向量的线性相关性

1. 线性相关性的定义

这一节我们将引入向量的线性相关性这一新的概念，从另一个角度研究齐次线性方程组$(A\mathbf{x}=\mathbf{0})$。通过分析向量的线性相关性，我们可以更好地理解方程组解的结构。我们先来看定义：

根据上面的定义，观察下面两个示例中的向量组是否线性相关，重点在于理解向量的线性相关性和方程组解的结构之间的联系。

2. 线性相关性判别方法一

通常情况下，我们不会直接依据定义来判断向量组的线性相关性，而是利用更便于计算或更容易检查的条件。下面的方法是从向量组合的角度来判定向量的线性相关性的。

当向量集合$~S=\{\mathbf{v}\}~$只含有一个向量时，当且仅当$~\mathbf{v}=\mathbf{0}~$时，$S~$线性相关。这是因为：如果$~\mathbf{v}=\mathbf{0}~$，那么$~x_1\mathbf{v}=\mathbf{0}~$会有无穷多个非平凡解（$~x_1~$可取任意值），根据定义可知此时$~S~$线性相关。

当向量集合$~S=\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\}~$中有两个向量时，当且仅当$~\mathbf{v_1}=k\mathbf{v_2}~$（$k$取任意实数）时，$~S~$线性相关。这是因为：如果$~\mathbf{v_1}=k\mathbf{v_2}~$，那么$~\mathbf{v_1}-k\mathbf{v_2}=\mathbf{0}~$存在非平凡解，此时$~S~$线性相关。

推广到包含更多向量的集合$~S=\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_p}\}~$，有如下定理：

关于定理 7 的证明过程如下：

定理 7 通过向量的线性组合来判断向量组是否线性相关，使得我们能够从几何角度来理解向量的线性相关性。对于向量组$~\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}\subseteq \mathbb{R^3}~$，其中$~\mathbf{u}~$和$~\mathbf{v}~$线性无关，那么当且仅当$~\mathbf{w}~$在$~\mathbf{u}~$和$~\mathbf{v}~$所生成的平面上（$~Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}~$）时，$~\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}~$线性相关。

3. 线性相关性判别方法二

我们还可以根据向量的数量和向量的维度来判断向量的相关性。比如，在$~\mathbb{R^2}~$中， 当向量的数量超过 2 个时，我们可以确定这些向量线性相关，因为在$~\mathbb{R^2}~$空间中只需要 2 个不相关的向量就可以组合出其它任意的向量。同理，在$~\mathbb{R^3}~$中，最多只需要 3 不相关的向量就可以组合出其它任意向量。推广到$~\mathbb{R^n}~$，有如下定理：

这个定理非常有用。比如，对于一个矩阵$~A_{m\times n}~$，当它的列数大于它的行数（即$n>m~$）时，矩阵$~\mathbf{A}~$的列向量必定是线性相关的。另外，该定理在后续章节中对于理解矩阵的秩、向量空间的基等概念非常重要。

4. 线性相关性判别方法三

还有一种特殊的情况，就是向量组中包含零向量。有如下定理：