Logo

线性变换简介

1. 矩阵-向量积 Ax ~\mathbf{A}\mathbf{x}~的动态视角

对于矩阵方程Ax=b \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~，我们可以把 A ~\mathbf{A}~看做一个对象，它通过乘法“作用”于向量 x ~\mathbf{x}~，得到一个新向量 b ~\mathbf{b}~。矩阵 A ~\mathbf{A}~也可以被看做是一个函数，在它的作用下，向量 x ~\mathbf{x}~被变换（映射）成了向量 b ~\mathbf{b}~。一个 m ~m~行 n ~n~列的矩阵 Am×n~A_{m\times n}乘以一个向量 x (x∈Rn) ~\mathbf{x}~(\mathbf{x}\in\mathbb{R^n})~得到的向量 b∈Rm ~\mathbf{b}\in \mathbb{R^m}~，也就是说这种变换可以发生在不同维度的空间内。请观察下面示例：

开通会员解锁全部动画

我们在向量方程一节提到过，线性代数中的向量默认指的就是列向量，它是一个仅含有一列的矩阵。所以矩阵-向量的乘积其实也就是两个矩阵相乘，本例中 A3×2x2×1=b3×1 (b∈R3) ~\mathbf{A}_{3\times 2}\mathbf{x}_{2\times 1}=\mathbf{b}_{3\times 1}~(\mathbf{b}\in \mathbb{R^3})~。观察本例可以进一步发现，对于矩阵 A ~\mathbf{A}~，它可以把任意二维空间中的向量 x∈R2 ~\mathbf{x}\in \mathbb{R^2}~，变换到三维空间中一个平面上去，该平面上的任意点 (x,y,z) ~(x,y,z)~满足 x+y=z ~x+y=z~，这是一个经过零点的平面。映射前、后的取值空间如下：

xx

本例中 A2×3x3×1=b2×1 ~\mathbf{A}_{2\times 3}\mathbf{x}_{3\times 1}=\mathbf{b}_{2\times 1}~，矩阵 A ~\mathbf{A}~将 R3 ~\mathbb{R^3}~中的 x ~\mathbf{x}~变换（映射）为 R2 ~\mathbb{R^2}~中的 b ~\mathbf{b}~。对于 R3 ~\mathbb{R^3}~中的任意 x (x,y,z) ~\mathbf{x}~(x,y,z)~，经过 A ~\mathbf{A}~变换后，得到的 b (x′,y′) ~\mathbf{b}~(x',y')~满足 (z−y,z−x) ~(z-y, z-x)~，这些点覆盖整个二维平面。

现在，我们要引入一个新的符号 T:Rn→Rm ~T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}~来表示这种变换。下面是具体定义：

上面这些概念很重要，特别注意上域（ Rm ~\mathbb{R^m}~）和值域 ( range ) ~(~\text{range}~)~之间的区别（Range(T)=Span{T(x)∣x∈Rn}⊆Rm \text{Range}(T) = \text{Span}\{T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m~），请结合下面图例辅助理解。

开通会员解锁全部动画

2. 矩阵变换

上面是对广义变换 (T:Rn→Rm) ~(T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m})~的定义，它可以是任意形式的映射，包括非线性变换、非连续变换等，不一定满足线性变换的性质。相比之下，矩阵变换是一种特定的线性变换，具体定义如下：

接下来的示例是对矩阵变换相关问题的讨论：设矩阵
 A=[1−335−17],u=[2−1],b=[32−5],c=[325],~A=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix},\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix},\mathbf{c}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix},
定义变换 T:R2→R3 ~T:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}~为 T(x)=Ax ~T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}~，于是有：
T(x)=Ax=[1−335−17][x1x2]=[x1−3x23x1+5x2−x1+7x2]T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1-3x_2\\3x_1+5x_2\\-x_1+7x_2\end{bmatrix}

根据矩阵变换的定义，可得：
T(u)=Au=[1−335−17][2−1]=[51−9]T(\mathbf{u})=A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\1\\-9\end{bmatrix}

从几何角度来观察这个变换如下：

开通会员解锁全部动画

这个问题是在求 T(x)=b ~T(\mathbf{x})=\mathbf{b}~中的 x ~\mathbf{x}~，等价于求解矩阵方程 Ax=b ~A\mathbf{x}=\mathbf{b}~，求解过程如下：

开通会员解锁全部动画

从上面的解法中可以看到，方程 Ax=b ~A\mathbf{x}=\mathbf{b}~有唯一解 x=[1.5−0.5] ~\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1.5\\-0.5\end{bmatrix}~，因此不存在多个 x ~\mathbf{x}~满足该条件。

确定向量 c ~\mathbf{c}~是否在变换 T ~T~的值域内，我们需要判断方程 Ax=c ~A\mathbf{x}=\mathbf{c}~是否有解，求解过程如下：

开通会员解锁全部动画

由于最后一行 0=−35 ~0=-35~矛盾，因此方程 Ax=c ~A\mathbf{x}=\mathbf{c}~无解，所以 c ~\mathbf{c}~不在变换 T ~T~的值域内。从几何角度来解释，矩阵 A ~\mathbf{A}~将 R2 ~\mathbb{R^2}~中的向量变换为 R3 ~\mathbb{R^3}~中的向量，这些向量组成 R3 ~\mathbb{R^3}~中的一个过 0 ~\mathbf{0}~的平面（range：值域），而向量 u=[325] ~\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix}~不在这个平面上。

通过上述示例不难看出，矩阵变换具有明显的几何意义。以下两种矩阵变换常用于计算机图形学：投影变换和剪切变换：

开通会员解锁全部动画

3. 线性变换

线性变换是保持向量加法和标量乘法性质的映射，它的定义如下：

根据 1.4 节定理 5可知，矩阵变换 x↦Ax ~\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}~满足上面两个性质，所以矩阵变换一定是线性变换。线性变换不仅保持加法和标量乘法，还具有以下两个重要性质：

接下来的示例是一个缩放变换（拉伸和收缩），它通过一个标量 r ~r~的乘法，将向量按比例缩放。它也是一个线性变换，满足 T(ru)=rT(u)~T(r\mathbf{u})=rT\mathbf(\mathbf{u})（0≤r≤1 0\leq r \leq1~表示收缩， r≥1 ~r\geq 1~表示拉伸）。我们可以用矩阵 A=[r00r] ~A=\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}~表示缩放变换，变换如下 x↦Ax ~\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}~：
[x1x2]↦[r00r][x1x2]=[r⋅x1r⋅x2]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r\cdot x_1\\r\cdot x_2\end{bmatrix}

开通会员解锁全部动画

最后再来看一个旋转变换，通过旋转矩阵 A=[0−110] ~A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}~将二维平面中的向量逆时针旋转 90 度。

开通会员解锁全部动画

1.7 向量的线性相关性

1.9 线性变换的矩阵

bei an浙ICP备2024102481号