最后一行的结果判断方程组是否有解，以及解是否唯一。