线性变换简介

1. 矩阵-向量积$~A\mathbf{x}~$的动态视角

对于矩阵方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}~$，我们可以把$~\mathbf{A}~$看做一个对象，它通过乘法“作用”于向量$~\mathbf{x}~$，得到一个新向量$~\mathbf{b}~$。矩阵$~\mathbf{A}~$也可以被看做是一个函数，在它的作用下，向量$~\mathbf{x}~$被变换（映射）成了向量$~\mathbf{b}~$。一个$~m~$行$~n~$列的矩阵$~A_{m\times n}$乘以一个向量$~\mathbf{x}~(\mathbf{x}\in\mathbb{R^n})~$得到的向量$~\mathbf{b}\in \mathbb{R^m}~$，也就是说这种变换可以发生在不同维度的空间内。请观察下面示例：

例1

$\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}$

例2

$\mathbb{R^3}\to \mathbb{R^2}$

现在，我们要引入一个新的符号$~T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}~$来表示这种变换。下面是具体定义：

上面这些概念很重要，特别注意上域（$~\mathbb{R^m}~$）和值域（$~Range~$）之间的区别（$\text{Range}(T) = \text{Span}\{T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m~$），请结合下面图例辅助理解。

2. 矩阵变换

上面是对广义变换$~(T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m})~$的定义，它可以是任意形式的映射，包括非线性变换、非连续变换等，不一定满足线性变换的性质。相比之下，矩阵变换是一种特定的线性变换，具体定义如下：

通过上述示例不难看出，矩阵变换具有明显的几何意义。以下两种矩阵变换常用于计算机图形学：投影变换和剪切变换：

3. 线性变换

线性变换是保持向量加法和标量乘法性质的映射，它的定义如下：

根据 1.4 节定理 5可知，矩阵变换$~\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}~$满足上面两个性质，所以矩阵变换一定是线性变换。线性变换不仅保持加法和标量乘法，还具有以下两个重要性质：

最后再来看一个旋转变换，通过旋转矩阵$~A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}~$将二维平面中的向量逆时针旋转 90 度。