要判断$~\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}~$是否线性相关， 根据定义，我们需要判断$~x_1\mathbf{v_1}+x_2\mathbf{v_2}+x_3\mathbf{v_3}=\mathbf{0}~$（也就是齐次方程$~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~$） 是否有非平凡解，判断齐次方程是否有非平凡解，可以根据上一节的结论来判断方程中是否有自由变量。通过对增广矩阵$~\begin{bmatrix}\mathbf{v_1}&\mathbf{v_2}&\mathbf{v_3}&\mathbf{0}\end{bmatrix}~$进行行化简后，可得方程存在非平凡解，所以向量组$~\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}\}~$线性相关。

判断矩阵$~\mathbf{A}~$的列向量$~\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}&\mathbf{a_3}\end{bmatrix}~$是否线性相关，也既是判断$~x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\dots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{0}~$是否有非平凡解。这个问题和例$~1~$是等价的。这次对增广矩阵行化简后可知方程组没有自由变量，它只有平凡解，所以矩阵$~\mathbf{A}~$的列向量线性无关。

1. 假设在集合$~S=\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_p}\}~$中，存在向量$~\mathbf{v_j}~$是其它向量的线性组合：

   $$\mathbf{v_j}=c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\dots+c_{j-1}\mathbf{v_{j-1}}+c_{j+1}\mathbf{v_{j+1}}+\dots+c_p\mathbf{v_p}$$
2. 我们可以将上述等式中的$~\mathbf{v_j}~$移到等式的另一边，得到：

   $$\mathbf{0}=(-1)\mathbf{v_j}+c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\dots+c_{j-1}\mathbf{v_{j-1}}+c_{j+1}\mathbf{v_{j+1}}+\dots+c_p\mathbf{v_p}$$
3. 上述等式表明向量方程

   $$~c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\dots+c_p{v_p}=\mathbf{0}~$$

   存在非平凡解（存在非零系数），所以集合$~S~$线性相关。

1. 假设集合$~S~$是线性相关的，即存在非零系数$~c_1,c_2,\dots,c_p~$，使得：

   $$~c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\dots+c_p\mathbf{v_p}=\mathbf{0}~$$
2. 如果$~\mathbf{v_1}=\mathbf{0}~$（换成任意$~\mathbf{v_k}=\mathbf{0}~$也可以），则它本身就是其它向量的线性组合，即：

   $$\mathbf{v_1}=c_2\mathbf{v_2}+c_3\mathbf{v_3}+\dots+c_p\mathbf{v_p}=\mathbf{0}~$$

3. 如果$~\mathbf{v_1}\neq\mathbf{0}~$，我们可以假设$~c_j\neq0~$ 是系数中最后一个非零项（即$~j~$是最大的使得$~c_j\neq0~$的下标）。

   我们可以将上面的等式改写为：

   $$c_1\mathbf{v_1}+\dots+c_j\mathbf{v_j}+0\mathbf{v_{j+1}}+0\mathbf{v_p}=\mathbf{0}$$
4. 将$~c_j\mathbf{v_j}~$移到等式的另一边，并除以$~c_j$，得到：

   $$\mathbf{v_j}=-\frac{c_1}{c_j}\mathbf{v_1}-\frac{c_2}{c_j}\mathbf{v_2}-\dots-\frac{c_{j_1}}{c_j}\mathbf{v_{j-1}}$$

   这表明$~\mathbf{v_j}~$是前面$~j-1~$个向量的线性组合，结论得证。