这部分内容探讨零空间、列空间和行空间及其与线性变换的关系。零空间帮助识别线性方程的解，列空间反映了矩阵的映射范围，而行空间揭示了方程间的关系。
在线性代数的应用中， R n ~\mathbb{R^n}~ R n
( 1 ) (1)~ ( 1 ) 方程解的集合 ：作为齐次线性方程组的所有解的集合，这种子空间通常称为 零空间 。
( 2 ) (2)~ ( 2 ) 线性组合的集合 ：作为一组特定向量的所有线性组合的集合，这种子空间称为 列空间 或 行空间 。
接下来我们将介绍并使用这些新的术语重新讨论之前学过的内容，以更清晰地理解子空间的性质。
1. 零空间 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A 1.1 零空间的定义 在线性代数中，零空间是我们重新理解齐次线性方程组解的结构和性质的一个核心概念。我们来看下面这个齐次方程组：
x 1 − 3 x 2 − 2 x 3 = 0 − 5 x 1 + 9 x 2 + x 3 = 0 \begin{align*}
x_1 - 3x_2 - 2x_3 &= 0 \\
-5x_1 + 9x_2 + x_3 &= 0
\end{align*} x 1 − 3 x 2 − 2 x 3 − 5 x 1 + 9 x 2 + x 3 = 0 = 0 它可以用矩阵方程 A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0
A = [ 1 − 3 − 2 − 5 9 1 ] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -5 & 9 & 1 \end{bmatrix} A = [ 1 − 5 − 3 9 − 2 1 ] 我们称满足方程 A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 x ~\mathbf{x}~ x A ~\mathbf{A}~ A
定义
零空间
一个 m × n ~m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A ( n u l l s p a c e ) ~(\mathbf{null ~ space})~ ( null space ) Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A x = 0 ~\mathbf{Ax}=\mathbf{0}~ Ax = 0
Nul A = { x ∣ x ∈ R n 且 A x = 0 } \text{Nul} \, \mathbf{A} = \{ \mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \text{ 且 } \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0} \} Nul A = { x ∣ x ∈ R n 且 Ax = 0 } 1.2 判定向量是否属于零空间 我们判断一个向量是否属于矩阵 A ~\mathbf{A}~ A A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 u ~\textcolor{#ff8200}{\mathbf{u}}~ u A ~\textcolor{#2196f3}{\mathbf{A}}~ A A u = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{0}~ Au = 0
A u = [ 1 − 3 − 2 − 5 9 1 ] [ 5 3 − 2 ] = [ 5 − 9 + 4 − 25 + 27 − 2 ] = [ 0 0 ] \mathbf{A} \mathbf{u} = \textcolor{#2196f3}{\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -5 & 9 & 1 \end{bmatrix}} \textcolor{#ff8200}{\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}} = \begin{bmatrix} 5 - 9 + 4 \\ -25 + 27 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} Au = [ 1 − 5 − 3 9 − 2 1 ] 5 3 − 2 = [ 5 − 9 + 4 − 25 + 27 − 2 ] = [ 0 0 ] 所以， u ~\mathbf{u}~ u A ~\mathbf{A}~ A u ∈ Null A ~\mathbf{u}\in \text{Null} \, \mathbf{A}~ u ∈ Null A A ~\mathbf{A}~ A x = t v , 其中, v = [ 1 2 − 3 2 1 ] T \mathbf{x}=t\mathbf{v},~\text{其中,}~\mathbf{v}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix}^T x = t v , 其中 , v = [ 2 1 − 2 3 1 ] T v ~\mathbf{v}~ v Span { v } ~\text{Span}\{\mathbf{v}\}~ Span { v } R 3 ~\mathbb{R^3}~ R 3
1.3 零空间性质 零空间是一个向量的集合，集合中的向量必要符合矩阵乘法 A x ~\mathbf{A}\mathbf{x}~ Ax A m × n x n × 1 = 0 ~\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{x}_{n\times 1}=\mathbf{0}~ A m × n x n × 1 = 0
定理 2
零空间的性质
一个 m × n ~m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A R n ~\mathbb{R^n}~ R n m ~m~ m n ~n~ n A x = 0 ~\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}~ Ax = 0 R n ~\mathbb{R^n}~ R n
这个定理在验证特定条件下的向量集合是否为子空间时非常有用。在实际问题中，我们通常会得到来自系统（工程、物理和计算机科学等领域）中不同变量之间的约束或平衡关系构成的条件方程，例如下面的条件方程： a − 2 b + 5 c = d ~a-2b+5c=d~ a − 2 b + 5 c = d c − a = b ~c-a=b~ c − a = b ( a , b , c , d ) ~(a,b,c,d)~ ( a , b , c , d ) H ~H~ H R 4 ~\mathbb{R^4}~ R 4
a − 2 b + 5 c − d = 0 − a − b + c = 0 \begin{align*}
a - 2b + 5c - d &= 0 \\
-a - b + c \quad \quad &= 0
\end{align*} a − 2 b + 5 c − d − a − b + c = 0 = 0 这是一个包含 2 ~2~ 2 4 ~4~ 4 2 ~2~ 2 H ~H~ H R 4 ~\mathbb{R^4}~ R 4
1.4 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A 上面对零空间的定义并不是显而易见的，在 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A ~\mathbf{A}~ A Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A 隐式定义 的。隐式定义虽然简洁，但缺乏对集合结构的直观描述，难以直接进行计算和分析。在实际应用中通常会将隐式定义转换为显式表示。为此，我们可以通过求解矩阵方程 A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0
将通解中的自由变量提取，并表示为一组向量的线性组合，这些向量 { u , v , w } ~\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}~ { u , v , w } Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A
( 1 ) ~(1)~ ( 1 ) 线性无关 ：生成集合中的向量是线性无关的，因为自由变量作为生成向量的权重，只有当所有权重（即自由变量）均为零时，整个组合结果才为零。
( 2 ) ~(2)~ ( 2 ) 生成集合的维数 ：当 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0
2. 列空间 Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 列空间 ( C o l u m n S p a c e ) ~(\mathbf{Column ~ Space})~ ( Column Space ) A ~\mathbf{A}~ A
定义
列空间
列空间 Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A m × n ~m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A A ~\mathbf{A}~ A a 1 , a 2 , … , a n ~\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\dots,\mathbf{a}_n~ a 1 , a 2 , … , a n
Col A = Span { a 1 , … , a n } \text{Col}\,\mathbf{A}=\text{Span}\,\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\} Col A = Span { a 1 , … , a n } 也就是说，列空间是由矩阵 A ~\mathbf{A}~ A
因为 Span { a 1 , … , a n } \text{Span}\,\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\} Span { a 1 , … , a n } 定理 1 可以得出列空间是定义在 R m ~\mathbb{R^m}~ R m A ~\mathbf{A}~ A R m ~\mathbb{R^m}~ R m
定理 3
矩阵的列空间
一个 m × n ~m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A R m ~\mathbb{R^m}~ R m
由于 A x ~\mathbf{A}\mathbf{x}~ Ax A ~\mathbf{A}~ A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A A x ~\mathbf{A}\mathbf{x}~ Ax x ~\mathbf{x}~ x R n ~\mathbb{R^n}~ R n
那么，列空间有如下等价定义：
Col A = { b : b = A x , x ∈ R n } \text{Col}\mathbf{A} = \{\mathbf{b}: \mathbf{b} = \mathbf{A}\mathbf{x} ~,~ \mathbf{x} \in \mathbb{R^n}\} Col A = { b : b = Ax , x ∈ R n } 在实际应用中，构造一个矩阵使其列空间等于给定的向量空间的情况是很常见的需求。例如我们前面介绍过的 透视投影矩阵 P ~\mathbf{P}~ P P ~\mathbf{P}~ P A ~\mathbf{A}~ A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A x ↦ A x ~\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}~ x ↦ Ax 值域 ( R a n g e ) ~(\mathbf{Range})~ ( Range )
3. 行空间 Row A ~\text{Row}\,\mathbf{A}~ Row A 对于一个 m × n ~m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A R n ~\mathbb{R^n}~ R n A ~\mathbf{A}~ A A ~\mathbf{A}~ A 行空间 ( R o w S p a c e ) ~(\mathbf{Row~Space})~ ( Row Space ) Row A ~\text{Row}\,\mathbf{A}~ Row A n ~n~ n Row A ~\text{Row}\,\mathbf{A}~ Row A R n ~\mathbb{R^n}~ R n A ~\mathbf{A}~ A A T ~\mathbf{A}^T~ A T Row A ~\text{Row}\,\mathbf{A}~ Row A Col A T ~\text{Col}\,\mathbf{A}^T~ Col A T
4. 对比 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 零空间和列空间代表了矩阵的不同几何属性。列空间 Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A A ~\mathbf{A}~ A A ~\mathbf{A}~ A Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A ~\mathbf{A}~ A A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 A ~\mathbf{A}~ A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A R 3 ~\mathbb{R^3}~ R 3 R 4 ~\mathbb{R^4}~ R 4
接下来，我们可以从零空间和列空间的结构入手，进一步探讨它们在实际应用中的不同处理方法。在线性代数中， 寻找 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 判断 一个向量是否属于 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A
4.1 寻找 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 寻找 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 x ~\mathbf{x}~ x [ A 0 ] \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{0}\end{bmatrix} [ A 0 ] A ~\mathbf{A}~ A A ~\mathbf{A}~ A 简化阶梯形 总共需要 7 ~7~ 7
上面的示例，零空间 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A ~\mathbf{A}~ A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A A ~\mathbf{A}~ A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A b = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n \mathbf{b}=x_1\mathbf{a}_1+ x_2\mathbf{a}_2+\dots+x_n\mathbf{a}_n b = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n
4.2 判断 v ~\mathbf{v}~ v Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 判断 v ∈ Nul A ~\mathbf{v}\in \text{Nul}\,\mathbf{A}~ v ∈ Nul A Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A u = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{0}~ Au = 0 v ∈ Nul A ~\mathbf{v}\in \text{Nul}\,\mathbf{A}~ v ∈ Nul A v ∈ Col A ~\mathbf{v}\in \text{Col}\,\mathbf{A}~ v ∈ Col A A ~\mathbf{A}~ A v = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n ~\mathbf{v}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\dots+x_n\mathbf{a}_n~ v = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n A x = v ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{v}~ Ax = v [ A v ] \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{v} \end{bmatrix} [ A v ]
上面的增广矩阵的最右列不是主元列，所以根据 线性方程组的存在性定理 可知，方程组 A x = v ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{v}~ Ax = v v ∈ Col A ~\mathbf{v}\in \text{Col}\,\mathbf{A}~ v ∈ Col A
4.3 整体对比 Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 表 4-1 m × n ~\quad m\times n~ m × n A ~\mathbf{A}~ A Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A
Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A
Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A
1 ~1~ 1
Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A R n ~\mathbb{R^n}~ R n
Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A R m ~\mathbb{R^m}~ R m
2 ~2~ 2
Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A 是
隐式定义 的。
Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 是
显式定义 的。
3 ~3~ 3
求Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A [ A 0 ] \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{0}\end{bmatrix} [ A 0 ]
Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A A ~\mathbf{A}~ A
4 ~4~ 4
Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A A ~\mathbf{A}~ A
A ~\mathbf{A}~ A Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A
5 ~5~ 5
Nul A \text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A v ~\mathbf{v}~ v A v = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}~ Av = 0
Col A \text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A 中的向量
v ~\mathbf{v}~ v 满足方程
A x = v ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{v}~ Ax = v 相容 。
6 ~6~ 6
判断 v ∈ Nul A ~\mathbf{v}\in \text{Nul}\,\mathbf{A}~ v ∈ Nul A A v ~\mathbf{A}\mathbf{v}~ Av
判断 v ∈ Col A ~\mathbf{v}\in \text{Col}\,\mathbf{A}~ v ∈ Col A [ A v ] \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{v}\end{bmatrix} [ A v ]
7 ~7~ 7
Nul A = { 0 } \text{Nul}\,\mathbf{A}=\{\mathbf{0}\} Nul A = { 0 } 当且仅当
A x = 0 ~\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}~ Ax = 0 仅有一个
平凡解 。
Col A = R m \text{Col}\mathbf{A}=\mathbb{R^m} Col A = R m A x = b \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax = b b ∈ R m \mathbf{b}\in \mathbb{R^m} b ∈ R m
8 ~8~ 8
Nul A = R n \text{Nul}\mathbf{A}=\mathbb{R^n} Nul A = R n x ↦ A x \mathbf{x}\mapsto \mathbf{Ax} x ↦ Ax
Col A = R m \text{Col}\mathbf{A}=\mathbb{R^m} Col A = R m x ↦ A x \mathbf{x}\mapsto \mathbf{Ax} x ↦ Ax R n ~\mathbb{R^n}~ R n R m ~\mathbb{R^m}~ R m
5. 线性变换 前面我们学习了零空间和列空间，它们都是通过矩阵定义的子空间。现在我们将视角从矩阵提升到更一般的 线性变换 ，这是一个能够统一描述各种"保持线性结构"的映射的核心概念。
5.1 线性变换的定义 定义
线性变换的定义
从向量空间 V ~V~ V W ~W~ W T ~T~ T V ~V~ V x ~\mathbf{x}~ x W ~W~ W T ( x ) ~T(\mathbf{x})~ T ( x )
i. 对于 V ~V~ V u ~\mathbf{u}~ u v ~\mathbf{v}~ v T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) ~T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})~ T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v )
ii. 对于 V ~V~ V u ~\mathbf{u}~ u c ~c~ c T ( c u ) = c T ( u ) ~T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})~ T ( c u ) = c T ( u )
线性变换 T ~T~ T 核 ( kernel ) ~(~\text{kernel}~)~ ( kernel ) V ~V~ V T ( u ) = 0 ~T(\mathbf{u})=\mathbf{0}~ T ( u ) = 0 值域 ( range ) ~(~\text{range}~)~ ( range ) W ~W~ W T ( x ) ~T(\mathbf{x})~ T ( x ) T ( x ) = A x ~T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}~ T ( x ) = Ax A ~\mathbf{A}~ A Nul A ~\text{Nul}\,\mathbf{A}~ Nul A Col A ~\text{Col}\,\mathbf{A}~ Col A
5.2 线性变换与求导运算 线性变换的概念不仅适用于矩阵，还能推广到函数空间。在微积分中， 求导运算 本身就是一个线性变换。这个视角将微分方程的求解问题纳入了线性代数的统一框架。
例 9 （需要微积分基础）：设 V ~V~ V [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ] W ~W~ W [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ] D : V → W ~D:V\to W~ D : V → W D ( f ) = f ′ ~D(f)=f'~ D ( f ) = f ′ D ~D~ D
明确向量空间
设 V ~V~ V [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ] W ~W~ W [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ] C [ a , b ] ~C[a,b]~ C [ a , b ] D : V → W ~D:V\to W~ D : V → W D ( f ) = f ′ ~D(f)=f'~ D ( f ) = f ′
验证加法保持性
对于 V ~V~ V f ~f~ f g ~g~ g
D ( f + g ) = ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ = D ( f ) + D ( g ) D(f+g) = (f+g)' = f' + g' = D(f) + D(g) D ( f + g ) = ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ = D ( f ) + D ( g ) 这说明 D ~D~ D
验证标量乘法保持性
对于 V ~V~ V f ~f~ f c ~c~ c
D ( c f ) = ( c f ) ′ = c ⋅ f ′ = c D ( f ) D(cf) = (cf)' = c \cdot f' = cD(f) D ( c f ) = ( c f ) ′ = c ⋅ f ′ = cD ( f ) 这说明 D ~D~ D
确定核（零空间）
D ~D~ D D ( f ) = 0 ~D(f)=0~ D ( f ) = 0 f ′ = 0 ~f'=0~ f ′ = 0
ker ( D ) = { f ∈ V ∣ f ( x ) = c , c ∈ R } \ker(D) = \{ f \in V \mid f(x) = c, \, c \in \mathbb{R} \} ker ( D ) = { f ∈ V ∣ f ( x ) = c , c ∈ R } 核是 [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ]
确定值域
D ~D~ D D ( f ) = f ′ ~D(f)=f'~ D ( f ) = f ′ V ~V~ V f ′ ~f'~ f ′ [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ] W ~W~ W g ~g~ g F ( x ) = ∫ a x g ( t ) d t F(x)=\int_a^x g(t)\,dt F ( x ) = ∫ a x g ( t ) d t g ~g~ g F ′ = g F'=g F ′ = g
range ( D ) = W = C [ a , b ] \text{range}(D) = W = C[a,b] range ( D ) = W = C [ a , b ] 值域是 [ a , b ] ~[a,b]~ [ a , b ]
例 10 （需要微积分基础）：微分方程 y ′ ′ + ω 2 y = 0 y'' + \omega^2 y = 0 y ′′ + ω 2 y = 0
理解微分方程的物理背景
微分方程 y ′ ′ + ω 2 y = 0 ~y''+\omega^2 y=0~ y ′′ + ω 2 y = 0 ω ~\omega~ ω
定义线性变换
设 V ~V~ V W ~W~ W T : V → W ~T:V\to W~ T : V → W
T ( f ) = f ′ ′ + ω 2 f T(f) = f'' + \omega^2 f T ( f ) = f ′′ + ω 2 f 这个变换将函数 f ~f~ f f ′ ′ + ω 2 f ~f''+\omega^2 f~ f ′′ + ω 2 f
验证 T 是线性变换
对于任意函数 f , g ∈ V ~f,g\in V~ f , g ∈ V c ~c~ c
T ( f + g ) = ( f + g ) ′ ′ + ω 2 ( f + g ) = f ′ ′ + g ′ ′ + ω 2 f + ω 2 g = ( f ′ ′ + ω 2 f ) + ( g ′ ′ + ω 2 g ) = T ( f ) + T ( g ) \begin{align*} T(f+g) &= (f+g)'' + \omega^2(f+g) \\[1ex] &= f'' + g'' + \omega^2 f + \omega^2 g \\[1ex] &= (f'' + \omega^2 f) + (g'' + \omega^2 g) \\[1ex] &= T(f) + T(g) \end{align*} T ( f + g ) = ( f + g ) ′′ + ω 2 ( f + g ) = f ′′ + g ′′ + ω 2 f + ω 2 g = ( f ′′ + ω 2 f ) + ( g ′′ + ω 2 g ) = T ( f ) + T ( g ) T ( c f ) = ( c f ) ′ ′ + ω 2 ( c f ) = c f ′ ′ + c ω 2 f = c ( f ′ ′ + ω 2 f ) = c T ( f ) \begin{align*} T(cf) &= (cf)'' + \omega^2(cf) \\[1ex] &= cf'' + c\omega^2 f \\[1ex] &= c(f'' + \omega^2 f) = cT(f) \end{align*} T ( c f ) = ( c f ) ′′ + ω 2 ( c f ) = c f ′′ + c ω 2 f = c ( f ′′ + ω 2 f ) = c T ( f ) 因此 T ~T~ T
微分方程的解是 T 的核
微分方程 y ′ ′ + ω 2 y = 0 ~y''+\omega^2 y=0~ y ′′ + ω 2 y = 0 T ~T~ T
ker ( T ) = { f ∈ V ∣ T ( f ) = 0 } = { f ∣ f ′ ′ + ω 2 f = 0 } \ker(T) = \{ f \in V \mid T(f) = 0 \} = \{ f \mid f'' + \omega^2 f = 0 \} ker ( T ) = { f ∈ V ∣ T ( f ) = 0 } = { f ∣ f ′′ + ω 2 f = 0 } 这意味着 求解微分方程等价于找出线性变换的核 。
求解核（微分方程的通解）
该微分方程的特征方程为 r 2 + ω 2 = 0 ~r^2+\omega^2=0~ r 2 + ω 2 = 0 r = ± i ω ~r=\pm i\omega~ r = ± iω
y = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) y = c_1 \cos(\omega t) + c_2 \sin(\omega t) y = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) 其中 c 1 , c 2 ~c_1,c_2~ c 1 , c 2 T ~T~ T cos ( ω t ) \cos(\omega t) cos ( ω t ) sin ( ω t ) \sin(\omega t) sin ( ω t )
5.3 线性变换与移动平均 线性变换在金融领域也有重要应用。在股票技术分析中， 移动平均 ( moving average ) ~(~\text{moving average}~)~ ( moving average )
例 11 ：设 { p k } ~\{p_k\}~ { p k } k ~k~ k M 2 ~M_2~ M 2
M 2 ( { p k } ) = { p k + p k − 1 2 } M_2(\{p_k\}) = \left\{ \frac{p_k + p_{k-1}}{2} \right\} M 2 ({ p k }) = { 2 p k + p k − 1 } 证明 M 2 ~M_2~ M 2
理解信号空间
设 S ~\mathbb{S}~ S { p k } ~\{p_k\}~ { p k } p k ~p_k~ p k k ~k~ k p k = 0 ~p_k=0~ p k = 0 M 2 : S → S ~M_2:\mathbb{S}\to\mathbb{S}~ M 2 : S → S
M 2 ( { p k } ) = { p k + p k − 1 2 } M_2(\{p_k\}) = \left\{ \frac{p_k + p_{k-1}}{2} \right\} M 2 ({ p k }) = { 2 p k + p k − 1 }
验证加法保持性
对于 S ~\mathbb{S}~ S { p k } ~\{p_k\}~ { p k } { q k } ~\{q_k\}~ { q k }
M 2 ( { p k } + { q k } ) = M 2 ( { p k + q k } ) = { ( p k + q k ) + ( p k − 1 + q k − 1 ) 2 } = { p k + p k − 1 2 } + { q k + q k − 1 2 } = M 2 ( { p k } ) + M 2 ( { q k } ) \begin{align*} M_2(\{p_k\} + \{q_k\}) &= M_2(\{p_k + q_k\}) \\[1ex] &= \left\{ \frac{(p_k + q_k) + (p_{k-1} + q_{k-1})}{2} \right\} \\[1ex] &= \left\{ \frac{p_k + p_{k-1}}{2} \right\} + \left\{ \frac{q_k + q_{k-1}}{2} \right\} \\[1ex] &= M_2(\{p_k\}) + M_2(\{q_k\}) \end{align*} M 2 ({ p k } + { q k }) = M 2 ({ p k + q k }) = { 2 ( p k + q k ) + ( p k − 1 + q k − 1 ) } = { 2 p k + p k − 1 } + { 2 q k + q k − 1 } = M 2 ({ p k }) + M 2 ({ q k })
验证标量乘法保持性
对于任意信号 { p k } ~\{p_k\}~ { p k } c ~c~ c
M 2 ( c { p k } ) = M 2 ( { c p k } ) = { c p k + c p k − 1 2 } = c { p k + p k − 1 2 } = c M 2 ( { p k } ) \begin{align*} M_2(c\{p_k\}) &= M_2(\{cp_k\}) \\[1ex] &= \left\{ \frac{cp_k + cp_{k-1}}{2} \right\} \\[1ex] &= c \left\{ \frac{p_k + p_{k-1}}{2} \right\} \\[1ex] &= cM_2(\{p_k\}) \end{align*} M 2 ( c { p k }) = M 2 ({ c p k }) = { 2 c p k + c p k − 1 } = c { 2 p k + p k − 1 } = c M 2 ({ p k }) 因此 M 2 ~M_2~ M 2
求核的条件
信号 { p k } ~\{p_k\}~ { p k } M 2 ~M_2~ M 2 k ~k~ k
p k + p k − 1 2 = 0 ⇒ p k = − p k − 1 \frac{p_k + p_{k-1}}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_k = -p_{k-1} 2 p k + p k − 1 = 0 ⇒ p k = − p k − 1 这意味着相邻两项互为相反数。
推导核的形式
由 p k = − p k − 1 ~p_k=-p_{k-1}~ p k = − p k − 1
p k = − p k − 1 = ( − 1 ) 2 p k − 2 = ( − 1 ) 3 p k − 3 = ⋯ = p 0 ⋅ ( − 1 ) k p_k = -p_{k-1} = (-1)^2 p_{k-2} = (-1)^3 p_{k-3} = \cdots = p_0 \cdot (-1)^k p k = − p k − 1 = ( − 1 ) 2 p k − 2 = ( − 1 ) 3 p k − 3 = ⋯ = p 0 ⋅ ( − 1 ) k 因此核中的任意信号都可以写成：
{ p k } = p 0 ⋅ { ( − 1 ) k } \{p_k\} = p_0 \cdot \{(-1)^k\} { p k } = p 0 ⋅ {( − 1 ) k } 即 交替信号 { ( − 1 ) k } = { … , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … } ~\{(-1)^k\}=\{\dots,1,-1,1,-1,\dots\}~ {( − 1 ) k } = { … , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … }
核的物理意义
核由所有交替信号的倍数组成。这说明两日移动平均能够 完全消除 日间的交替波动（如每日涨跌交替的噪声），同时保留整体趋势。这正是移动平均在技术分析中的核心作用：平滑短期波动，揭示长期趋势。
