1.6 线性系统的应用

线性系统的应用

线性方程组通过建模多变量间的动态关系，为资源分配、流程优化及系统平衡等实际问题提供数学解决方案。

1. 经济学中的列昂惕夫模型

1.1 问题背景

在复杂的经济体系中，各生产部门通过相互交换资源实现协作。例如，煤炭部门需要电力支持生产，电力部门消耗煤炭发电，钢铁部门则依赖两者的资源。这种相互依赖关系要求收入与支出达到平衡，即每个部门的总收入（由其产出的价格决定）必须等于购买其他部门资源的总支出。列昂惕夫的“投入-产出”模型通过线性方程组将这种平衡关系数学化，从而求解出使所有部门收支相等的均衡价格。

1.2 线性方程组的作用

通过经济交换表，我们可以将各部门的产出分配比例转化为线性方程，构建齐次系统。通过求解该系统，可找到一组价格向量，使得每个部门的价格（收入）等于其购买其他部门产出的总成本（支出）。由于系统是齐次的（方程右侧全为零），解需通过自由变量参数化，体现价格比例关系而非绝对值。

1.3 示例

例 $~1~$ ：假设一个经济体由煤炭、电力、钢铁个部门组成，各部门的产出分配比例如下表所示：

产出分配来源	煤炭	电力	钢铁
煤炭部门	0	0.4	0.6
电力部门	0.6	0.1	0.2
钢铁部门	0.4	0.5	0.2

对于表格含义，以表格第二行为例说明：电力部门生成的电力 $~60\%~$ 分配给了煤炭部门、 $10\%~$ 用于自身运营、 $20\%~$ 分配给了钢铁部门。目标：求均衡价格 $~p_C,~p_E,~p_S~$ ，使得每个部门的总收入等于其总支出。

建立线性方程组
- 煤炭部门
  设收入： $~p_C~$
  支出：购买电力部门 $~40\%~$ 的产出（ $~0.4p_E~$ ）和钢铁部门 $~60\%~$ 的产出（ $~0.6p_S~$ ）。
  方程：
  $\begin{align*} & p_C = 0.4p_E + 0.6p_S\\[2ex] \Rightarrow \quad &p_C - 0.4p_E - 0.6p_S = 0\end{align*}$
- 电力部门
  设收入： $~p_E~$
  支出：购买煤炭部门 $~60\%~$ 的产出（ $~0.6p_C~$ ）、自身 $~10\%~$ 的产出（ $~0.1p_E~$ ）、钢铁部门 $~20\%~$ 的产出（ $~0.2p_S~$ ）。
  方程：
  $\begin{align*} & p_E = 0.6p_C + 0.1p_E + 0.2p_S\\[2ex] \Rightarrow \quad &-0.6p_C + 0.9p_E - 0.2p_S = 0\end{align*}$
- 钢铁部门
  设收入： $~p_S~$
  支出：购买煤炭部门 $~40\%~$ 的产出（ $~0.4p_C~$ ）、电力部门 $~50\%~$ 的产出（ $~0.5p_E~$ ）、自身 $~20\%~$ 的产出（ $~0.2p_S~$ ）。
  方程：
  $\begin{align*} & p_S = 0.4p_C + 0.5p_E + 0.2p_S\\[2ex] \Rightarrow \quad &-0.4p_C - 0.5p_E + 0.8p_S = 0\end{align*}$
行化简求解
- 线性方程组：
  $\left\{ \begin{array}{l} p_C - 0.4p_E - 0.6p_S = 0 \\[2ex] -0.6p_C + 0.9p_E - 0.2p_S = 0 \\[2ex] -0.4p_C - 0.5p_E + 0.8p_S = 0 \end{array} \right.$
- 对应的增广矩阵：
  $\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -0.4 & -0.6 & 0 \\ -0.6 & 0.9 & -0.2 & 0 \\ -0.4 & -0.5 & 0.8 & 0 \end{array} \right]$
- 化简得最终行阶梯形：
  $\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -0.94 & 0 \\ 0 & 1 & -0.85 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$
  解的参数形式：
  $\left\{ \begin{array}{l} p_C = 0.94p_S \\[2ex] p_E = 0.85p_S \\[2ex] p_S \quad \footnotesize{为自由变量} \end{array} \right.$
  参数化向量：
  $\mathbf{P} =\begin{bmatrix}p_C \\ p_E \\ p_S\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94p_S \\ 0.85p_S \\ p_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94 \\ 0.85 \\ 1 \end{bmatrix}p_S$

参数化的均衡价格向量揭示了经济部门间的相对价值关系，钢铁部门作为基准价格，煤炭和电力部门的价格分别为其 $~94\%~$ 和 $~85\%~$ ，这种比例关系确保了各部门的收支平衡。

2. 化学方程式的平衡

例

~2~

：平衡以下丙烷燃烧的化学反应式，要求系数为最小整数：

(x_1)C_3H_8 + (x_2)O_2 \rightarrow (x_3)CO_2 + (x_4)H_2O

求解过程如下：

定义原子守恒方程
- 根据反应物和产物中碳、氢、氧的原子数守恒，建立向量方程：
  碳原子守恒： $3x_1 = x_3$
  氢原子守恒： $8x_1 = 2x_4$
  氧原子守恒： $2x_2 = 2x_3 + x_4$
  将方程整理为齐次线性方程组：
  $\begin{cases} 3x_1 - x_3 = 0 \\ 8x_1 - 2x_4 = 0 \\ 2x_2 - 2x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$
构造增广矩阵并化简
将方程组表示为增广矩阵：
$\left[ \begin{array}{cccc|c} 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -1 & 0 \end{array} \right]$
行化简后得：
$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1/4 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -5/4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -3/4 & 0 \end{array} \right]$
解的参数形式：
$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = \frac{1}{4}x_4 \\[2ex] x_2 = \frac{5}{4}x_4 \\[2ex] x_3 = \frac{3}{4}x_4 \\[2ex] x_4 \quad \footnotesize{为自由变量} \end{array} \right.$
参数化向量：
$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1/4 \\ 5/4 \\ 3/4 \\ 1 \end{bmatrix} x_4$
取 $~x_4 = 4~$ 得最小整数解：
$C_3H_8 + 5O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O$

3. 网络流分析

例

~3~

：某城市的交通网络如图所示，包含四个交叉口（节点

~A,B,C,D~

）和五条单向道路（分支）。已知以下流量数据：

从外部进入网络的流量： $A~$ 点流入 $~200~$ 辆/小时， $D~$ 点流入 $~300~$ 辆/小时。
从网络流出的流量： $B~$ 点流出 $~150~$ 辆/小时， $C~$ 点流出 $~250~$ 辆/小时。
各分支的流量方向及未知流量标记为 $~x_1,x_2,x_3,x_4,x_5~$ 。

求解：

建立流量守恒方程组

交叉口	流入 (Flow in)	流出 (Flow out)
A	$300 + 500$	$x_1 + x_2$
B	$x_2 + x_4$	$300 + x_3$
C	$100 + 400$	$x_4 + x_5$
D	$x_1 + x_5$	$600$

构造增广矩阵并通过行化简求解各分支流量
- 流量守恒方程组为：
  $\begin{alignat*}{6} x_1 & {}+{} & x_2 & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_3} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_4} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_5} & \hspace{1ex}{}={}\hspace{1ex} & 800 \\ \textcolor{dddddd}{0x_1} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & x_2 & {}-{} & x_3 & {}+{} & x_4 & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_5} & \hspace{1ex}{}={}\hspace{1ex} & 300 \\ \textcolor{dddddd}{0x_1} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_2} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_3} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & x_4 & {}+{} & x_5 & \hspace{1ex}{}={}\hspace{1ex} & 500 \\ x_1 & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_2} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_3} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_4} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & x_5 & \hspace{1ex}{}={}\hspace{1ex} & 600 \\ \textcolor{dddddd}{0x_1} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_2} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & x_3 & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_4} & \textcolor{dddddd}{{}+{}} & \textcolor{dddddd}{0x_5} & \hspace{1ex}{}={}\hspace{1ex} & 400 \end{alignat*}$
- 增广矩阵为：
  $\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 800 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 300 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 500 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 600 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 400 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 600 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 200 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 400 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 500 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$
- 解的参数形式：
  $\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 600 - x_5 \\[2ex] x_2 = 200+ x_5 \\[2ex] x_3 = 400 \\[2ex] x_4 = 500 - x_5 \\[2ex] x_5 \quad \footnotesize{为自由变量} \end{array} \right.$
确定自由变量的取值范围，确保所有流量非负
- 非负性约束（因街道为单行道，流量不可为负）：
  $\begin{cases} x_1 \geq 0 & \Rightarrow x_5 \leq 600 \\[2ex] x_2 \geq 0 & \Rightarrow x_5 \geq -200 \\[2ex] x_4 \geq 0 & \Rightarrow x_5 \leq 500 \end{cases} \quad (\text{自动满足})$
  综合得： $~0 \leq x_5 \leq 500~$ ，这对应实际交通流量的合理分配。
- 例如，当自由变量 $~x_5~$ 接近其上限 $~500~$ 时，得
  $x_1 = 100, \quad x_2 = 700, \quad x_4 = 0$
  从交叉口 $~C~$ 到 $~D~$ 的分支流量 $~x_4~$ 趋近于零，而交叉口 $~A~$ 到 $~B~$ 的分支流量 $~x_2~$ 显著增加至 $~700~$ 辆/小时，可能导致路段 $~B~$ 拥堵，同时反映出路段 $~C~$ 到 $~D~$ 未被充分利用，需调整交通管理策略以优化路网效率。

1.5 线性方程组的解集

1.7 向量的线性相关性