加载中...

线性变换简介

线性变换本质上是一个函数，它将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间，同时保持向量加法和数乘的运算特性。

1. 矩阵-向量积 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的动态视角

对于矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，我们可以把 $\mathbf{A}$ 看做一个对象，它通过乘法“作用”于向量 $\mathbf{x}$ ，得到一个新向量 $\mathbf{b}$ 。矩阵 $\mathbf{A}$ 也可以被看做是一个函数，在它的作用下，向量 $\mathbf{x}$ 被变换（映射）成了向量 $\mathbf{b}$ 。一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $A_{m\times n}$ 乘以一个向量 $\mathbf{x}~(\mathbf{x}\in\mathbb{R^n})$ 得到的向量 $\mathbf{b}\in \mathbb{R^m}$ ，也就是说这种变换可以发生在不同维度的空间内。请观察下面示例：

我们在向量方程一节提到过，线性代数中的向量默认指的就是列向量，它是一个仅含有一列的矩阵。所以矩阵-向量的乘积其实也就是两个矩阵相乘，本例中 $\mathbf{A}_{3\times 2}\mathbf{x}_{2\times 1}=\mathbf{b}_{3\times 1}~(\mathbf{b}\in \mathbb{R^3})$ 。观察本例可以进一步发现，对于矩阵 $\mathbf{A}$ ，它可以把任意二维空间中的向量 $\mathbf{x}\in \mathbb{R^2}$ ，变换到三维空间中一个平面上去，该平面上的任意点 $(x,y,z)$ 满足 $x+y=z$ ，这是一个经过零点的平面。映射前、后的取值空间如下：

本例中 $\mathbf{A}_{2\times 3}\mathbf{x}_{3\times 1}=\mathbf{b}_{2\times 1}$ ，矩阵 $\mathbf{A}$ 将 $\mathbb{R^3}$ 中的 $\mathbf{x}$ 变换（映射）为 $\mathbb{R^2}$ 中的 $\mathbf{b}$ 。对于 $\mathbb{R^3}$ 中的任意 $\mathbf{x}~(x,y,z)$ ，经过 $\mathbf{A}$ 变换后，得到的 $\mathbf{b}~(x',y')$ 满足 $(z-y, z-x)$ ，这些点覆盖整个二维平面。

现在，我们要引入一个新的符号 $T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}$ 来表示这种变换。下面是具体定义：

定义

T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}

$T$ 是一条从 $\mathbb{R^n}$ 到 $\mathbb{R^m}$ 的变换规则（或函数、映射），它将 $\mathbb{R^n}$ 中的每个向量 $\mathbf{x}$ 对应到 $\mathbb{R^m}$ 中的一个向量 $T(x)$ 。集合 $\mathbb{R^n}$ 被称为 $T$ 的定义域 $({\text{domain}})$ ， $\mathbb{R^m}$ 被称为 $T$ 的上域 $({\text{codomain}})$ 。符号 $T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}$ 表示 $T$ 的定义域是 $\mathbb{R^n}$ ，上域是 $\mathbb{R^m}$ 。对于 $\mathbb{R^n}$ 中的 $\mathbf{x}$ ， $\mathbb{R^m}$ 中的向量 $T(\mathbf{x})$ 被称为 $\mathbf{x}$ 在 $T$ 作用下的像 $({\text{image}})$ 。所有像 $T(\mathbf{x})$ 的集合被称为 $T$ 的值域 $({\text{range}})$ 。

上面这些概念很重要，特别注意上域（ $\mathbb{R^m}$ ）和值域 $({\text{range}})$ 之间的区别（ $\text{Range}(T) = \text{Span}\{T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m$ ），请结合下面图例辅助理解。

2. 矩阵变换

上面是对广义变换 $(T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m})$ 的定义，它可以是任意形式的映射，包括非线性变换、非连续变换等，不一定满足线性变换的性质。相比之下，矩阵变换是一种特定的线性变换，具体定义如下：

定义

矩阵变换

给定一个 $m\times n$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 和一个向量 $\mathbf{x}\in \mathbb{R^n}$ ，矩阵变换 $T$ 定义为： $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ ，可以记作 $\mathbf{x}\to \mathbf{A}\mathbf{x}$ 。

接下来的示例是对矩阵变换相关问题的讨论：设矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix},\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix},\mathbf{c}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix},

定义变换 $T:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}$ 为 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ ，于是有：

T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1-3x_2\\3x_1+5x_2\\-x_1+7x_2\end{bmatrix}

根据矩阵变换的定义，可得：

T(\mathbf{u})=A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\1\\-9\end{bmatrix}

从几何角度来观察这个变换如下：

这个问题是在求 $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ 中的 $\mathbf{x}$ ，等价于求解矩阵方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，求解过程如下：

从上面的解法中可以看到，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1.5\\-0.5\end{bmatrix}$ ，因此不存在多个 $\mathbf{x}$ 满足该条件。

确定向量 $\mathbf{c}$ 是否在变换 $T$ 的值域内，我们需要判断方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 是否有解，求解过程如下：
由于最后一行 $0=-35$ 矛盾，因此方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 无解，所以 $\mathbf{c}$ 不在变换 $T$ 的值域内。从几何角度来解释，矩阵 $\mathbf{A}$ 将 $\mathbb{R^2}$ 中的向量变换为 $\mathbb{R^3}$ 中的向量，这些向量组成 $\mathbb{R^3}$ 中的一个过 $\mathbf{0}$ 的平面（range：值域），而向量 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix}$ 不在这个平面上。

通过上述示例不难看出，矩阵变换具有明显的几何意义。以下两种矩阵变换常用于计算机图形学：投影变换和剪切变换：

3. 线性变换

线性变换是保持向量加法和标量乘法性质的映射，它的定义如下：

定义

线性变换

如果说一个变换是线性的，它需要满足下面两个性质：

$a.$ 对于任意两个向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ ，线性变换 $T$ 满足 $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$

$b.$ 对于任意标量 $c$ 和向量 $\mathbf{u}$ ，线性变换 $T$ 满足 $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

根据 1.4 节定理 5可知，矩阵变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 满足上面两个性质，所以矩阵变换一定是线性变换。线性变换不仅保持加法和标量乘法，还具有以下两个重要性质：

推论

$a.~T(\mathbf{0})=\mathbf{0}:$ 零向量在经过线性变换后依然是零向量。

$b.~T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v}):$ 线性变换对于向量的线性组合同样适用。

接下来的示例是一个缩放变换（拉伸和收缩），它通过一个标量 $r$ 的乘法，将向量按比例缩放。它也是一个线性变换，满足 $T(r\mathbf{u})=rT\mathbf(\mathbf{u})$ （ $0\leq r \leq1$ 表示收缩， $r\geq 1$ 表示拉伸）。我们可以用矩阵 $A=\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}$ 表示缩放变换，变换如下 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ ：

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r\cdot x_1\\r\cdot x_2\end{bmatrix}

最后再来看一个旋转变换，通过旋转矩阵 $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 将二维平面中的向量逆时针旋转 90 度。

1.7 向量的线性相关性

1.9 线性变换的矩阵

浙ICP备2024102481号

线性变换简介

线性变换本质上是一个函数，它将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间，同时保持向量加法和数乘的运算特性。

1. 矩阵-向量积 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的动态视角

现在，我们要引入一个新的符号 $T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}$ 来表示这种变换。下面是具体定义：

定义

T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}

2. 矩阵变换

定义

矩阵变换

接下来的示例是对矩阵变换相关问题的讨论：设矩阵

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix},\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix},\mathbf{c}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix},

定义变换 $T:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}$ 为 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$ ，于是有：

T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1-3x_2\\3x_1+5x_2\\-x_1+7x_2\end{bmatrix}

根据矩阵变换的定义，可得：

T(\mathbf{u})=A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\1\\-9\end{bmatrix}

从几何角度来观察这个变换如下：

这个问题是在求 $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ 中的 $\mathbf{x}$ ，等价于求解矩阵方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，求解过程如下：

从上面的解法中可以看到，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1.5\\-0.5\end{bmatrix}$ ，因此不存在多个 $\mathbf{x}$ 满足该条件。

确定向量 $\mathbf{c}$ 是否在变换 $T$ 的值域内，我们需要判断方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 是否有解，求解过程如下：
由于最后一行 $0=-35$ 矛盾，因此方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 无解，所以 $\mathbf{c}$ 不在变换 $T$ 的值域内。从几何角度来解释，矩阵 $\mathbf{A}$ 将 $\mathbb{R^2}$ 中的向量变换为 $\mathbb{R^3}$ 中的向量，这些向量组成 $\mathbb{R^3}$ 中的一个过 $\mathbf{0}$ 的平面（range：值域），而向量 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix}$ 不在这个平面上。

通过上述示例不难看出，矩阵变换具有明显的几何意义。以下两种矩阵变换常用于计算机图形学：投影变换和剪切变换：

3. 线性变换

线性变换是保持向量加法和标量乘法性质的映射，它的定义如下：

定义

线性变换

如果说一个变换是线性的，它需要满足下面两个性质：

$a.$ 对于任意两个向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ ，线性变换 $T$ 满足 $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$

$b.$ 对于任意标量 $c$ 和向量 $\mathbf{u}$ ，线性变换 $T$ 满足 $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

推论

$a.~T(\mathbf{0})=\mathbf{0}:$ 零向量在经过线性变换后依然是零向量。

$b.~T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v}):$ 线性变换对于向量的线性组合同样适用。

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r\cdot x_1\\r\cdot x_2\end{bmatrix}

最后再来看一个旋转变换，通过旋转矩阵 $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 将二维平面中的向量逆时针旋转 90 度。

1.7 向量的线性相关性

1.9 线性变换的矩阵

线性变换简介

1. 矩阵-向量积 Ax\mathbf{A}\mathbf{x}Ax 的动态视角

1R2→R3\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}R2→R3

2R3→R2\mathbb{R^3}\to \mathbb{R^2}R3→R2

2. 矩阵变换

Q1找出 T(u)T(\mathbf{u})T(u)，即 u\mathbf{u}u 在变换 TTT 下的像

Q2找出 R2\mathbb{R^2}R2 中的一个向量 x\mathbf{x}x，使得 x\mathbf{x}x 在变换 TTT 下的像是 b\mathbf{b}b

Q3判断是否存在多个 x\mathbf{x}x 使得它们在变换 TTT 下的像是 b\mathbf{b}b（唯一性问题）

Q4确定向量 c\mathbf{c}c 是否在变换 TTT 的值域内（存在性问题）

3. 线性变换

线性变换简介

1. 矩阵-向量积 Ax\mathbf{A}\mathbf{x}Ax 的动态视角

1R2→R3\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}R2→R3

2R3→R2\mathbb{R^3}\to \mathbb{R^2}R3→R2

2. 矩阵变换

Q1找出 T(u)T(\mathbf{u})T(u)，即 u\mathbf{u}u 在变换 TTT 下的像

Q2找出 R2\mathbb{R^2}R2 中的一个向量 x\mathbf{x}x，使得 x\mathbf{x}x 在变换 TTT 下的像是 b\mathbf{b}b

Q3判断是否存在多个 x\mathbf{x}x 使得它们在变换 TTT 下的像是 b\mathbf{b}b（唯一性问题）

Q4确定向量 c\mathbf{c}c 是否在变换 TTT 的值域内（存在性问题）

3. 线性变换

1. 矩阵-向量积 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的动态视角

1. 矩阵-向量积 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的动态视角